数形结合,破解平面向量最值问题

江苏省前黄高级中学 孟 敏

近几年的高考和模考中,平面向量经常以求最值或取值范围的题型出现,与其关联的知识点较多,题目的综合性也比较强,学生虽然感觉“面熟”,却普遍得分不高.这种情况也在一定程度上反映出高中平面向量教学和解题中存在过于注重代数形式而忽略了几何方法的问题.其实,平面向量集“数”“形”于一体,是沟通代数与几何的桥梁,也是分析与解答数学问题的有效工具.

高中数学中的最值问题研究的就是“动”的问题,只要找到“动”的规律,问题也就迎刃而解了!所以,在解决问题时,有时可以利用平面向量的定义、性质、几何意义等,将条件转化为图形特征,将问题化归为平面几何问题进行处理.相对于代数方法,几何法可能更直观形象!下面将以例题形式呈现一些平面向量最值问题的代数解法与几何解法,并对几何解法的入手方向进行分类阐述,揭示“动” 与“变”的联系.

1 利用平面向量的平行四边形法则

图1

图2

2 利用数量积的几何意义

图3

图4

3 利用极化恒等式化归为距离问题

图5

图6

4 利用向量的模的几何意义

图7

其实,平时的练习中还有很多这样既可以用代数法又能用几何法解决的问题,更不乏巧妙使用几何法的例子.但是,我们不能因为将向量条件量化后能摆脱复杂的变形或化简就一味追求代数法.如果能够充分发掘题设条件和所求目标的几何意义,有些繁难的运算可能就能够避免,同时也能引导学生领会和体验数学内涵,掌握和巩固数学方法.因此,在平时的教学中,既要重视向量的代数运算,又要注意加强向量运算的几何意义的渗透,帮助学生形成和内化数学思想,促进其核心素养的发展.