物理图像中的两类“斜率”的辨析与应用

杨志宇

(黑龙江省绥化市望奎县第一中学)

物理高考大纲明确指出学生应具有应用数学处理问题的能力,能运用几何图形、函数图像对物理问题进行表达和分析.物理图像斜率是将数学和物理有效衔接的一种方式和手段,很多物理图像问题的解决都离不开对斜率意义的分析和探讨.物理图像中有两类斜率,这两类斜率的物理意义不同,学生又容易将两类斜率混淆,造成错误求解.本文对两类斜率的物理意义进行辨析和讨论.

1 物理图像中的两类斜率

1.1 切线斜率

如图1所示,图像上P点的切线斜率为,表示为物理量y对另一个物理量x的导数,它与函数y对x的求导结果是一致的.

图1

1.2 割线斜率

如图2所示,取图像上一点P,连接OP,OP为割线,它的斜率为,即图像上某点和坐标原点连线的斜率.显然,只有物理图像为过原点的一条直线时,切线斜率才与割线斜率相等.

图2

2 两类斜率的意义

如果图像中的纵轴物理量y与横轴物理量x的比值与高中阶段的某个物理量的定义相同或者单位相同,那么这个斜率就有明确的物理意义,反之图像斜率就没有意义.但是切线斜率和割线斜率描述物理意义的形式不尽相同.

2.1 切线斜率表示的物理意义

用微小变化量的比值来反映的物理量可以用切线的斜率去表示,常见的有物理量对时间的变化率和物理量对空间位置的变化率,如表1所示.

表1

2.2 割线斜率表示的物理意义

物理量是状态量的比值,即用某一瞬间的物理量y与物理量x的比值定义的,要用割线斜率去表示,即.比如常见的电阻,电容,电场强度等.

3 应用

两类斜率表达的物理形式和意义是不同的,不能混为一谈.在具体应用时,根据图像y轴和x轴所表示的物理量,结合所学的物理知识,分析和哪个具有物理意义,就选用哪个形式对应的斜率进行解题.

3.1 切线斜率的应用

例1两电荷量分别为q1和q2的点电荷放在x轴上的O、M两点,两电荷连线上各点电势φ随x变化的关系如图3 所示,其中A、N两点的电势为零,ND段中C点电势最高,则( ).

图3

A.C点的电场强度大小为零

B.A点的电场强度大小为零

C.NC间场强方向沿x轴正方向

D.将一负点电荷从N点移到D点,电场力先做正功后做负功

3.2 割线斜率的应用

例2小灯泡通电后其电流I随所加电压U变化的图线如图4所示.P(U1,I2)为图线上的一点.PN为P点切线,与I轴交于点N(0,I1),PQ为U轴的垂线,PM为I轴的垂线.下列说法不正确的是( ).

图4

A.对应P点,小灯泡的电阻为

B.对应P点,小灯泡的电阻为

C.随着所加电压的增大,小灯泡的电阻增大

D.对应P点,小灯泡的功率为图中矩形PQOM所围的面积

3.3 综合应用

例3如图5 所示,一个小物体沿光滑斜面由A点上方从静止开始加速下滑,在它通过的路径中取AE并分成相等的四段,vB表示通过B点时的瞬时速度,v表示AE段的平均速度,则vB与v的关系是( ).

图5

A.vB＜v

B.vB＝v

C.vB＞v

D.以上三种关系都有可能

图6

4 结语

运用斜率(数学工具)解决物理问题是学生必备的品格和关键能力之一.运用斜率求解物理问题,关键是要理解斜率所对应的物理意义和规律,将斜率反映的物理特点和关系明确出来,从而一蹴而就地解决问题.教学实践中要注重引导学生严格分析图像所遵循的物理规律,并运用数学知识加以解决,从而逐步提高数形结合解决问题的思维能力.

(完)