一种双层协方差矩阵重构的稳健波束形成算法*

王雨豪,张贞凯

(江苏科技大学 海洋学院,江苏 镇江 212100)

0 引 言

自适应波束形成技术利用特定的优化方法将波束对准目标信号,并同时抑制噪声和干扰,以此提高输出信干噪比,在声呐、雷达、无线通信、语音信号处理等领域有着广泛的应用。其中标准Capon波束形成器(Standard Capon Beamformer,SCB)较为经典,但在阵元位置偏差、角度失配等非理想条件下,自适应波束形成器的性能会急剧下降。

至今,已经有许多学者在稳健自适应波束形成算法方面展开了研究,例如加载类方法[1]、权重范数约束类算法[2]和协方差矩阵重构类算法[3]。对角加载法虽然简单,但是最优的对角加载量难以确定。Feldman等人[4]提出了基于特征空间的波束形成器(Eigenspace-based Beamformer,ESB),在低信噪比条件下会增加信号导向矢量失配情况。Huang等人[5]提出了鲁棒波束形成(Robust Capon Beamforming,RCB)算法,其主要思想是通过最大化阵列输出功率,在用户定义的不确定集中估计期望信号的导向矢量。Vorobyov等人[6]提出了最差性能最佳化(Worse-Case Performance Optimization,WCPO)方法,通过对不确定集合中所有可能的导向矢量进行无失真响应约束来确保对期望信号的无失真接收。

由于上述各方法直接使用接收信号协方差矩阵计算最优权值矢量,因此在高信噪比和期望信号导向矢量失配的条件下,包含期望信号在内的接收数据会导致波束形成器的性能急剧恶化。因此,消除接收数据的信号分量[7]或重构干扰加噪声协方差矩阵[8-9]可以提升波束形成器的性能。但是一般的重构过程中会引入一些误差,导致期望信号方位估计不准确。文献[10]通过对信号的来波方向范围进行Capon谱估计,进一步得到信号导向矢量,但当干扰来波方向产生误差时,零陷无法对准干扰方向,系统性能有所下降。文献[11]通过构造预处理矩阵消除训练数据中的期望信号分量,并结合对角加载方法获得最佳权矢量,解决了强干扰背景下对弱目标的探测问题。文献[12]通过构建对消矩阵,增加零点约束实现干扰抑制,解决了稳健自适应波束形成算法在高功率目标信号下无法在干扰处产生零陷的问题。文献[13]利用迭代自适应估计和根据信源范围扇区重构的方法,有效抑制了存在导向矢量误差时的相干干扰。文献[14]将控制波束旁瓣级与重构协方差矩阵结合,并转化为二阶锥规划问题求解,克服了常规波束形成器在强干扰背景下虚警较多的问题。

针对常规利用Capon功率谱进行协方差矩阵重构的方法结果不精确且不能很好解决干扰方向失配的问题,本文提出了一种双层干扰加噪声协方差矩阵重构(Double Interference and Noise Covariance Matrix,DINCM)的稳健波束形成算法。首先,通过子空间投影去除接受数据中的干扰和噪声分量,进行信号导向矢量的矫正;然后,利用Capon功率谱进行初步的干扰加噪声协方差矩阵的估计重构,再利用多重信号分类(Multiple Signal Classification,MUSIC)功率谱和干扰子空间的正交性对假定的干扰导向矢量进行优化,重构出更精确的干扰加噪声协方差矩阵。所提算法不仅可以矫正信号导向矢量,还可以矫正失配的干扰方向。仿真验证了所提算法在导向矢量失配情况下,相比其他经典算法有更好的性能。

1 波束形成基本理论

假设一个带有M个天线单元的均匀线阵(Uniform Linear Array,ULA),阵元各向同性,接收信号为窄带远场信号。假设有L个入射信号,其中一个期望信号从θ0方向入射,剩余L-1个干扰信号分别从θi(i=1,2,…,L-1) 方向入射。阵列在时间t观测到的复向量表示为

(1)

式中:ai表示第i个信号源的导向矢量;si(t)表示第i个信号源的波形;n(t)表示加性高斯白噪声。假定这里的期望信号、干扰和噪声在统计上相互独立。阵列的协方差矩阵可以表示为

R=E[x(t)xH(t)]=Rs+Ri+n。

(2)

阵列输出信号可以表示为y(t)=wHx(t),其中w为波束形成器的复数权向量。因此,阵列输出信干噪比((Signal-to-Interference plus Noise Ratio,SINR)定义为

(3)

通过最大化阵列输出SINR来实现Capon波束形成器:

(4)

式(4)的解为

(5)

将式(5)代入式(3)中,得到最优输出SINR表达式:

(6)

(7)

式中:K为快拍数。由此可得采样矩阵求逆算法(Sample Matrix Inversion,SMI)的权值为

(8)

2 基于导向矢量矫正和双层协方差矩阵重构的稳健波束形成算法

2.1 目标导向矢量估计

将整个观测区间Θ划分为信号区间Θs、干扰区间Θi和噪声区间Θn,即Θs∪Θi∪Θn=Θ。本文使用Capon功率谱来计算剩余噪声功率:

(9)

式中:θj是Θn的离散采样点;J是采样点数。根据文献[15]提出的实际噪声功率和剩余噪声功率的关系,可以得出实际噪声功率为

(10)

定义矩阵ψ为

(11)

可以认为ψ表示干扰导向矢量所在的干扰子空间。接着对其进行特征值分解:

ψ=BΓBH。

(12)

式中:B=[b1,b2,…,bM]和Γ=diag[γ1,γ2,…,γM]分别为酉矩阵和对角矩阵。取前L个较大特征值对应的特征向量组成子空间B1=[b1,b2,…,bL],且L

PHa(θi)≅0,θi∈Θi。

(13)

PHa0≅a0。

(14)

利用式(13)和式(14)消除接收信号中的干扰分量:

PH[xs(t)+xi(t)+xn(t)]≅

xs(t)+PHxn(t)。

(15)

接着利用式(7)计算投影样本协方差矩阵:

(16)

利用式(15)计算投影样本协方差矩阵:

(17)

结合式(16)和式(17),可以得到信号协方差矩阵:

(18)

(19)

(20)

2.2 干扰加噪声协方差矩阵的双层重构

根据式(9)和式(10),更精确的干扰加噪声协方差矩阵如式(21)所示:

(21)

(22)

(23)

(24)

定义矩阵φ:

(25)

对φ进行特征分解:

(26)

式中:B2=[b21,b22,…,b2M]和T=diag[t1,t2,…,tM]分别为酉矩阵和对角矩阵。取前N个较大特征值对应的特征向量组成子空间H=[b21,b22,…,b2N],且N

U=HHH。

(27)

由于H的补子空间与a(θi)正交,则有

PsHa(θi)≅0。

(28)

式中:Ps=I-U。正交性由于误差而被影响,因此越接近真实的干扰导向矢量,PsHa(θi)越接近于0。定义误差向量e,使得

(29)

(30a)

(30b)

(30c)

(30d)

将式(20)和式(21)代入式(8),可以得到权向量为

(31)

本文的DINCM算法步骤总结如下:

Step1 通过式(9)和式(10)计算剩余噪声功率并估计实际噪声功率。

Step2 通过式(12)计算信号投影矩阵。

Step3 通过式(16)和式(17)计算投影样本协方差矩阵。

Step4 通过式(18)计算估计的信号协方差矩阵。

Step5 通过式(20)计算矫正信号导向矢量。

Step6 利用Capon功率谱初步计算干扰加噪声协方差矩阵。

Step7 通过式(27)计算干扰投影矩阵。

Step8 通过式(30a)～(30d)计算精确的干扰导向矢量。

Step9 通过式(21)第二次重构干扰加噪声协方差矩阵。

Step10 将式(20)和式(21)代入式(31)计算最优权向量。

输出:最优权向量。

3 仿真分析

仿真基于8阵元的均匀线阵,阵元间距为半波长宽度。信号入射方向为0°,两个干扰入射方向分别为-30°和40°,干噪比分别为20 dB和30 dB。信号和干扰来波方向误差均为2°,即假定信号方向为-2°,两个干扰的假定方向分别问-32°和38°。信号区间Θs为[-5°,5°],干扰区间Θi分别为[-35°,-25°]和[35°,45°]。积分区间离散采样间隔为0.1°,噪声设置为服从N(0,1)的高斯分布。将本文所提重构算法(DINCM)与文献[10]所提算法、对角加载(Loading Sample Matrix Inversion,LSMI)算法、特征空间(Eigen Space)算法、最差性能最优化(Worst-case)算法和理论最优值(Optimal)进行比较分析,实验结果均为采用100次蒙特卡洛实验后的结果。LSMI算法对角加载量为10 dB,Worst-case算法导向向量误差范数上界ε0设为2。本文仿真运行环境为Matlab R2018a,电脑处理器为i7-7700HQ CPU 2.80 GHz。

3.1 不同输入信噪比下的波束图对比

仿真参数设置为输入信号信噪比分别为20 dB和0 dB,快拍数为200。从图1(a)中可以看出,在大信噪比条件下,本文所提算法不仅在期望信号的真实来波方向形成主波束,同时在干扰位置也形成了较深的零陷。文献[10]虽然在期望信号方向形成主波束,但由于没能矫正干扰信号方向失配,因此零陷没有对准真实干扰方向。LSMI算法虽然在干扰方向形成零陷最深,但在期望信号方向也形成了零陷,对其进行了抑制。Eigen Space算法的主波束也对准了真实来波方向,但对干扰的抑制较差。Worst-case算法的主波束对准了误差方向。

(a)SNR=20 dB

从图1(b)中可以看出,在小信噪比条件下,本文算法仍然可以在期望信号的真实方向形成主波束,并且保持较深零陷。文献[10]的零陷方向仍无法对准真实干扰方向。LSMI算法和Eigen Space算法的主波束无法对准期望信号的真实来波方向。总体看来,本文算法在各信噪比条件下都有较强的干扰抑制和寻找真实信号方向的能力,具有较好的稳健性。

3.2 输入SNR和输出SINR关系

仿真参数设置为输入信噪比范围为-10～30 dB,其余参数与3.1中相同。图2(a)为无导向矢量失配时各算法的输入SNR与输出SINR关系图,可见在低信噪比条件下本文算法与其他算法相比差别不大,在高信噪比下仍能保持很好的性能,各输入SNR条件下始终比最优值低约1 dB;文献[10]所提算法与本文算法性能基本一致;LSMI算法和Eigen Space算法随着信噪比增大逐渐趋于平缓;Worst-case算法性能最差。

(a)无导向矢量失配

图2(b)为存在导向矢量失配时各算法的输入SNR与输出SINR关系图,可以看出本文算法始终趋近于最优输出,尤其是在SNR为15 dB之后,更是体现出很好的稳健性,输出SINR在各输入SNR条件下均比文献[10]所提算法高出约5 dB;文献[10]由于无法矫正干扰来波方向,因此在性能方面有一定的下降,仅在高信噪比情况下有一定优势;LSMI算法和Eigen Space算法随着信噪比的增大,性能下降严重;Worst-case算法的曲线虽然保持逐渐上升,但性能较本文算法仍有很大的差距。

3.3 角度误差和输出SINR关系

仿真参数设置为输入SNR为15 dB,导向矢量角度误差范围为-8°～8°,其余参数与3.1中相同。从图3中可以发现,随着误差角度增大,LSMI算法、Eigen Space算法和Worst-case算法的输出SINR均有不同程度的下降,其中LSMI算法和Worst-case算法在误差角度为8°时性能几乎一样;Eigen Space算法虽有一定程度的下降,但整体更加稳定;文献[10]虽能保持输出SINR不随误差角度变化而变化,但数值始终比本文算法低约5 dB;本文算法在不同误差角度的情况下始终保持输出SINR接近最优值,抗导向矢量角度失配能力强,性能相较于其余四种算法更加稳定。

图3 角度误差与输出SINR关系

3.4 快拍数与输出SINR关系

仿真参数设置为输入SNR为20 dB,快拍数为[10,400],其余参数与3.1中相同。从图4中可以看出,LSMI算法随着快拍数变化始终保持在较低输出SINR,性能较差;Eigen Space算法和Worst-case算法在低快拍数呈现明显上升趋势,并随着快拍数增大逐渐趋于平缓;文献[10]算法具有一定稳健性,整体呈水平直线,但在各快拍数条件下,输出SINR始终比本文算法低约5 dB;本文算法整体呈水平直线,即使在低快拍数情况下仍能保持很好的性能,且始终接近最优值。

图4 快拍数与输出SINR关系

3.5 不同阵元数下的波束图对比

仿真参数设置为输入SNR为15 dB,其余参数与3.1中相同。通过图5(a)和(b)的对比可以看出,阵元数的增加会使主波束宽度变窄,即分辨率提高;本文算法在阵元数增加的情况下不仅能保持良好的波束指向性,更有比其余四种方法更低的旁瓣。

(a)8阵元

3.6 算法复杂度分析

从表1中可以看出,在相同运行环境下,本文所提算法比文献[10]算法的运算时间多出约0.6 s,这是由于本文算法在矫正干扰方向失配时需要用到迭代优化算法。虽然本文算法运行时间略高于其余算法,但本文算法在目标和干扰导向矢量同时失配的情况下性能更好,稳健性更强,且具有一定的实用性。

表1 算法运行时间比较

4 结 论

针对采样协方差矩阵中含有信号分量和信号导向矢量失配造成的自适应波束形成器性能下降的问题,本文提出了一种导向矢量矫正和双层干扰加噪声协方差矩阵重构的稳健波束形成算法。本文算法通过滤除接收数据中的期望信号成分来提高波束形成器的稳健性,即使在低快拍和大角度失配的情况下依然能保持良好的性能,在声呐、雷达等领域具有较好的应用前景。