高中数学学思融通背景下的问题导学应用思考

摘 要：新课程改革提出要求，要进一步提高教师的专业素养和业务能力，践行学思融通，应用问题导学。应用问题导学的学思融通课堂有助于师生形成课堂生态，培养学生思维能力，整合学科资源，变革学习方式，呈现高中数学课堂的全新面貌。文章研究了学思融通理论的优势以及问题导学在高中数学学思融通课堂中的具体应用。

关键词：高中数学；学思融通；问题导学

作者简介：张敏（1985—），男，江苏省建湖县第二中学。

如果将数学学习比喻成一棵小树苗，那么促进小树苗成长的沃土就应当是数学课堂。怎样的课堂教学才能激发学生的数学意识、锻炼学生的数学思维、培养学生的数学思想呢？笔者认为，应当创造学思融通的数学課堂，让学生的数学学习“活”起来。孔子曰：“学而不思则罔，思而不学则殆。”落实学思融通的教学理念，就是要让学生边学习边思考，以达到融会贯通的深度教学目的。这也是让数学学习成为学生的内在需求，促使学生不断学习的一种方法。

在教学实践中，部分学生会在学习时迷失方向，分不清主要和次要，遗漏重点和难点。针对此情况，数学教师要基于学思融通理论，通过问题导学，用问题引导学生学习，帮助学生融会贯通，给学生的深度学习指明方向，让学生积极、快乐地开展自主学习与探究［1］。

一、兴趣式导学，提升学生的主观能动性

兴趣是学生学习驱动力的内在源泉。兴趣式导学在教学中有着广泛的应用，可以打破以往传统数学课堂的沉闷氛围，让课堂变得活跃、高效，还能够让学生在学中思、思中学，做到学思融通。

（一）在具体的情境中探究特殊化的问题

数学学习兴趣和学习方法紧密相关，如果学生有数学学习兴趣，就会积极地想出学习方法，而不会消极地等待。学习兴趣有助于学生主观能动性的发挥，有助于学生形成正确的学习态度以及学习习惯。因此，培养学生的学习兴趣有助于学生学习水平的全面提升。

例如，高中数学“等差数列”这一节要求学生明确等差数列的定义，掌握等差数列的求和公式和性质。学生在小学五年级时就接触过“等差”这一概念，因此能够快速地了解等差数列的定义，但部分学生不太清楚如何推导等差数列的求和公式。为了带领学生推导出等差数列的求和公式，笔者提出了一个有趣的数学问题：“大家都知道著名的数学家高斯吧？有一天，他的老师出了这样一道数学题：1+2+3+4+5+6+7+8+10+…+100=？全班同学中，高斯最先算出正确答案，等于5050。请问他是怎么计算出来的？”笔者在学生思考后进行解释，指出高斯是利用等差数列的性质求出来的：1+100=101，2+99=101，3+98=101，4+97=101，5+96=101……本数列的求和公式是首项加末项，乘以项数再除以2。在高斯的求解思路中，已经体现了“首项加末项”这一关键点。当学生对这个情境中的特殊化的问题感到好奇时，便会产生浓厚的学习兴趣。

（二）在具体的情境中探究一般化的问题

兴趣需要培养，且需要长期的过程。很少有学生从一开始就对某一门学科具有强烈的兴趣。只有在学习的过程中，学生的好奇心、探究欲才会被激活，学习兴趣才能被逐渐地培养起来。学生只有学会观察问题、活用公式之后，才能将特殊化的问题转化为一般化的问题［2］。

例：已知an=（）n，把数列{an}的各项排列成如图1所示的三角形，记A（m，n）表示第m行的第n个数，那么请问A（10，11）为多少？

教师引导学生观察图1，学生会发现数字的分布是有规律的，第一行中，这个数列只有a1这一个数；第二行中，最后一个数为a4；第三行中，最后一个数为a9……依此类推，可以看出该三角形的每一行的最后一个项的项数为行数的平方，那么可推出第10行的最后一个项的项数为102=100，即a100。于是可以视第10行为一个数列，它有2n-1个项，即它有19个项。得到第10行第一个项为100-19+1=82，所以第11项的项数为82+11-1=92，由数列通项公式an=（）n计算A（10，11）的数值，可得A（10，11）=a92=（）92。

二、提问式导学，促使学生自主思考问题

提问式导学是指当学生遇到较难的数学知识点或较难的数学问题时，教师按照原题干对问题进行细化，给出一系列的小问题，引导学生自主思考，让学生在学中思，在思中学。

（一）引导学生理解数学概念

在数学课堂上，教师既不宜直接抛出数学知识点，也不宜直接给出问题的答案，而是要精心设计问题串，通过问题串让学生自主思考问题，在知识生成和问题解决的过程中，发展学生的数学核心素养和能力。学生面对的问题是课堂导学的方向，学生解答问题时的表现可以当作学生学习情况的一种反馈。

例如，在高中数学“几何概型”这一节的教学中，笔者在课堂上给出了一个典型的数学题目：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内为白色、黑色、蓝色、红色、金色，靶心为金色，金色的靶心叫“黄心”。奥运会的比赛靶面直径为122厘米，靶心直径为12.2厘米，运动员在70米外射箭。假设射箭都能中靶，且射中靶内任意一点都是等可能的，那么射中“黄心”的概率有多大？

笔者创设情境并设计问题串：（1）试验中的基本事件是什么？（2）每个基本事件发生是等可能的吗？（3）符合古典概型的特点吗？（4）符合几何概型的特点吗？（5）如何求解几何概型的概率？经过这几个问题的引导，学生发现，这道题目并不是之前所学习的古典概型，而是今天学习的新的几何概型。一般地，在几何区域D中随意地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率为（d的测度）/（D的测度）。很快，学生就算出了正中靶心的概率。

（二）引导学生深化数学概念

教师将具体情境中的问题转化为抽象的概念，引导学生思考抽象的概念的数学本质，让学生跟着教师的思路不断地思考。“在学习中思考，在思考中学习”的模式，符合学思融通的基本内涵。

例：点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为多少？

学生通过思考发现，设事件M为“劣弧的长度小于1”，则满足事件M的点B在定点A的两侧，与定点A构成的弧长小于1。弧上随机取一点，那么依事件发生的概率，由几何概型的概率公式得：P（M）＝。

三、互动式导学，促使学生灵活应用知识

互动式导学要求教师借助问题开展师生互动，让学生的思维活跃起来，同时开展生生互动，让学生和学生之间碰撞出思维的火花。如此，让学生在学中思，在思中学。

（一）应用数学思想解决问题

教师在课堂上抛出具体的数学问题让学生回答时，要认真倾听、仔细分析学生的回答。首先，分析学生的回答是否正确，了解学生的基本水平，必要时再追加问题；其次，分析学生的回答是否完整，了解学生思维的严密度；最后，观察学生答题的角度，了解学生思维的切入点。将课堂的焦点聚集在学生的回答上，教学互动得以加强，凸显了学生的主体地位。

例：已知3x2+2y2=6x，试求x2+y2的最大值。

解：由3x2+2y2=6x得y2=-x2+3x。因为y2≥0，所以-x2+3x≥0，即0≤x≤2。又因为x2+y2=x2- x2+3x=-（x-3）2+，所以当x=2时，x2+y2有最大值，最大值为-（2-3）2+=4。

依照解题的需求，学生把方程问题转化为函数问题。经笔者的提醒，学生联想到y2≥0这一限制条件，从而又快又准地求出了最大值。在互动式导学中，学生通过互动发现了隐藏条件，启发了解题的思路。

（二）采用多种策略解决问题

在解决数学问题的时候，要根据实际情况选择解题策略。有时候题目缺少某个解题条件，但是通过类比、推理，我们能找出其他的解题条件。类似的，取特殊值、逆向思考等方法，可以帮助学生灵活地解决数学问题。在解决数学问题时，教师要引导学生采用多种策略，提高学生思维的变通性［3］。

例：已知二次函数f（x）=ax2+bx+c=0（a>0），满足f（2+x）=f（2-x），试比较f（0.5）与f（π）的大小。

这一题看似解题所需的条件不完整，但是由已知条件f（2+x）=f（2-x）可知，与x=2等距离的点的函数值相等，说明该函数的图象关于直线x=2对称，又可根据f（2+x）=f（2-x）推知它的开口向上，所以能判断该函数的大致图象。解：由f（2+x）=f（2-x）可知f（x）是以直线x=2为对称轴，开口向上的抛物线，那么，与x=2距离越近的点，函数值越小。因为|2-0.5|>|2-π|，所以f（0.5）>f（π）。

四、生活式导学，促使学生跨学科学习

要提高学生应用数学知识的能力，教师可以借助生活化的素材，在课堂上向学生提问，让学生在学中思，在思中学。这样的导学方法，有利于培养学生的数学核心素养。STEM（科学、技术、工程和数学教育）项目学习重视实践活动，重视学生的感受和体验，要求学生具备跨学科学习的意识，从生活实际需求出发，理解创新的价值和意义。从生活实际的角度出发进行导学，有利于学生灵活应用知识，实现融会贯通。

（一）从生活的角度去分析跨学科知识

数学教师要开展跨学科教育，将科学、技术、工程和数学教育进行融合，要求学生突破不同学科之间的隔阂，以激发学生的创新思维，提升学生应用数学知识解决问题的综合能力。

例如，笔者引导学生分析以下的公式：st=v0t+× at2==t，vt=x0+at。让学生了解函数各变量的物理意义：a为加速度，v0为初速度，vt为t秒时的速度，st为t秒时的位移，等等。学生发现，物理中的运动学公式本质上是函数，物理学家通过建立数学模型，分析函数中各变量对物体运动的影响，从而发现物理规律，解决物理问题。教师还可进一步创设情境，设计具有创新性的问题，让学生从生活的角度去分析跨学科的知识。

（二）解决生活中的STEM问题

教师可根据学生学情设计实践活动，让学生解决生活中的STEM问题。在数学知识的引导下，学生将在解决问题的过程中构建跨学科的“知识地圖”。尽管学生所取得的创新成果可能比较微小，但其所带来的成就感，将极大地激发学生的学习动力。在新时代背景下，通过综合运用数学知识，并最大限度地发挥其优势，已成为推动知识创新的重要途径。让学生学会灵活地应用数学知识，是生活式导学的目标之一。教师应基于生活化的数学知识创新，积极开展跨学科教育，以满足社会发展对人才的需求。

结语

教师除了日常的备课、教学、批改作业，还要研究教材内容和习题之间的关系，做好导学设计工作，让学生在教师的引导下，实现核心素养和综合能力的提升。问题导学法是高中数学教学中的常用方法，能促进高中数学课堂实现学思融通。在数学教学中，教师使用兴趣式导学法、提问式导学法、互动式导学法、生活式导学法，均可取得不错的教学效果。

［参考文献］

杜宇，张蛟.普通高中学科融通教学的实践探索与反思［J］.试题与研究，2020（34）：4-5.

苏圣奎，缪琳，陈清华.基于STEM的高中数学建模进阶式课程设计与实践［J］.数学建模及其应用，2022，11（2）：88-94.

唐丽华.学思融合，提升素养：深度学习下高中数学教学中思维能力的培养探究［J］. 中外交流，2021，28（2）：1581.