基于ANCF的旋转超弹性厚壁REF振动特性分析

2023-10-31王忠民

振动与冲击 2023年20期

范博, 王忠民

(1. 西安理工大学机械与精密仪器工程学院,西安 710048; 2. 西安理工大学土木建筑工程学院,西安 710048; 3. 黄河科技学院建筑工程学院, 郑州 450006)

弹性基环模型(ring on the elastic foundation,REF)由弹性基和柔性环两部分组成,被广泛应用于柔性齿轮[1]、子午线轮胎[2]和机械弹性轮[3]等旋转柔性部件的动力学特性分析中。其弹性基一般由人工弹簧组和内压两部分组成,通过模态分析试验[4-5],可以得到人工弹簧组的周向/径向刚度。根据柔性环的不同假设,平面内REF模型可分为三种类型:基于Euler-Bernoulli弯曲梁的经典REF、基于Timoshenko弯曲梁的薄壁REF和基于平面应力问题的厚壁REF。

经典的REF最初是由Tielking[6]提出的。在随后续的研究中,将经典REF的柔性环视为由不可扩展线弹性材料[7]、可扩展线弹性材料或可扩展超弹性材料[8]制成的Euler-Bernoulli曲梁。考虑到横向剪切应变,Vu等[9]假设柔性环为Timoshenko曲梁,建立了一个薄壁REF模型,并分析了其线性振动特性。Lu等[10]考虑了Timoshenko梁理论之外的高阶剪切修正因子,建立了高阶薄壁REF。岳晓峰等[11]结合试验数据,利用有限元软件建立了超弹性薄壁REF,分析了子午线轮胎的振动特性。在上述REF模型中,柔性环都被视为环形梁,故忽略了柔性环径向应变对于模型动力学特性的影响,因此这些模型只能用于分析薄壁结构。在Lu等[12-13]的后续研究中,考虑了柔性环的径向应变,并开发了一个线弹性厚壁REF模型来探讨弹性基刚度对柔性环稳态响应的影响。就作者所知,关于超弹性厚壁REF的动力学研究目前在国内外仍然是一个空白。

Shabana[14]提出的绝对节点坐标法(absolute nodal coordinate formulation,ANCF)框架不区分随动坐标系,在固定坐标系中建立的动力学方程中质量矩阵为常数矩阵,且不含有离心力项和Coriolis力项。魏永[15]在不区分随动坐标系的框架下,利用达朗贝尔原理推导了高速电锯片的离心力项,在忽略Coriolis力条件下,分析了旋转速度对于振动频率的影响。Chen等[16]利用随动坐标系和固定坐标系的转化关系,推导了平面内柔性梁弯曲过程中广义离心力和Coriolis力。Fan等[17]建立了具有随动坐标系的ANCF框架,利用自适应曲梁单元建立了一种经典REF模型,探究了忽略Coriolis力条件下子午线轮胎的振动特性。

Mooney[18]通过物质相变理论和大量试验,利用Cauchy-Green变形梯度张量的基本不变量建立了超弹性材料应变能密度Mooney-Rivlin模型。Yeoh模型[19]也采用相似的表达形式对超弹性材料的应变能密度进行定义。同样阶数下,由于不考虑Cauchy-Green变形梯度张量的第二不变量的作用,Yeoh模型要比Mooney-Rivlin模型在形式上要简单。在文献[20-22]中试图在ANCF的框架下,结合上述两种应变能函数模型对超弹性材料的动力学特性进行研究。但是由于这些模型中都含有Cauchy-Green变形梯度张量的基本不变量的一次项,这会导致在无应变的状态下系统的仍具有较大的伪初始广义弹性力。在其他文献中没有提出伪初始广义弹性力存在的问题,更没有对这个伪初始广义弹性力进行补偿。

在具有随动坐标系的ANCF框架下,本文提出RAAE(rotating ANCF annular-sector element)单元,建立厚壁REF模型。基于Yoeh本构模型推导了厚壁REF模型的非线性运动微分方程,并基于振动平衡位置建立了该模型的线性化运动微分方程。通过与其他文献结果进行对比,验证了该模型的有效性,并通过一系列控制参数变量的计算预测了该模型的动力学特性。与其他研究不同的是,在本文中讨论伪初始广义弹性力对于振动平衡位置的影响,并且讨论在Coriolis力作用下厚壁REF模型振动频率随旋转变化的规律。

1 位置场描述

图1 厚壁REF模型和RAAE单元

如图1(b)所示,RAAE单元的变形过程可以被分解为2个运动的合成:一个是RAAE单元随着随动坐标系旋转由绝对初始位置刚体运动到相对初始位置;另一个是RAAE单元在随动坐标系内由相对初始位置发生柔性变形到相对变形位置。

在O-XY中,在随动坐标系O-XY中,RAAE单元的相对位置可以用用无量纲坐标ξ和η的插值函数表示为

X=A0+A1ξ+A2ξ2+A3ξ3+A4η+A5η2+

A6η3+A7ξη+A8ξ2η+A9ξη2+A10ξ2η2+

A11ξ3η+A12ξη3+A13ξ3η2+A14ξ2η3+A15ξ3η3

Y=B0+B1ξ+B2ξ2+B3ξ3+B4η+B5η2+

B6η3+B7ξη+B8ξ2η+B9ξη2+B10ξ2η2+

B11ξ3η+B12ξη3+B13ξ3η2+B14ξ2η3+B15ξ3η3

根据双三阶Hermite插值函数,RAAE单元相对初始位置场函数R0和相对变形位置场函数R可以被表示为

(1)

R=S(ξ,η)qij(t)

(2)

RAAE单元的相对变形广义单元坐标qij(t)可以写为

qij=[(Nij)T(Ni(j+1))T(N(i+1)j)T(N(i+1)(j+1))T]T(3)

(4)

(6)

其中,

(7)

(8)

(9)

(10)

式中,φi=2π/n。

RAAE单元的形函数S(ξ,η)为2×32矩阵可以被表示为

S=[S11ajS21bjS12ajbjS22

S31ajS41bj+1S32ajbj+1S42

S13ajS23bjS14ajbjS24

S33ajS43bj+1S34ajbj+1S44]

(11)

在形函数S(ξ,η)中Sαβ(α,β为下标识符表示1,2,3,4)可以被写为

Sαβ=Sα(ξ)Sβ(η)I2×2

(12)

(13)

设厚壁REF模型在随动坐标系O-XY中初始和变形后全局相对位置的广义坐标分别为q0和q(t),通过引入布尔矩阵Bij,可以将RAAE单元相对初始广义坐标和相对变形后广义坐标表示为

(14)

qij=Bijq(t)

(15)

(16)

(17)

其中,

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

式中,下标ϑ=ξ或η为矩阵或向量对坐标ξ或η求一阶导数。

根据式(23),绝对变形位置场函数对时间的一阶导数和二阶导数可以表示为

(24)

(25)

2 广义弹性力和广义刚度矩阵

2.1 超弹性厚壁环体的广义超弹性力和广义刚度矩阵

(26)

其中,

(27)

(28)

令

(29)

假设模型轴向线段在变形前后的长度和方向都不发生变化,那么模型在空间中Cauchy-Green应变张量C可以被写为

(30)

(31)

(32)

将不可压应变能函数理解为与体积变形无关的等积(偏量)应变能,再添加仅与体积比μ有关的体积(静水)应变能部分。为了避免计算过程中的体积闭锁现象,超弹性材料的Yeoh模型的应变能密度函数被表示为

(33)

式中:I1=tr(C);μ2=I3=det(C);α为体积应变能参数。

必须指出的是由于应变能密度函数中存在Cauchy-Green变形梯度张量的基本不变量的一次项,当超弹性材料在初始状态下(此时,I1=3和μ=1),会存在

(34)

根据式(33)可得,超弹性环的弹性力的虚功可以被表示为

δWR(q)=δqTQR(q)

(35)

(36)

式中:h为环的横向(垂直于平面方向)高度;Aj为单元初始面积,Aj=aj(bj+bj+1)/2;QR为超弹性环体的广义弹性力列阵。

超弹性环体的广义刚度矩阵可以被表示为

在没有任何柔性变形发生的相对初始位置场,超弹性环体的初始广义弹性力应当为0。根据式(34)和式(36)可以推导,在相对初始位置场,超弹性环体具有伪广义弹性力,即QR(q0)≠0。在文献[23]中都没有对这个伪初始广义弹性力进行讨论和补偿。

2.2 弹性基的广义弹性力和广义刚度矩阵

厚壁REF模型的弹性基由人工弹簧组和内压两部分组成。

根据胡克定律,环内壁单位面积内人工弹簧组的应变能面密度函数可以写成

(38)

式中,u和v分别为环体内缘边界上任意一点沿初始径向和环向量的位移。它们可以根据几何关系表示为

(39)

根据式(39),式(38)可以被改写为

(40)

人工弹簧组弹性力的虚功可以被表示为

δWS(q)=δqTQS(q)

(41)

(42)

式中,QS为人工弹簧组的广义弹性力列阵。

人工弹簧组的广义刚度矩阵可以被表示为

(43)

假设旋转超弹性厚壁REF在变形过程中内部压力和温度不会发生变化。在此理想假设下,内压的应变能密度函数可以写成

UP=P0ΔV

(44)

基于轴向线段不变假设,厚壁REF内腔的微元体积变化可以被表示为

(45)

根据式(45),式(44)可以被改写为

(46)

内压在变形过程中的虚功可以被表示为

δWP(q)=δqTQP(q)

(47)

(48)

式中:QP为内压的广义弹性力列矩阵;b1为最内侧单元内缘的周向长度。

内压的广义刚度矩阵可以被表示为

(49)

3 非线性动力学微分方程

基于法线段不变假设,厚壁REF的惯性力做的虚功可以表示为

(50)

将式(21)和式(25)代入式(50),可得

(52)

式中,M为超弹性厚壁REF模型的广义质量矩阵。

虚功原理为

δWT+δWR+δWS+δWP=δWW

(53)

式中,δWW为广义外力的功。

将式(50),式(35),式(41)和式(47)代入式(52),并对伪初始广义弹性力进行补偿,经过运算可得旋转超弹性厚壁REF模型的非线性运动微分方程为

(54)

QE(q)=QR(q)-QR(q0)+QS(q)+QP(q)

(55)

式中,单下划线和双下划线项分别为广义Coriolis力和离心力项。

若超弹性厚壁REF模型以匀速转动(角速度Ω)时,式(54)可以被转化为

(56)

令qS为平衡状态下系统的广义坐标,则

(57)

通过牛顿迭代法可以求得qS。

(58)

根据泰勒一阶展开式,可得

(59)

将式(57)和(59)代入式(58),可得

(60)

设δqS=Aejωt代入式(60)得

(61)

式中,A为特征向量。式(61)有非零解的充要条件为

(62)

式中:ω=[ω(0,0)ω(1,0)ω(0,1)Fω(0,1)B…ω(N,M)Bω(N,M)F],下标N为节圆数,M为节径数,F为前行波,B为后行波。需要指出的是,q为的全局相对变形广义坐标,固有频率中ω(N,M)F,ω(N,M)B为随动坐标系O-XY中的前后行波频率。

(63)

4 数值计算与分析

基于岳晓峰等的试验数据,建立超弹性厚壁REF模型,相关参数如表1所示。

表1 模型参数

在模型中添加向心的集中载荷F=3 750 N。如图2所示,当单元分布为20×1和30×2时,模型加载点的局部变形几乎完全相同。这说明单元划分为20×1时,超弹性厚壁REF模型具有较好的收敛性。

图2 不同单元分布的受载模型的平衡位置

根据Yeoh模型的本构参数,可得等效线弹性厚壁REF模型的剪切模量G*=2C10,弹性模量E*=α以及泊松比ν*=0.5。如图3所示,在相同载荷条件和单元离散方式下,超弹性和等效线弹性模型具有相似的平衡位置。这间接说明了本文模型的有效性。

图3 超弹性模型和等效线弹性模型的平衡位置

如图4所示,伪初始广义弹性力不进行补偿时,超弹性厚壁REF模型的平衡位置处,环壁厚度减小,并且每一个单元都出现了相似的畸变。为了保证所求平衡位置的准确性,伪初始广义弹性力应当要进行补偿。

图4 无初始弹性力补偿时受载模型的的平衡位置

在自由状态下,部分试验振型和本文模型振型如图5所示,自由振动的部分频率分析结果如表2所示。通过对比试验结果和超弹性薄壁REF模型的结果,说明本文所建立的超弹性厚壁REF模型可以有效地分析子午线轮胎的振动特性。

表2 自由振动的部分频率

图5 自由状态下振型

除此之外,利用超弹性厚壁REF模型分别计算得出了(0,0),(1,0)和(0,1)阶频率和振型,如表3所示。

表3 (0,0),(1,0)和(0,1)阶自由振动频率

分别假设模型的弹性基参数为kξ=2.5×10λPa,kη=2×10λ2Pa和P0=2.5×10λ3Pa。如图6所示,在表1所示模型参数的基础上,通过改变单一弹性基参数可以发现:当弹簧刚度超过2×104Pa时,模型的各阶频率开始随其的增大而增大。当径向弹簧刚度超过2.5×1016Pa,切向弹簧刚度超过2×1012Pa模型的各阶频率开始趋于收敛。内压大于2×104Pa时,模型的各阶频率会随着内压的增大而增大。由于内压过大,不符合实际情况,故没有进一步的分析。