非均布约束刚度下硬涂层圆柱壳自由振动的半解析建模及分析

杨 建, 张 月, 宋 华

(辽宁科技大学 机械工程与自动化学院,辽宁 鞍山 114051)

由于结构简单和力学性能好等优点,薄壁圆柱壳已广泛应用于航空航天等领域,如航空发动机机匣、空间站舱室、飞机及火箭壳体等。该类结构在服役过程中,长期承受动力源强迫振动等复杂交变载荷作用,极易发生过大振动、结构共振甚至疲劳失效等现象[1]。硬涂层作为一种特殊的金属基或陶瓷基热障涂层材料,同时兼具高硬度、耐高温、耐腐蚀和高阻尼等优点[2]。近年来,通过表面涂敷硬涂层材料对薄壁圆柱壳结构实施阻尼减振的方法受到广泛关注,这为航空航天薄壁圆柱壳构件在复杂环境下的振动控制提供了新方向[3-5]。

在航空动力装备中,薄壁圆柱壳结构通常通过螺栓连接的方式固定在其他壳体或基体部件上。由于制造、安装误差以及振动松动等因素的影响,螺栓预紧力会呈现一定程度的周向不一致的失谐特征,导致薄壁圆柱壳边界端部螺栓连接约束刚度呈现周向非均匀分布,进而直接影响硬涂层薄壁圆柱壳复合结构的模态及强迫振动特性[6]。因此,在考虑螺栓连接失谐的基础上,开展非均布约束刚度下硬涂层薄壁圆柱壳强迫振动的半解析建模及分析具有重要实际意义。

近年来,国内外学者对螺栓连接弹性约束下的硬涂层薄壁圆柱壳复合结构的数学建模及振动特性分析开展了大量研究工作。Sun等[7]结合试验测试和Rayleigh-Ritz法构建了均匀分布弹性约束下硬涂层薄壁圆柱壳的半解析模型,并分析了该复合结构的固有振动特性。Zhang等[8-9]分别利用有限单元法和Rayleigh-Ritz法对弹性约束硬涂层薄壁圆柱壳的线 性及非线性强迫振动特性进行分析,并提出一种连续变刚度弹性约束模型,可以在一定程度上考虑螺栓连接的非均布性,但该模型的应用基础在于各螺栓连接具有相同的约束刚度分布,无法描述螺栓连接的失谐问题。而现有关于薄壁圆柱壳振动问题的研究大多将螺栓连接考虑为均匀分布的弹性约束[10-12]。因此,目前对于螺栓连接失谐条件下的硬涂层薄壁圆柱壳复合结构的半解析建模及振动特性研究仍不完善,螺栓连接失谐对复合结构振动特性的影响尚有待进一步深入探讨。

本文通过建立周向离散化的螺栓连接非均布约束刚度模型,来描述硬涂层薄壁圆柱壳的螺栓连接失谐问题,在此基础上,利用Rayleigh-Ritz法建立非均布约束刚度下硬涂层薄壁圆柱壳复合结构自由振动的半解析模型。进而,深入分析螺栓连接失谐对硬涂层(NiCoCrAlY+YSZ)薄壁圆柱壳复合结构固有振动特性的作用规律。

1 周向离散非均布弹性约束模型

以8个螺栓连接为例,考虑螺栓弹性约束的硬涂层薄壁圆柱壳复合结构的几何模型如图1所示,该结构通过底部法兰固定在其他基体部件上。图1中,L和R0分别为圆柱壳的高度和内径。

图1 螺栓连接硬涂层薄壁圆柱壳复合结构几何模型

由于螺栓连接自身的离散性,螺栓附近法兰与基体的接触压力沿周向方向将呈一定的非均匀分布。若螺栓预紧力存在周向不一致问题,该接触压力还将出现相应的周向失谐现象。对于螺栓连接来说,预紧力越大,两连接件之间的接触压力越大,螺栓约束刚度则越大,这恰好说明接触压力的周向分布规律则从侧面反映了螺栓约束刚度的周向分布规律。为有效描述螺栓预紧力周向不一致所导致的弹性约束刚度失谐问题,本文提出了一种周向离散非均布弹性约束模型,其示意图如图2所示。

图2 硬涂层圆柱壳周向离散非均布弹性约束模型

图2中:正交曲线坐标系xθz的原点位于硬涂层薄壁圆柱壳复合结构的中性面上;R为中性面曲率半径;u,v和w分别为中性面上任意一点沿轴向x、周向θ和径向z方向的位移;t1和t2分别为圆柱壳基体和硬涂层的厚度。与常用的周向均布弹性约束模型一致,该模型采用弹簧约束描述螺栓连接的弹性约束,其约束边界任意一点的组合弹簧包含x,θ,z方向的3个平动弹簧和绕y轴的一个扭转弹簧,对应的弹性约束刚度分别为ku,kv,kw和kt。该模型根据螺栓连接的数量,将硬涂层圆柱壳结构沿周向以螺栓为中心等距离散为M个区域,在假定单个螺栓连接区域弹簧刚度均匀分布的条件下,允许不同的螺栓连接具有不同的弹性约束刚度,因而可以有效表征硬涂层圆柱壳的弹性约束刚度失谐问题,是对传统周向均布弹性约束模型的进一步发展。对于周向弹性约束刚度均匀分布的螺栓连接,其弹性约束势能Ub为

(1)

式中,wx为∂w/∂x。然而,由于约束刚度的非均布性,式(1)不再适用于周向离散非均布弹性约束的螺栓连接。为此,本文给出了改进后的周向离散非均布弹性约束势能Ub,具体可表示为

θλ1=2(λ-1)π/M,θλ2=2λπ/M

(3)

2 自由振动半解析建模

本文利用Love一阶近似理论和Gram-Schmidt正交多项式构建壳体能量方程和位移容许函数,进而采用Rayleigh-Ritz法建立非均布约束刚度下硬涂层薄壁圆柱壳复合结构自由振动半解析模型。

2.1 能量方程

根据Love一阶近似理论,对于h≪L的条件下,硬涂层圆柱壳复合结构中任意点的正应变和切应变可分别表示为

(4)

(5)

假设硬涂层圆柱壳处于平面应力状态,则该复合结构的延伸刚度Aij、耦合刚度Bij和弯曲刚度Dij可通过式(6)进行计算

(6)

(7)

(8)

则硬涂层圆柱壳复合结构的应变能Uε可通过式(9)进行计算[13]

(9)

式中,ψ和χ分别为刚度系数矩阵和应变向量,其表达式分别为

(10)

(11)

类似地,硬涂层圆柱壳复合结构的动能Tk可表示为

(12)

式中,ρ为加权密度,ρ=t1ρ1+ρ2t2。

2.2 位移容许函数

硬涂层圆柱壳复合结构中性面上任意一点沿轴向、周向和径向的位移容许函数可假设为

u=U(x)cos(nθ)sin(ωt),v=V(x)sin(nθ)sin(ωt),w=W(x)cos(nθ)sin(ωt)

(13)

式中:n为周向波数;ω为角频率;U(x),V(x)和W(x)为轴向振型函数,可定义为

(14)

2.3 动力学方程

通过去除弹性约束势能Ub、结构应变能Uε和动能Tk表达式中的时间t项,构造硬涂层圆柱壳的拉格朗日函数如下

∏=Uε+Ub-Tk

(15)

根据Rayleigh-Ritz法,分别利用式(18)对变量am,bm和cm求偏导并赋零值,即

(16)

由此可得到3N个包含变量am,bm和cm的方程,将其转换成矩阵形式则可表示为

(K*+Kb-ω2M)q=0

(17)

式中:K和M分别为硬涂层圆柱壳的3N×3N阶复刚度矩阵和质量矩阵;Kb为周向离散非均布弹性约束的3N×3N阶刚度矩阵;q为3N×1阶特征向量(Ritz向量),可表示为

q={a1,a2,…,aN,b1,b2,…,bN,c1,c2,…,cN}T

(18)

将式(13)代入式(2)并展开可得任意周向波数n和任意螺栓个数λ条件下的周向离散非均布弹性约束势能Ub的通用表达式,去除时间项后可表示为

(19)

其中,

(20)

则周向离散非均布弹性约束刚度矩阵Kb为

(21)

(22)

其中,

(23)

矩阵K*和M的具体表达式可参考文献[15]。由于复弹性模量中引入了各层材料的耗损因子,则材料阻尼矩阵D已经包含在硬涂层圆柱壳复刚度矩阵K*的虚部中。通过求解动力学方程式(17),便可得到特征向量q,进而获得各种弹性约束失谐情况下的模态振型。同时,周向波数n下的固有频率f可通过下式进行计算

|K*+Kb-ω2M|=0

(24)

fn=Re(ωn)/2π

(25)

式中,函数Re(x)为返回复数x的实部。

3 分析与讨论

3.1 模型验证

本文以涂敷NiCoCrAlY+YSZ硬涂层的圆柱壳复合结构为例,搭建了螺栓连接硬涂层圆柱壳振动试验平台,以验证所研发的半解析模型的合理性。试验测试系统如图3所示,硬涂层圆柱壳的底部通过8个M8螺栓将其固定到水平振动台台面上,螺栓拧紧力矩设置为40 N·m,通过力锤法获得硬涂层圆柱壳的各阶固有频率,其中锤击后硬涂层圆柱壳的时域加速度响应则通过激光多普勒测振仪进行测量。需要说明的是,由于试验条件限制,在固有频率测试过程中会出现一定程度的丢阶现象。

图3 硬涂层圆柱壳自由振动试验测试系统

本文所采用的硬涂层圆柱壳的几何参数为:高度L=95 mm,内径R0=142 mm,圆柱壳基体厚度t1=2 mm,硬涂层涂敷厚度t2=0.31 mm,相关材料参数如表1所示。这里为方便模型验证,针对周向离散非均布弹性约束模型,各离散螺栓连接区域的约束刚度值均取为相同,具体如表2所示。

表1 复合结构材料参数

表2 周向离散非均布弹性约束刚度取值

硬涂层圆柱壳固有频率的理论计算和试验测试结果对比如表3所示,其中偏差C=(A-B)/B×100%。

表3 硬涂层圆柱壳固有频率的计算与试验值对比

从表3中可以看出,结构固有频率的计算值与试验值的最大偏差为4.54%,具有较好的一致性;同时,该计算值与经典的周向均布弹性约束模型计算结果完全一致,该对比结果有效验证了半解析模型和周向离散非均布弹性约束模型的正确性。

另外,作为试验验证的补充,这里将理论和有限元计算结果作进一步的对比,如表4所示。由于有限元方法中模拟螺栓连接的弹簧约束刚度的含义、单位及取值均与半解析不同[16],为保证结果的可比性,这里以固支作为硬涂层圆柱壳底部的边界条件。对比结果显示,结构固有频率的计算值与有限元值的一致性较好,进一步验证了该半解析公式的正确性。

表4 硬涂层圆柱壳固有频率的半解析与有限元值对比

3.2 约束刚度失谐参数影响分析

螺栓连接区域约束刚度的失谐对硬涂层圆柱壳复合结构的振动特性具有重要影响。因此,这里分别以单螺栓约束刚度失谐为例,分析不同螺栓连接数量(以M=8,16,32和64为例)条件下失谐参数对该复合结构各阶固有频率的影响规律。基于表2中各螺栓的周向离散非均布弹性约束刚度值,定义失谐参数为相应约束刚度的缩放系数rk,其取值范围假定为0.50～1.00,间隔为0.05。其中,螺栓个数M=8,16,32和64时,约束刚度失谐参数对结构各阶固有频率的影响规律分别如图4所示。从图4可以看出,在不同螺栓数量下,随着约束刚度缩放系数rk的增加,复合结构的各阶固有频率整体呈现逐渐增加的变化规律,相应的变化率则呈现逐渐减小的变化趋势。

图4 不同螺栓数量下失谐参数对各阶固有频率的影响

在螺栓数量M=8条件下,周向波数n=5,9时的固有频率变化则出现略微减小的变化规律,且当周向波数n=1,3,5,7和9奇数时,固有频率对约束刚度缩放系数rk的变化相对较为敏感;在螺栓数量M=16条件下,周向波数n=5,6和7时的固有频率变化则出现略微减小的变化趋势,且当周向波数n=1,2和3时,约束刚度缩放系数rk的变化对结构固有频率影响较为显著,当周向波数n≥4时,不同失谐参数下固有频率随周向波数n的变化规律基本不变。在螺栓数量M=32条件下,失谐参数对结构固有频率的影响主要集中在n=1,2,3,4,5和6前6个周向波数范围内,且不同失谐参数下固有频率随周向波数n的变化规律基本保持一致。在螺栓数量M=64条件下,失谐参数对结构固有频率的影响主要集中在n=2,3,4,5,6,7和8中间这7个周向波数范围内,且与M=32情况类似,不同失谐参数下固有频率随周向波数n的变化趋势保持较好的一致性。

综合图4中各曲线的变化规律可知,随着螺栓数量的增加,约束刚度失谐参数对硬涂层圆柱壳复合结构固有频率的显著影响整体上逐渐由低周向波数转向高周向波数。由于硬涂层圆柱壳周向波数的增加与螺栓数量的增加存在一定程度的一致性,因此,这一现象可能与螺栓数量增加所导致的螺栓连接区域的减小存在密切联系。

4 结 论

本文通过半解析建模及不同螺栓数量下约束刚度失谐参数对硬涂层圆柱壳复合结构自由振动特性对比分析,得到以下结论:

(1) 硬涂层圆柱壳复合结构固有频率的计算值与试验值的偏差不超过4.54%,具有较好的一致性,同时与有限元计算值基本一致,且与经典的周向均布弹性约束模型结果完全一致,有效验证了该半解析模型及周向离散非均布弹性约束模型的正确性。

(2) 在不同螺栓数量下,随着约束刚度失谐参数的增加,固有频率整体呈现逐渐增加的变化趋势其变化速率逐渐减小。且螺栓数量越多,不同失谐参数下固有频率随周向波数变化的一致性越好。

(3) 随着螺栓数量的增加,约束刚度失谐参数对硬涂层圆柱壳固有频率的显著影响整体上由低周向波数转向高周向波数,这可能与螺栓数量增加所导致的螺栓连接区域减小存在密切联系。