数学模型课程研究性教学模式的实践探索

摘 要：本研究根据数学模型课程自身特点，以该课程日常教学为例，探讨数学类专业课程的研究性教学模式，并总结研究性教学模式中的经验，分析教学中的收获和不足，为数学类专业课程教学改革提供参考。

关键词：数学模型；研究性教学模式；教学改革

《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010—2020）》提出了“全面提高高等教育质量”的战略目标，明确“提高质量是高等教育发展的核心任务，是建设高等教育强国的基本要求”。研究性教学模式是一种注重创新意识和创新能力培养的实践活动，理论基础是构建主义。纵观国内外教育教学改革进程，研究性教学模式的创新、探索已成为目前高校教学改革的主要方向之一。

郑州航空工业管理学院数学学院承担着培养数学与应用数学专业人才的使命，数学与应用数学专业为省一流专业。在学校“德育首位，教学中心，质量至上，育人为本”的办学理念下，如何培养“具有创新意识和创新能力的高素质现代化专业人才”是专业任课教师始终思考的问题。笔者以数学模型课程的日常教学为例，探讨数学类专业课程的研究性教学模式，为今后的教育教学改革提供参考和借鉴。

一、数学模型课程的研究性教学模式

数学模型是郑州航空工业管理学院数学与应用数学专业的一门必修课程。该课程的总体建设目标是以学生为中心，以问题为主线，旨在充分调动学生的学习主观能动性，培养学生的创新创业意识和应用实践能力。研究性教学模式是一个系统、连续、动态的教学模式，其整个应用过程需要师生共同参与、相互配合。笔者认为，构建数学模型课程的研究性教学模式，应从以下几个方面入手。

（一）转变传统教学观念、树立以人为本教学理念

在日常授课中，教师和学生首先需要转变观念。传统的教学理念主要是“灌输式”教学，把学生当成容器，任课教师主要负责灌输传授知识，把容器装满。在学生的理解、应用上花费时间不多，这样长期的教学方式容易导致学生学而不会、会而不用，以至于产生厌学情绪。

研究性教学模式要求任课教师做到以人为本，把灌输传授为主的教学方式转化为以引导为主的教学方式。整个授课教学过程真正做到以学生为中心，学生是知识的构建者，引导学生发现问题、解决问题，从而活学活用、融会贯通。

教师要真正理解“授人以鱼不如授人以渔”，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，具备创新意识和创新能力。

（二）以教材为载体，以问题为主线

研究性教学没有捷径，在日常授课过程中教材是基础，是学生学习的依据，尤其是在数学类专业课程中，各种概念、定义、定理、推论等必须理解清晰。如果基本概念没有掌握好，数学类课程会越学越累。

同时，在教师的教学过程中必须强调以问题为主线，贯穿整个教学过程。每一章、每一节都要找到恰当的、对应的实例问题作为切入点，以便激发学生的求知欲和创造性。

（三）学生开展团队合作，教师发挥主导作用

教学过程中，通过自由组合或者任课教师指定，在学生中形成若干个学习小组，相互讨论和交流，可以有效激励学生，并能加深学生对问题的理解。

同时，任课教师在日常授课中要发挥主导作用，要确定教学目标、指导学生整理分析相关文献、组织学生讨论总结、对学生学习成效进行评价等，充分发挥好设计者、引导者、组织者、评价者的功能。

（四）开展多元化评价，促进学生全面发展

评价是检验教学效果的重要方式，郑州航空工业管理学院数学模型课程实行过程性评价和终结性评价相结合的多元化考核评价模式。

充分利用线上和线下教学资源，引导学生课前观看视频自主学习、查阅文献资料、完成建模小论文撰写等。任课教师通过网络教学平台记录的数据，以及学生在课堂上参与讨论的情况、文献资料准备情况和课堂表现等，给出过程性评价。

到了期末，学生根据一个学期的学习情况，将学习成果形成报告或写成论文，并制作成课件进行展示，同时接受教师和同学的检查，作为终结性评价。期末研究成果展示不仅让学生体验到自身的价值，还让其锻炼了评价能力和表达能力，同时也起到激励学生继续研究的作用。

多元化评价是研究性教学模式的强化环节，是培养学生创新意识、实践能力不可或缺的部分，可以进一步激励学生进行再创新、再研究和再应用，促进学生全面发展。

二、研究性教学案例

数学模型课程教学内容丰富，涉及知识点多，覆盖面广，应用性强。该课程既有数学类专业课程的特点，又具有其独特性和复杂性。下面以高等教育出版社谢金星等编写的《数学模型》（第五版）第一章第五节“椅子能在不平的地面上放稳吗？”为例，说明在数学模型课程中如何开展基于课堂的研究性教学。

（一）背景及问题提出

首先向学生描述一个日常生活中的常见现象，即学校每年召开新生军训大会时，每名同学都携带椅子，由于地面不一定是水泥地，不能保证地面都是水平的，但同学们总能简单地移动椅子就将其放稳。这自然就引出一个问题：椅子能在不平的地面上放穩吗？

（二）分组讨论，教师把控

任课教师让学生以学习小组为单位讨论该问题。让学生明确研究对象和关键点等信息，并帮助寻找相关的数学信息，进行分析讨论。随后，教师进一步追问：学校给同学们使用的椅子都是正方形，如果使用长方形椅子、圆形椅子或其他不规则形状的椅子，能否使其在地面上放稳？我们应该如何分析和解决这个问题？

（三）将实际问题化为数学问题

不平的地面在数学上可以视为连续曲面，引导学生复习连续函数的定义和性质；将椅子在地面放稳等价于椅子腿和地面接触，即椅子腿和地面的距离为零，用距离这个数量指标来衡量是否能使椅子放稳；由于学校发放的椅子是正方形，四条板凳腿对称，我们以正方形的中心作为平面直角坐标系原点，以椅子腿对角相连作为两个坐标轴，建立坐标系，然后用旋转角度来表示椅子的移动。

这样就将现实生活中的椅子是否能放稳问题，转化为是否存在角度使得距离这个数量指标为零的数学问题。

利用f（θ）表示A、C两脚与地面的距离之和，g（θ）表示B、D两脚与地面的距离之和。我们的问题就归纳为如下数学命题：

已知f（θ）和g（θ）是连续函数，对任意θ，f（θ）·

g（θ）=0，且f（■）=g（0）=0，f（0）>0，g（■）>0，证明存在θ0∈[0，2π]，使得f（θ0）=g（θ0）=0。

（四）动手练习，求解模型

让每个学生都亲自动手完成分析、求解的全过程。本问题所运用的数学理论并不复杂，主要涉及连续函数的相关概念和性质。在数学模型的课程学习中，动手练习是必不可少的，以避免学生养成眼高手低的习惯。

（五）拓展延伸，应用探索

上述分析都假定椅子是正方形，如果将椅子换成长方形或是梯形，还能保证椅子在不平的地面放稳吗？我们是否还能利用上述方法进行建模求解？如果上述方法不适用，需要如何改进？能否进一步给出椅子在不平地面放稳的充要条件或充分条件或必要条件？

在这个实际问题的基础上，给学生提出新的问题，鼓励学生自己查找资料并尝试解决，从而锻炼学生的创新意识和创新能力。

利用一个变量θ的函数f（θ）、g（θ），来达到分析问题和解决问题的目的，同样的思路和方法能否用在其他实际问题上？如果能，请同学们自己去尝试寻找，从而培养学生的想象力、洞察力和创造力。

三、结语

笔者在进行研究性教学的实践中，也发现了许多可以商榷的地方。比如教材问题，大部分教材都很经典，但个别章节的内容编排可以进一步完善，从而更好地激发学生的研究兴趣，更适合研究性教学模式；评价体系问题，以期末考试进行的传统考评模式显然不能满足研究性教学模式的需求，需要尝试多元化的线上与线下相结合、过程性评价和终结性评价相结合的评价模式，才能更好地激发学生的学习兴趣。此外，教师自身也需要提高，尤其是提高自身的科研水平。只有教师站位更高、看得更远，才能更好地引导学生朝着正确的方向前进，实现教研结合，相互促进。研究性教学不能仅停留在有限个的离散知识点上，要由“点”变为“線”，趋向于“面”，使研究性教学模式真正成为一种面向全体学生、成规模、可持续、有效的教学运行机制。

在研究性教学过程中，可能随时会出现或发现新的问题，这就要求任课教师不能停止学习的步伐，要与学生相互配合、共同努力，才能更好地开展研究性教学，让学生真正具备获取知识、吸收知识、掌握知识和利用知识的创新意识和创新能力。

参考文献：

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[2]郑大宇，李杰，季阿敏，研究性教学在专业课中实施的研究[J].成人教育，2013（7）.

[3]许晓东，冯向东，理工科本科研究性教学模式的研究与实践[J].中国大学教学，2008（11）.

[4]顾沛，试论研究性教学中教师的作用[J].数学教育学报，2006（3）.

责编：应 图

基金项目：郑州航院研究性教学改革与实践项目

作者简介：王战伟（1979— ），男，郑州航空工业管理学院数学学院副教授，研究方向为应用数学。