水平非均匀土层基本周期的解析解答

2023-11-01罗江龙陈卓识袁晓铭

世界地震工程 2023年4期

罗江龙,陈卓识,袁晓铭

(1. 中国地震局工程力学研究所,地震工程与工程振动重点实验室,黑龙江哈尔滨 150080;2. 地震灾害防治应急管理部重点实验室,黑龙江哈尔滨 150080)

0 引言

在场地地震反应分析发展过程中,国内外学者普遍遵循了从简单到复杂,由粗糙到精细的原则[1]。因此水平场地是分析最多的场地,同时水平场地在现实中也是最为常见的场地。在水平场地中,将覆盖土层和下卧基岩简化为力学性质沿竖向成层变化、横向均匀的半无限空间体系是最早被提出的水平非均匀土层地震反应分析模型。尽管这种一维模型无法考虑横向不均匀和局部地形等因素的影响,但因其满足了常规工程场地地震动分析的基本要求,并为继续研究场地的二维和三维土层地震反应分析奠定了基础,这一思路,受到了国内外的广泛认可。

场地地震反应分析中,基本周期作为场地固有特性是评价场地条件的重要参数之一,本文中具体定义为场地一维模型在无阻尼情况下第一振型对应的周期。场地基本周期的计算方法包括简化法、数值法和解析法。其中典型的简化法有子层周期求和法[2],逐层单自由度法[3],子层周期加权累加法[4];数值法则有集中质量法[5]、直接法[6]、Rayleigh法[7]和简化Rayleigh法[8]。对于实际工程,虽然数值法可以直接给出结果,但解析解不仅可以作为检验数值方法可靠性的参照,还可以明确给出场地基本周期的变化规律。因此场地基本周期的解析解答对认识场地固有特性具有重要意义。黄保荣[9]将场地简化为双质点体系和三质点体系,推导出场地基本周期,其研究目标是其中某个质点刚度显著软化后场地周期较软化前的相对变化,并在这方面给出了很好的解析结果,首次取得了地震等动荷载作用后一个场地中土层局部软化下场地周期变化规律的较为全面的理论认识。但采用的有限质点体系还不能代表土层结构和特性的一般情况,也并非针对不同地表剪切波速、不同场地覆盖层厚度以及不同土层刚度非均匀情况下场地基本周期的变化问题。

既有水平场地基本周期解析解研究,局限于土层刚度沿深度为定值的均匀情况。在实际场地中,土层刚度沿深度是增长的,且研究表明多为指数增长的非均匀情况[3,10]。但目前这种水平非均匀场地基本周期的解析认知近乎空白。本文针对地震反应初边值问题,采用分离变量法给出该类场地基本周期解析解答,并通过数值分析提出主控参数对场地基本周期的影响,针对水平场地土层刚度随深度指数变化这一常规情况,为该类场地基本周期数值解提供对比标准,增强对非均匀场地基本周期规律的认知。

1 解析解的推导

1.1 基本假定

在研究中:假定土为线性粘弹体,在水平方向上的性质是均匀的,基岩或相对硬层与其上土层的接触面为水平面,基岩或相对硬层只做水平运动。在这种情况下,水平土层只产生水平的剪切运动,并且只与竖向坐标有关而与水平坐标无关。这样,水平场地土层的地震反应分析就可简化成一维问题。现取一个深度为H的单位面积的土柱来研究,如图1所示。

图1 单位面积土柱示意图Fig. 1 Schematic diagram of soil column per unit area

土的非均匀性质:根据波传播理论,土的动剪切模量与剪切波速具有如下关系:

(1)

依照既有研究,幂函数是表示土体剪切波速与埋深间关系的常用函数模型。若剪切波速用幂函数式(2)形式给出:

Vs=Vs0zβ

(2)

则可直接根据式(1)导出剪切模量表达式:

(3)

若沿土层深度指定一系列点的剪切波速已知时,可根据式(2)拟合出剪切波速表达式。然后,将这些点的剪切模量G随深度的变化用下式表达:

G=Kzp

(4)

1.2 地震反应分析方程

由微元土柱体的动力平衡得:

(5)

将式(4)代入动力平衡方程式(5):

(6)

一维水平土层地震反应的定解条件如下:

边界条件:

(7)

初始条件:

(8)

1.3 分离变量法求解

为求解式(6),本文了采用分离变量法,具体过程如下:

(9)

式中:bi为将1在区间[0,H]按振型函数Zi展开的系数。将式(9)代入式(6)可得:

(10)

(11)

求解式(10)。引用坐标变换:

(12)

(13)

式中:C、θ和α为待定常数。

一阶求导得:

(14)

二阶求导得:

(15)

将式(14)和式(15)代入式(10)得:

(16)

令

(17)

则式(16)简化为:

(18)

上式为α阶贝塞尔方程式,其解形式如下:

(19)

由边界条件式(7)第一式以及贝塞尔函数的递推公式得d1=0,再由边界条件式(7)第二式得:

(20)

设β-α,i为贝塞尔函数J-α的零点,则得:

(21)

最终得到Zi的表达式:

(22)

令:

(23)

将式(23)代入式(11)整理后得:

(24)

由式(24)得ωi为振动圆频率。由式(23)第一式、式(21)以及式(17)第三式得ωi表达式 :

(25)

则基本周期为:

(26)

需注意:

(27)

时才能借助数学工具贝塞尔函数进行上述求解。

2 基本周期与地表剪切波速关系

将式(3)代入式(26)得:

(28)

由式(28)得土层基本周期与地表剪切波速成反比。

本文建立不同类别场地模型参照了刘红帅等[10]给出的剪切波速与场地类别的对应关系。依据这一原则,计算厚度为100 m,非均匀系数为0.5,密度取1 800 kg/m3的土层其对应的场地基本周期,如图2所示。

图2 地表剪切波速与基本周期关系Fig. 2 Relationship between the surface shear wave velocity and fundamental period

由图2可知:计算厚度为100 m,非均匀系数为0.5,密度取1 800 kg/m3的土层,当取Ⅱ类场地时基本周期最小值为0.98 s,最大值为1.45 s;当取Ⅲ类场地时基本周期最小值为1.23 s,最大值为1.59 s;当取Ⅳ类场地时基本最小值为1.27 s,最大值为5.67 s。依据上述模型,随场地类别变大,基本周期最小值和最大值均相应提高。

3 基本周期与场地覆盖层厚度关系

由式(17)第二式可得:

(29)

由式(27)、式(28)及式(29)可得土层基本周期与覆盖层厚度成凸函数关系,覆盖层厚度增加,基本周期增加变缓;同时可得土层基本周期与土层刚度非均匀系数为减函数关系,非均匀系数增大,土层基本周期减小。

根据我国《建筑抗震设计规范》(GB 50011—2010)[11]2016年版,Ⅱ类场地覆盖层厚度应大于3 m,Ⅲ类场地覆盖层厚度应大于15 m,Ⅳ类场地覆盖层厚度应大于80 m。计算K=18 000 000,即Vs0=100 m/s,非均匀系数为0.5,密度取1 800 kg/m3,厚度从3 m到100 m的土层其对应的场地基本周期,如图3所示。

图3 覆盖层厚度与基本周期关系Fig. 3 Relationship between the thickness of the cover layer and the fundamental period

由图3可知:计算K=18 000 000,即Vs0=100 m/s,非均匀系数为0.5,密度取1 800 kg/m3的3～100 m厚土层,在Ⅱ类场地时基本周期最小值为0.10 s,最大值为1.42 s;在Ⅲ类场地时基本周期最小值为0.34 s,最大值为1.42 s;在Ⅳ类场地时基本周期最小值为1.2 s,最大值为1.42 s。在上述计算条件下,随场地类别变大,基本周期的最小值提高,场地类别从Ⅱ类变化到Ⅳ类,基本周期最小值提高了1.1 s。