几何直观在解决小学有余数除法问题中的尝试——以“进一”和“去尾”为例

麦小燕

一、 引言

几何直观主要是指运用图表描述和分析问题的意识与习惯。利用图表分析实际情境与数学问题,探索解决问题的思路,有助于建立形与数的联系,构建数学问题的直观模型,把握问题的本质,明晰思维的路径。

二、 有余数除法解决问题的教学现状

目前有余数除法解决问题的教学不容乐观。学生存在的问题主要有:不理解题意,生搬硬套解题模式,常常见到题目中的“至少”就“进一”,见到“最多”就“去尾”,但不知道为何要“进一”和“去尾”;将数学与生活联系起来的意识不够强,导致对余数的“取”“舍”模棱两可。

而教师日常只关注本年级“有余数除法解决问题”知识点教学,没有对整个小学阶段出现的有余数除法解决问题知识点进行系统性研究。在例题的教学中,忽略了画图策略的运用,没有让学生从根本上去理解余数的“取”与“舍”,特别是在教授高年级的有余数除法问题时,引导花费时间较少,讲解也不到位,多半是套解题模式。所以,小学有余数除法解决问题的教学随意低效,长此以往,学生将疲惫不堪,思维能力也得不到提升。

三、 几何直观在解决有余数除法问题中的必要性

在有余数除法解决问题(以“进一”法和“去尾”法为例)的教学中,借助几何直观把有余数除法的应用问题转换成直观图,厘清数量关系,可以帮助学生从根本上去理解问题、解决问题。另外,借助几何直观有意识地沟通数、形之间的联系,把“数形结合”有意识地渗透在学生解决问题的过程中,有助于培养学生几何直观核心素养,提高学生的数学思维品质。

(一)几何直观助力数学信息的正确解读

正确地解读数学信息,是有效建立数量关系模型的前提,几何直观能有效地帮助学生正确解读数学信息。在有余数除法解决问题的教学中,我们要充分利用示意图来帮助学生解读信息的含义。教学时,我们首先要引导学生将用文字语言叙述的数学信息转化为直观示意图。其次,通过示意图让学生分析图形所代表的数量关系,并进一步从具体的图形与图形之间找到信息与信息的联系,从而建立信息与问题之间的数量关系模型。例如,人教版小学数学二年级下册第68页的第8题:

在这道题中,学生知道各种花的数量和扎成一束花需要每种花的数量,但是往往因为不理解信息“用7枝月季花、3枝百合、2枝郁金香扎成一束”与问题“这些花最多可以扎成几束这样的花束”之间的数量关系模型而出错。这时,我们引导学生将信息和问题转化成示意图(如下图),借助示意图,学生就能直观地建立一束花的模型,即7枝月季花、3枝百合、2枝郁金香为一束,缺一不可。这样就能更好帮助学生理解“最多能扎成几束”只能以数束最少的为标准。当学生弄清楚了这一信息后,这道题就迎刃而解了。

(二)几何直观明晰余数的“取”与“舍”

理解余数的“取”与“舍”是构建有余数除法应用问题数量关系模型的关键环节。在实际教学中,我们借助几何直观来表示有余数除法问题,分析和理解余数是“取”还是“舍”,从而解决问题。例如,人教版小学数学二年级下册第65页的例5:

在以往的教学中,有不少学生在列出除法算式22÷4=5(个)……2(块)后,认为答案是5个,把剩下的2块就忽略了。这时,我们引导学生通过画直观示意图来理解余数是“取”还是“舍”。“每个盒子最多装4块”可以表示成“④”,“不满4块”的用“△”表示,如下图:

借助示意图,学生可以清晰地理解算式“22÷4=5(个)……2(块)”中“5个”指的是有5个盒子“装满了4块”,余数“2块”指余下的2块没有装满一盒,但是也要再用一个盒子装,这时余数要“取”,所以至少是5+1=6(个)。

通过用两种不同的图形代表“商”和“余数”,把有余数除法问题转换成直观示意图,让学生结合图形去理解文字信息、算式所表达的意思,使学生对余数的“取”与“舍”理解得更透彻。

四、 几何直观在各学段有余数除法解决问题中的运用策略

在借助几何直观解决各学段有余数除法问题的教学过程中,我们根据学生的年龄特点,在不同学段采用不同的数形结合策略。

(一)先“形”后“数”

第一、二学段的学生,他们心理发展的特征决定了他们的思维以具体形象思维为主,逻辑思维尚处于萌芽阶段,因此这一阶段适合先“形”后“数”。但应注意在利用“形”学习知识的过程中,应适时、适当地引导学生逐步归纳,进而上升到理性认识,为培养学生的逻辑思维作准备。

例如,人教版数学一下第46页例7:

根据一年级学生的思维特点,教材中的题目已经是数形结合,通过圈一圈的方法就能直观地得出穿几串,剩几个。但是逻辑思维能力较强的学生会采用列式计算:58-10-10-10-10-10=8。因此在教学的过程中,我们可以先圈一圈,再根据直观示意图列出算式,帮助学生从具体认知上升到理性认知。

又如,人教版小学数学三年级下册第27页例8第2问:

借助示意图,帮助学生直观地理解为什么要加1,因为剩余的2个菠萝也要另装1个箱子,所以22个箱子才能装下。与此同时,引导学生根据直观示意图列出算式。

从上面的两个例子可以发现,第一、二学段的有余数除法解决问题的教学模式是:审题—画图—列式,先“形”后“数”,帮助学生从具体认知逐步上升到理性认知。

(二)先“数”后“形”

有了第一、二学段的几何直观基础,学生逻辑思维力已有一定程度的发展,在第三学段的有余数除法应用问题的教学中,应逐渐过渡到先“数”后“形”,把“形”真正放在主要地位。例如,人教版五年级上册第3单元小数除法例10:

教材强调“在解决实际问题时,要根据实际情况取商的近似值”;初步让学生学会从数学的角度发现问题和提出问题,综合运用数学知识解决简单的实际问题,增强应用意识,提高实践能力;获得分析问题和解决问题的一些基本方法,体验解决问题方法的多样性,发展创新意识。

因此,在教学中,教师可放手让学生自由选择“数”与“形”的先与后,或者二者任选其一。

在例10的第1小题的教学中,先让学生阅读理解题目然后再列式计算:先求2.5里面有几个0.4,2.5÷0.4=6.25(个),再引导学生探究为什么一共需要7个瓶子才能装完。对于理解有困难的学生,我们通过画直观示意图让学生直观地理解:6个瓶子只装了2.4千克的油,剩下的0.1千克也需要装在1个瓶子里,这样才能把香油装完。也可以通过画线段图帮助学生理解,同样可以直观观察到剩下的0.1千克油没有装满一瓶,也需要另装在一个瓶子里。因此,不管小数部分是几,都要向个位进1,变成7,所以需要7个瓶子。

第(2)题的教学也是先让学生理解题目,学生独立列式计算解答,再通过画图的方式帮助学生理解小数部分“舍”还是“入”的取值问题。通过画图让学生直观地观察到16个1.5米是24米,剩下的1米不够包装一个盒子。因此,要用“去尾法”把小数部分“舍”去,所以这根丝带可以包装16个盒子。

从以上两个例子可以发现,第三学段有余数除法解决问题的教学模式是:审题—列式—画图,先“数”后“形”,通过“形”帮助学生更直观地理解取值问题,而不能机械地使用“四舍五入”法,要根据具体情况确定“舍”与“入”。

(三)从不同的角度考虑“数”与“形”的先后

关于几何直观教学策略中,对于“数”与“形”的先与后,除了根据学生的年龄特点,也可以从以下方面分析决定:

(1)看学生的层次。形象思维、逻辑思维较弱的学生,可先“形”后“数”;较好学生可先“数”后“形”。

(2)看教材“新旧”程度。新内容先“形”后“数”,后续教材让学生利用“迁移规律”先“数”后“形”。

五、 结论

综上所述,在有余数除法解决问题的实际教学中,我们要有意识地运用几何直观的方法,寻求解决问题的方法。几何直观中“数”与“形”的先与后,应根据学生思维的发展特点而定,使形象思维和逻辑思维相互促进、协调发展,让具有不同思维特征的学生实现个性化的发展。