正交于顶,隐含定点——基于一道教材习题的探究与拓展

江苏省苏州张家港市张家港高级中学 黄 轶

数学家波利亚曾说:“一个认真备课的教师能够拿出一个有意义但又不太复杂的题目,去帮助学生发展问题的各个方面,使得通过这道题,就好像通过一道门户,把学生引入一个完整的理论领域.”[1]特别地,教材中的一些典型的例题或习题,其背景深刻,知识丰富,典型性高,拓展性强,蕴含丰富的数学思想方法,如果有针对性地加以利用,有思想性地引导,有方向性地探究,有思维性地拓展,则可以全面提升学生的数学品质,提高数学能力,培养数学核心素养[2].

1 源于教材

例题〔人教版《数学》(选择性必修第一册)3.3抛物线第138页第6题〕如图1,直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A,B两点,求证:OA⊥OB.

图1

设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-4.

故OA⊥OB.

反思:根据抛物线关于对称轴的对称性,将上述例题中的直线“y=x-2”替换成直线“y=2-x”(两直线的图象关于x轴对称),同样可得结论OA⊥OB.而直线y=x-2与直线y=2-x有公共点(2,0),结合抛物线y2=2x可知2p=2,那么直线y=x-2过点(2,0)与OA⊥OB之间是否存在某种特殊的联系呢?

2 类比拓展

以上问题的实质就是抛物线的弦对顶点张直角的相关性质(抛物线的弦对顶点张直角时恒过定点).借助逻辑推理、思维拓展、类比提升等,可以对抛物线过顶点(或其他定点)的两弦斜率之积、斜率之和、斜率倒数之和等为定值的相关结论,进一步加以归纳、推广与总结.

2.1 抛物线过顶点两弦斜率之积为定值

结论1已知A,B为抛物线y2=2px(p>0)上两动点,O为坐标原点.若OA⊥OB,则直线AB恒过定点(2p,0).

证明：设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为x=my+t.

y2-2pmy-2pt=0.

因此,对于上述教材中的习题,因为抛物线y2=2x中的p=1,并且直线y=x-2经过点(2,0),所以有OA⊥OB成立.

结论1是其推广的特例,是当常数λ=-1时的结果.推广的证明可参照结论1的证明加以分析与处理,这里不多赘述.

2.2 抛物线过定点两弦斜率之积为定值

结论2已知A,B为抛物线y2=2px(p>0)上两动点,P(x0,y0)为抛物线上一定点,且满足PA⊥PB,则直线AB恒过定点(2p+x0,-y0).

证明：设A(x1,y1),B(x2,y2).

由此可知,直线AB恒过定点(2p+x0,-y0).经检验,当x1=x2时,也满足.

因此,直线AB恒过定点(2p+x0,-y0).

2.3 抛物线过定点两弦斜率之和为定值

证明：设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为x=my+t.

y2-2pmy-2pt=0.

由韦达定理,可得y1+y2=2pm,y1y2=-2pt.

2.4 抛物线过定点两弦斜率倒数之和为定值

证明：设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为x=my+t.

y2-2pmy-2pt=0.

由韦达定理,可得y1+y2=2pm.

3 教学启示

上文中以一道课本习题为源,得到抛物线中过定点的两弦斜率之积、斜率之和、斜率倒数之和为定值条件下的相应的优美结论,合理反思总结,拓展思维,总结规律,构建全面的逻辑思维体系与应用.

事实上,抛物线中的相关结论及其推广,还可以进一步拓展到圆锥曲线中去,有关圆锥曲线斜率之积(或之和、倒数之和)为定值的问题层出不穷.当我们站在系统的高度,合理地整合知识,很多时候都能有一个思维方向,避免进入无头绪的计算误区,全面提升能力,养成思维习惯,培养数学核心素养.