学为中心：导引“教材”向“学材”转型的罗盘——以“用字母表示数”教学为例

江苏南京市江宁未来科技城小学 （211100） 戴 芬

教材不仅是为教师准备的，更是为学生准备的，“如何利用教材，以学为中心进行教学”是教师应该着重思考的问题。对此，笔者以“用字母表示数”这一课为例，就如何把“教材”变成“学材”进行了实践与反思。

【案例描述】

片段一：变教材的单一情境为学生的多元表征

笔者在研读苏教版教材五年级上册“用字母表示数”时，总感觉例1 和例2 的两个情景图（如图1）衔接得不够流畅：例1是摆小棒找规律，例2是行程问题找关系。对此，笔者做了一些改动。

图1

（省略例1摆小棒的教学过程）

师：老师一共有280 根小棒，刚刚摆三角形已经用去一部分，还剩一部分。你能概括出所有情况吗？

生1：280-b。

师：“280-b”表示什么？

生2：表示剩下的一部分。

师：为什么用减法表示呢？

生3：一共有280 根小棒，已经用去一部分，还剩下一部分。

生4：因为“总共的-已经用去的=剩下的”。

师：看来“280-b”不仅表示结果，还能表示它们之间的数量关系。这里的b可以是哪些数？

生5：所有的自然数。

师：可以是小数吗？为什么？

生6：不能是小数，这里的b表示的是小棒的根数。

师：在生活中能找到用“280-b”表示的例子吗？其中b可以是哪些数？先独立思考，再与同桌交流。

生7：妈妈带了280 元去购物，用了b元，还剩“280-b”元。这里的b也是自然数。

生8：车上有280 人，下车b人，车上还有“280-b”人。这里的b也是自然数。

生9：有280厘米长的绳子，用去b厘米做纸花，还剩“280-b”厘米。这里的b是长度，可以是小数、分数，也可以是自然数。

师：之前情境中的b是自然数，现在b也可以是小数、分数。看来b的取值范围要根据情境来考虑。

师：老师也举一个例子（出示教材中例2 的“行程问题”）这里可以用“280-b”表示吗？这里的b可以是哪些数？举个例子，当b是……剩下的路程怎么算？当b是……剩下的路程呢？

生10：当b是50 时，“280-b”就是230。当b是72.5时，“280-b”就是207.5。

师：看来b的值确定了，“280-b”也会随之确定。

师：为什么这些例子都能用“280-b”表示呢？

生11：都是从整体中拿掉一部分，求剩下的一部分。

师：因此它们的关系是一样的，都可以用含有字母的减法式子表示。

片段二：变教材的直接规定为学生的自主表达

“用字母表示数”的例3（如图2）是教学含有字母的式子的书写方式的内容，这部分内容如果只是让学生单纯听，没有思考和辨析，学生会很容易遗忘和混淆。因此，这里应该把教师的“讲授”改为学生的“表达”。

图2

师：通过刚刚的学习，我们已经知道了可以用字母表示数，含有字母的式子能让我们清楚地看到它们蕴含的数量关系。其实这些式子还有一些规定呢！请自学教材第100 页的内容，看清要求，带着问题自学。

师：谁来跟大家分享你的学习成果？

生1：我知道了正方形周长公式是C=a×4 或者C=4×a，正方形面积公式是S=a×a。

生2：我有补充。a×4 或者4×a都可以写成4·a或4a。

师：是的，但数字与字母相乘，一般把数字放前，字母放后。

生3：我还知道字母和字母相乘时怎么写，比如a×b可以写成ab。

师：不同的字母相乘时要按照英文字母的顺序。正如生3介绍的，一般写成ab，而不是ba。

生4：相同字母相乘，比如a×a可以写成a2，读作a的平方。

生5：字母和1相乘，直接写字母就行。比如a×1写成a。

（在学生的对话中，教师整理出所有类型的含有字母的式子）

师：请一人写含有字母的式子，其他人抢答简写形式。

生6：a+a可以怎样简写呢？

生7：可以写成2a，因为a+a=2×a，也就可以写成2a。

片段三：变教材的静态呈现为学生的思维活动

教材“练一练”的第2 题（如图3）是直接给出“妈妈比玲玲大28 岁”这个关系，让学生根据玲玲的年龄在表格中填写妈妈的年龄。如果教师只是简单地呈现表格和问题，那么学生用含有字母的式子表示妈妈和玲玲的年龄关系就格外被动。如何化被动为主动？笔者将教材中静止的表格变为动态的活动。

图3

2.根据“妈妈比玲玲大28岁”填写下表。

师（出示表格前两列：学生10岁，老师30岁；如图4）：你能用含有字母的式子表示学生与老师之间的年龄关系吗？

图4

生1：学生n岁，老师n×3岁。

生2：学生n岁，老师n+20岁。

师：你们同意谁的想法呢？小组讨论，并将更多的数据填入表格中。

小组1：学生10 岁时，老师30 岁，老师的年龄是学生年龄的3 倍，此时确实是可以分别用n和n×3 表示他们的年龄。当学生11 岁时，老师是31 岁，11×3=33，而老师的年龄是31岁，不是学生年龄的3倍；当学生9岁时，老师29岁，老师的年龄也不是学生年龄的3 倍……以此类推，只有今年学生的年龄和老师的年龄可以用n和n×3 表示，但这种表示方法不适合其他时间。

小组2：不管是哪一年，老师永远比学生大20岁，用n和n+20能够表示出任意一年老师和学生的年龄关系。

师：刚刚小组的发言给了你们什么启示？

生3：n和n×3 只能表示今年的年龄情况，而n和n+20可以表示出任意一年的年龄情况。

生4：虽然学生和老师年龄会变，但他们的年龄差永远不会变。

生5：在用字母表示关系的时候，不能只看一组数据的关系，所有的情况都要符合关系。

……

【案例反思】

要想真正做到变“教”为“学”，让教材贴着学生的“学”有效施行，需要结合教材与学生的实际情况，在以学为中心的教学立场，对学习素材的选择、学习活动的展开以及学习成果进行分析。

一、学习素材的选择：是“照本宣科”教材的内容，还是贴近学生的真实体验？

对于“用字母表示数”，教材提供的素材有小棒图、行程图、长方形和正方形、年龄关系的表达等，可以说，这些直观、形象的素材便于学生对本节课的学习和理解。但教材只是一个引子，学生的数学学习不能仅仅依靠教材里的素材，在教室外还有更为广阔的世界。因此，基于本节课例1 的通过摆小棒体验用字母表示数和数量关系，以及例2 的行程问题中有关用字母表示数量关系的问题，笔者首先给出了衔接性的问题“一共有280 根小棒，刚刚摆三角形已经用去一部分，还剩一部分”，再让学生用字母式表示结果，然后让学生结合自己的生活经验表征更为丰富多元的情境，如购物、坐车问题、手工制作等。这些引发学生真实感受和共鸣的学习素材，不仅让学生进一步体会到用字母表示数具有概括一类数量关系的作用，还使得学生的思维得以进阶，而这种基于学生真实体验的学习素材让学生自然地感悟到在不同的情境中字母的取值范围可以是整数、小数或者分数。同时，例1和例2的衔接和过渡更是顺理成章。因此，学习素材只有贴近学生的真实体验，才能真正做到以学定教、以学促教。

二、学习活动的开展：是“照搬套用”教材的呈现，还是契合学生的思维需要？

教材往往只是呈现了知识形成的逻辑线索，教师还需要根据学生的实际情况进行二次加工，以获得适宜学生学习的活动。笔者立足于循序渐进和契合学生思维需要的原则，对本节课的学习活动进行了重新设计：在例1 和例2 的教学中让学生先充分思考用字母表示数和数量关系的过程，使学生内化不同情境下用字母表示数和数量关系的体验，在此基础上，学生生发学习字母简写的需要，整个学习活动以学生需要的方式自然地发生。不仅如此，笔者还对教材中年龄问题的呈现方式进行了创造性地改编，让学生先分析题目中老师和学生的年龄关系，再对不同结果进行辨析和交流，从而真正使得学生理解用字母表示变化规律时，只有对已有数据进行观察、比较、计算、分析、归纳和验证，才能准确表达规律。这样的呈现过程相比于简单呈现表格暗示结果更能帮助学生形成自己的数学思维。

三、学习成果的得出：是“照猫画虎”教材的结论，还是遵从学生的感悟表达？

在学习的过程中，学生对于知识往往会带有自己个性化的理解和感悟。如果教师强行将学习结论直接灌输给学生，那么用不了多久，学生就会遗忘，更谈不上构建知识的结构。基于建构主义和儿童心理学，笔者以为，在教学中要充分发挥学生的主体作用，让学生在学习历程中充分地思考、感悟和表达自己对知识的理解，并在与同学的交流碰撞中修正和完善自己的学习，从而真正达到学习知识的目标。例如，在本案例中，笔者充分给予学生体验多元情境表征下用字母式“280-b”表示一类数量关系的过程，从而让学生体会到字母式的概括作用及字母相应的取值范围。再如，让学生自学字母式的简写内容后，通过学生个性化的表达，使得用字母表示数的简写规则在学生集体的交流讨论中趋于完善。相较于直接灌输，这样的学习成果的得到更有利于学生发挥学习的积极性和能动性。

总而言之，教是为学而服务的，教师需要选择适宜学生学习的“材”，根据学生的需要设计和开展学习活动，关注学生个体与集体的学习成果的表达与感悟，从而真正地实现变“教材”为“学材”。