三相不平衡对配电变压器效率影响数学建模与分析

姚 伟，刘彦彦，于振江

（伊犁职业技术学院机电化工学院，伊宁 835000）

配电网三相不平衡产生的原因大致分为两类，一类是由供电环节不平衡而导致系统三相不平衡，另一类则是由负荷的不对称引起的系统三相不平衡[1]。低压电网大多是经过变压器降压后，以三相四线制向用户供电，存在大量的随机性接入的单相负荷。在进行三相配电时，供电公司应该将接入单相用户均衡地分接在A、B、C 三相[2]。但近年来，由于单相用户的用电设备增加、单相接入负载功率增大以及单相用户用电设备接入的时间不确定等，均造成了三相负载的不平衡[3]。目前，影响配电变压器效率的问题主要由变压器损耗、线路损耗、三相不平衡构成[4]。而对于低压配电网来说，三相不平衡是影响配电变压器效率的主要成因。因为居民在生活中主要使用单相用电器，用电强度完全随着用电习惯变化，具有较强的随机性，所以在同一个时段，A、B、C 三相会负担不同强度的用电负荷，造成比较严重的三相不平衡问题。据调查数据显示，在较高收入水平的农村地区，其单相负荷容量可达到总负荷容量的90%；在收入水平中等的农村地区该比例约为70%；在较低收入水平的少数用电区域中，单相用电负荷所占比重也能达到50%[5]。这种由于单相用电设备的随机性接入导致的三相负荷不平衡会给低压配电网带来很多危害，尤其会影响配电变压器效率。文献[6]提出一种考虑负荷分布的线损计算方法。文献[7]对传统线损计算方法的模型和适用范围进行了介绍。文献[8]引入三相潮流算法，分析优化模型中三相负荷及单相负荷的待选接入方式，主要以低压配电网的线损作为研究对象，重点围绕线损影响因素及适用于低压配电网的降损方法展开研究，考虑的因素不足。文献[9]基于低压配网简化模型明确了三相负荷不平衡危害和解决方案，对现有的三相负荷不平衡治理措施进行改进，提出三相负荷不平衡智能控制方案，定量分析和评估不同条件下三相负荷不平衡对低压配电网台区的危害及影响。文献[10]针对农村配电变压器三相不平衡进行了分析，主要就三相不平衡带来的线路和配变附加损耗及应对调整给出了模型方法。文献[11]分析三相不平衡对变压器损耗影响的机理，并就配电变压器损耗计算实例分析，给出了配电变压器损耗与三相不平衡度的关系。文献[12-13]针对三相不平衡的危害展开讨论并提出三相不平衡治理措施与防治策略。文献[14-15]对三相不平衡所带来的损耗进行分析研究，并提出了治理方法与策略。纵观众多文献对于三相不平衡问题的研究，充分表明研究三相不平衡对配电变压器效率影响，尤其是三相不平衡所产生的损耗对配电变压器效率影响是很有必要的。

分析了上述及相关文献，未能找到一套关于三相不平衡度与变压器铁损、铜损、线损以及与变压器效率的关系式，本文在分析影响配电变压器效率的因素，诸如，变压器自身损耗、线路损耗、附加损耗等因素后，尽可能的建立建全分析参数，采用数理方法推究，实验、案例与仿真加以分析，得到三相不平衡度（三相幅值不平衡度，三相功率因数不平衡度，三相负荷不平衡度）对配电变压器效率影响关系，包括对配电变压器铁损、铜损、线损的影响关系，为后续三相不平衡的治理、节能减排及提高电网电能质量提供参考依据。

1 三相负荷不平衡度算法模型

引入相位变换算子α=ej120o，α2=e-j120o，α3=ej0o=1。定义Ia、Ib、Ic为变压器副边侧三相电流，Imax为三相最大电流，Imin为三相最小电流，Iav为副边侧三相平均电流，Ki为三相电流不平衡度。

（1）按照国标GB/T15543—2008 规定，三相电流不平衡度定义[16]为

式中：I2为负序分量；I1为正序分量[17]，表示为

（2）文献[18]提到三相电流不平衡度定义为

式中，Iav=(Ia+Ib+Ic)/3。

（3）《架空配电线路及设备运行规程》中规定：三相电流不平衡度定义为

（4）文献[19]提到三相电流不平衡度定义为

2 三相不平衡对配电变压器效率影响的建模

三相不平衡会使配电变压器的损耗大幅增加，且随不平衡度的增加呈二次函数增长，不平衡度为50%时变压器损耗将增加1倍[20]。下文将对常用的Dyn11及Yyn0联结方式的配电变压器进行分析。

2.1 三相不平衡对配电变压器铁损的影响

三相不平衡时，附加产生的磁阻损耗、漏磁场增大产生的涡流损耗则需要加以考虑[21]。对于Y/Y0接线配电变压器，零序电阻比正序电阻大得多，通过实测250 kV·A变压器的零序电阻是正序电阻的15倍，零序电流产生的附加铁损也较大[22]。根据铁损的定义，三相不平衡时，变压器铁损可推导为

式中：PFe为铁损；λ为损耗系数；f为交变频率；Bm为磁强幅值；G为铁芯质量；Ie为感应电流；Rm为磁阻；I20为变压器二次侧零序电流分量；μ为I20作用在变压器上的系数；R20m为二次侧零序电流通路作用下的等效电阻。

2.2 三相不平衡对配电变压器铜损的影响

设三相变压器的单相绕组的阻抗为ZCU，变压器变比为K，IA、IB、IC为原边侧相电流，PCUY为三相平衡变压器铜损，PCUN为三相不平衡变压器铜损，ΔPCU为附加铜损。

当三相平衡时，变压器铜损可表示为

当三相不平衡时，变压器铜损可表示为

则因三相不平衡产生的附加铜损为

引入电流不平衡系数[23]为

式中，Iσ为相电流，则

根据计算，βσ的范围一般为-1～2，且根据式（10）推导可得

将式（10）代入式（7），可得

将式（11）、（6）、（12）代入式（8），可得：

定义三相幅值不平衡度为Kχ，并令

将式（14）代入式（13），可以得到三相不平衡时，变压器附加铜损与三相幅值不平衡度的关系式为

2.3 三相不平衡对配电变压器线损的影响

假设A、B、C 三相负荷的功率因数角分别为φ1、φ2、φ3，则变压器二次侧各相电流可以表示为

中性线电流的矢量式为

假设三相负荷的各相阻抗角相等，根据我国标准三相交流电的矢量形式，将ia、ib、ic分别绕矢量原点旋转φ角，使得各相电流与对应实轴重合，把式（16）代入式（17）并取模可得到中性线电流的有效值为

把式（10）、（11）、（14）代入式（18），并进行数学变换整理可得

假设单位长度中心线的阻抗为Rn，ΔPoAN为三相幅值不平衡中性线附加损耗，则因三相幅值不平衡而在中性线产生的附加损耗为

假设三相阻抗角不相等，把式（10）代入式（16），再代入式（17），可得

假设式（21）的实部为m，虚部为n，ΔPoΦN为三相功率因数不平衡中性线附加损耗，此时中性线产生的附加损耗为

若想通过补偿使得三相平衡，流过中性线电流为0，即Io=0。显然对于三相平衡系统来说各相不平衡度均为0，即βa=βb=βc=0。由于Iav≠0，则只有：m2+n2=0，代入相关参数，并按照三角函数关系展开整理可得

可见针对三相功率因数不平衡系统，若使得三相负荷平衡，必须通过补偿来实现三相阻抗角φ1、φ2、φ3平衡，否则即使三相幅值平衡，而功率因数不平衡，中性线会仍有电流流过，造成附加电能损耗。

假设变压器二次侧相线单位长度线路电阻为RL，ΔPLN为三相不平衡单位长度线损，ΔPLY为三相平衡单位长度线损，ΔPLΦ为三相功率因数不平衡单位长度的总线损，ΔPL为单位长度的总线损，ΔPLΦN为三相功率因数不平衡总附加线损，ΔPLAN为三相幅值不平衡总附加线损。

三相不平衡时，三相单位长度线损为

定义三相功率因数不平衡度为KΦ，并令KΦ=m2+n2，对于存在大量单相负荷，三相功率因数不平衡的线路，其单位长度的总线损可表示为

当三相平衡时，由于βa=βb=βc=0，则三相单位长度线损为

则三相功率因数不平衡而产生的总附加线损为

通过式（28），可以看出三相相角不对称和幅值不相等情况下，所带来的附加线路损耗，并可以看出附加线路损耗与对应不平衡系数的数学关系，为后续三相不平衡的治理提供了理论依据。

对于存在大量单相负荷的线路，定义三相负荷不平衡度为Kε，并令Kε=2KΦ+Kχ代入式（28），可得

通过式（29），可以看出三相功率因数不平衡和幅值不平衡情况下，线路中产生的总附加线路损耗与三相负荷不平衡度的关系。为了更直观地描述实际情况三相不平衡对线路中产生的总附加线路损耗的影响，对三相负荷不平衡度Kε式进行离散化表述，即

式中：Kεi、Kϕi、Kχi分别为第i时刻三相负荷不平衡度、三相功率因数不平衡度和三相幅值不平衡度，mi、ni分别为第i时刻三相功率因数不平衡度的实部和虚部，βai、βbi、βci分别为第i时刻A相、B相和C相电流不平衡系数[24]。

式中，φ1i、φ2i、φ3i分别为第i时刻A、B、C 三相负荷的功率因数角。

式（30）和（31）为三相不平衡系统的实时动态无功补偿提供了参考模型。考虑到实际低压供配电线路中，三相功率因数变化不大，若假设三相功率因数相等。则因三相幅值不平衡，单位长度线路中产生的总附加线损为

若引入线损率εL并定义为：在三相功率因数近似相等的情况下，三相不平衡系统中单位长度线路中产生的总附加线路损耗与单位长度的总线路损耗的比值，则

由于Ia≥0,Ib≥0,Ic≥0 ，代入式（10），可得：βa≥-1,βb≥-1,βc≥-1，代入式（11），并对式（11）进行变换，可得

将式（34）代入式（14），可得：0 ≤Kχ≤6，代入式（33），求极限，即

2.4 三相不平衡对配电变压器效率的影响

变压器的效率定义可用公式表示为

式中：P2为变压器输出功率；P1为变压器输入功率；ΔP为总损耗，即铁损、铜损和线损的总和。

若只考虑三相幅值不平衡，则

对于一般配电变压器而言，变压器铁损可看作固定值或微小变动，变压器铜抗为常数，则

因三相不平衡产生的总附加损耗ΔPFAN为附加铁损、附加铜损、附加线损的总和。代入相关参数可得

若针对三相功率因数亦不平衡的配电系统，并假设此种情形的总损耗为ΔPAΦ，总附加损耗为ΔPFAΦ，则

通过式（37）～（41）可以看出三相不平衡产生的总损耗、总附加损耗与三相不平衡度成一次线性函数变化，与三相平均电流的平方成正比例变化。

3 三相不平衡对配电变压器效率影响的试验

低压线路三相负荷不平衡时，附加损耗表现在两部分：一是附加的铁损和铜损，二是附加的线路损耗。搭建三相不平衡实验平台如图1所示。

图1 三相负荷不平衡实验原理Fig.1 Schematic of three-phase load unbalance experiment

当总功率一定时，三相负荷分配可以按照3 种情况来分析[22]。

情况1 一相负荷重、一相负荷轻、一相负荷取中间。

定义此种情况总损耗为ΔP1，可令

把式式（42）代入式（14），可得Kχ=2β2，代入式（38），可得

情况2 一相负荷重、两相负荷轻。

定义此种情况总损耗为ΔP2，可令

情况3 一相负荷轻、两相负荷重。

定义此种情况总损耗为ΔP3，可令

比较式（43）、（45）、（47）可知，当总功率一定时，三相负荷不平衡带来的损耗为

把式（48）代入式（36），可知，当总功率一定时，3 种不平衡实验条件下配电变压器效率为：情况2大于情况1，情况1大于情况3。

4 算例与仿真分析

变压器选择配电网中最常见的变压器10/0.4 kV，10 kV线路全长取10 km，单位长度电阻为0.2 Ω/km，电抗为0.4 Ω/km，中性线单位长度电阻0.4 Ω/km[25]。取β=0.5，按照上述3 种情况分配实验负荷，分别对应方式1、方式2、方式3 和方式0 为该实验条件的平衡参照方式，分析如下。

实验1：三相功率因数平衡、幅值不平衡，仿真与计算结果如表1 和表2所示。其中，Ki1、Ki2、Ki3、Ki4分别对应三相负荷不平衡度算法模型中的4种计算式。

表1 本文提出的三相幅值不平衡度与已有三相负荷不平衡度算法模型的优势比较Tab.1 Comparison between the proposed three-phase amplitude unbalance degree and the existing three-phase load unbalance degree algorithm model

表2 三相幅值不平衡度、损耗及变压器效率统计Tab.2 Statistics of three-phase amplitude unbalance degree,loss and transformer efficiency

仿真三相幅值不平衡度与总损耗、附加损耗、中性线电流、配电变压器的效率关系，如图2和图3所示。

图2 三相幅值不平衡度与总损耗、附加损耗及中性线电流关系曲线Fig.2 Relationship curves of three-phase amplitude unbalance degree with total loss,additional loss and neutral current

图3 三相幅值不平衡度与配电变压器效率关系曲线Fig.3 Relationship curve of between three-phase amplitude unbalance degree and distribution transformer efficiency

由表2、图2 和图3 可以看出：试验1 条件下三相幅值不平衡度越大，总损耗ΔP和总附加损耗ΔPLAN以及中性线电流也随之增大，配电变压器效率随之降低。

实验2：三相幅值平衡、三相功率因数不平衡，仿真结果如图4和图5所示。

图4 三相功率因数不平衡度与损耗及中性线电流关系曲线Fig.4 Relationship curves of three-phase power factor unbalance degree with loss and neutral current

图5 三相功率因数不平衡度与配电变压器效率关系曲线Fig.5 Relationship curves of between three-phase power factor unbalance degree and distribution transformer efficiency

由图4 和图5 可以看出：试验2 条件下三相功率因数不平衡度越大，总损耗ΔPΦ和总附加损耗ΔPFΦ以及中性线电流也随之增大，配电变压器效率随之降低。

实验3：针对存在大量复合型负载的三相功率因数和幅值均不平衡的低压供配电系统，进行仿真实验，测试结果如图6和图7所示。

图6 三相负荷不平衡度与总损耗、附加损耗及中性线电流关系曲线Fig.6 Relationship curves of three-phase load unbalance degree with total loss,additional loss and neutral current

图7 三相负荷不平衡度与配电变压器效率关系曲线Fig.7 Relationship curve of between three-phase load unbalance degree and distribution transformer efficiency

由图6 和图7 可以看出：试验3 条件下三相负荷不平衡度越大，总损耗ΔPAΦ和总附加损耗ΔPFAΦ以及中性线电流也随之增大，配电变压器效率随之降低。

综上，结合表1 可分析得知：本文提出的三相不平衡度算法可以有效反映与配网总损耗、附加损耗、中性线电流及配电变压器效率关系，表1 中的三相负荷不平衡度算法模型中的第1 种基于序分量的三相电流不平衡度算法虽然也能作为自变量来建立与低压配电网总损耗、附加损耗、中性线电流及配电变压器效率关系，但只能逐相分析，无法反映三相不平衡度，而且各相的正序与负序分量在实践中不易测得，表1中的三相负荷不平衡度算法模型中的第2种至第4种三相电流不平衡度算法则无法用来建立与低压配电网总损耗、附加损耗、中性线电流及配电变压器效率关系。

5 结 语

针对三相不平衡对配电变压器效率可能带来的影响逐一展开分析讨论，包括三相不平衡对铁损的影响，对铜损的影响，对线损的影响，并比较分析了三相不平衡较于三相平衡给配电网带来的附加损耗影响。提出了三相不平衡度（三相幅值不平衡度，三相功率因数不平衡度，三相负荷不平衡度）的计算式，并以此参数为自变量，建立了三相不平衡度与总损耗、附加损耗、中性线电流及配电变压器效率的关系曲线。实验及案例仿真分析表明：三相不平衡度越大，中性线电流就越大，损耗就越大，配电变压器效率越低；三相幅值平衡而三相功率因数不平衡时，中性线仍有电流流过，即仍会产生附加损耗，总体看三相功率因数不平衡对低压配电网损耗影响不大。为此，必须降低三相不平衡度，以提高配电变压器效率，来节能降损，改善电网质量。