三角函数中的“配凑”技巧

哈尔滨师范大学教师教育学院 荣宇航

三角函数是高中数学非常重要的学习内容,高考考查的题目形式也比较灵活多变,学生解答有一定的难度.人教A版教材将三角函数的内容几乎都集中在必修一、必修二,就是为了锻炼和培养学生的思维能力,加深他们对三角函数的认识与理解.由于三角函数求值类问题的技巧性比较强,实际操作时如果合理运用一些小技巧,能有效避免繁杂的计算,降低错误率[1].本文中所介绍的“配凑法”需要在运算前找出题干所给的“已知角”和要求的“未知角”之间的关系,通过配凑将“已知角”过渡到“未知角”,然后结合诱导公式、二倍角公式和两角和与差的三角公式等知识解决相应的问题[2].

1 利用诱导公式求三角函数值

利用诱导公式求三角函数值是指在求解“未知角”的三角函数值时,要借助诱导公式完成“已知角”和“未知角”的配凑,“未知角”的个数可以是一个也可以是两个,配凑后可结合二倍角等公式求解.

2 已知三角函数值求值

已知三角函数值求值是指配凑出“已知角”和“未知角”的关系之后,将所求的“未知角”转化成“已知角”,进而结合一些公式利用“已知角”的三角函数值求解.

分析：题目中的两个“已知角”分别为β和α+β,并给出了对应的三角函数值,首先找到“未知角”α与两个“已知角”之间的关系,即α=(α+β)-β,然后借助所给角的三角函数值来求α的余弦值.

分析：题目中的两个已知角分别为α-β和α+β,所求角是2β.仿照例3的思路,先找到三者之间的关系,即2β=(α+β)-(α-β),然后借助所给角的三角函数值来求2β的正弦值.同时注意在求已知角的三角函数值时要考虑角的取值范围.

总结提炼：解决已知三角函数值求值的问题,首先要考虑角的关系,常用的是二倍角关系以及和差与特殊角的关系,然后再选择合适的公式求值.计算求解时一定要考虑已知角的范围,否则会对计算结果造成影响.

3 已知三角函数值求角

已知三角函数值求角是指在求解角的时候,首先根据“已知角”和“未知角”之间的关系表示出“未知角”,然后借助已知角的三角函数值求出未知角的三角函数值,进而结合角的范围求出未知角.

分析：利用三角函数值求角的问题实质是求三角函数值的逆向思维应用,在运用的过程中要注意“已知角”的范围,以确定“未知角”所在的象限,进而选择合适的三角公式,从而有效避免在解题的过程中出现增根.该题很容易看出未知角与已知角之间的关系,可以先借助二倍角公式对2β进行处理,然后结合两角和与差的三角公式求解.

总结提炼：已知三角函数值求角,首先要对角进行相应的变换,借助和、差、倍角、半角等公式,建立条件和结论之间的联系,进而使问题得以解决.做题时常见的角的变换方式有2α=(α+β)+(α-β),2α-β=(α-β)+α等.同时,解决这类问题的关键是要熟记三角函数的公式并能够灵活加以应用.