运用“怎样解题表”，优化高中数学习题课教学

林文瑛

【摘要】习题课教学是高中数学教育中不可或缺的一项重要内容，也是目前学术界重点研究的内容.掌握一定的解题能力也是学生学好数学、更好地应对高考的基础.“怎样解题表”这一理念对数学解题的四个阶段进行了完整的诠释，教师可以让学生借助“怎样解题表”来进行解题，帮助他们快速解题，提升学生的解题水平.基于此，文章在搜集、阅读相关研究的基础上，立足自身的教学实践探索，从四个阶段和两重指导方面论述了运用“怎样解题表”优化高中数学习题课教学的策略.

【关键词】高中数学；习题课教学；怎样解题表

引 言

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中提出了许多先进的课程观念和教学理念，认为习题是对课堂教学的深化，开展必要的习题教学有利于为学生数学解题水平、核心素养的提升提供支撑.基于此，教师必须转变以往以“知识教育为主”的陈旧思想，加强对高中生解题能力的训练和培养，将波利亚的“怎样解题表”理念融入具体的教学中，将其作为习题课教学的指导思想，按照基本的习题教学流程来组织学生完成解题，使学生循序渐进地掌握解题的重要策略和方法，进一步完善习题教学的方式，同时提高习题课的效率，让学生的解题思维、解题能力获得综合发展.

一、在高中数学习题课运用“怎样解题表”的分析

（一）必要性分析

1.学生的主体性地位有待实现

教育者杜威认为：应该让学生在“做中学”，强调学生在学习活动中的主体地位，倡导学生通过自己的探索、实践操作来习得知识、获得学习的技能与方法.但是通过对当前习题课教学现状的分析可以发现，目前很多教师还采取“我讲你听”的机械模式，单向给学生灌输解题的方式和技巧，很少给学生提供自主探索、主动探究的空间和机会，导致学生的参与度不足，难以彰显他们的主体地位.

2.习题课教学的价值有待提升

数学教育的核心在于“思维”，不仅仅是让学生掌握本学科的知识，更重要的是让学生学会用数学思维来解决一切问题.但是在现阶段的习题课教学中，教师习惯采取“题海”的练习方式，让学生一味地进行习题练习，忽视了对学生解题思维的有效训练和培育，难以充分发挥习题教学应有的价值.而波利亚倡导教师应加强对学生个体思维的培育，在《怎样解题》这本书中也阐述了发现数学的方法，认为数学教学对于个体思维的发展具有较强的指导作用.

3.习题课教学实效性有待增强

有效的习题课教学对于帮助学生建构完整的知识结构、强化学生的解题技巧、培养他们的思维具有较大的作用.但是很多教师由于受高考制度的影响，在教学中为了追赶教学的进度，一味地围绕必考考点给学生设计练习，让学生为了分数而完成习题，这样的教学具有较大的功利性，难以提高习题教学的效果.

（二）可行性分析

1.学生的可接受性

高中阶段學生的身心发展逐渐成熟，他们在各方面的能力也都得到了显著的提高，和小学、初中阶段相比，该阶段学生的自学能力、解题能力更强，而且在接受新知识方面的能力也得到了强化.波利亚的“怎样解题表”理念倡导让学生自己进行探究性学习，这与该阶段学生的认知特点是相契合的，可以被广大高中生所接受，学生运用“怎样解题表”的思想和解题步骤更好地完成习题，从而提高习题课的总体效率.

2.教师的可操作性

“怎样解题表”不仅是解题的有效工具，而且是教师开展习题课教学的指导思想，是否可以将“怎样解题表”更好地应用于习题课中，必须考虑教师的实际操作.在新课改不断深入的背景下，教师逐渐意识到了传统教学中的缺陷，也积极参与各种先进理念的培训活动中，遵循新课标的精神理念和要求来组织教学，期望变革以往的教学方式.而波利亚所撰写的《怎样解题》可以为教师进一步优化自身的教法提供重要的指导，它一共包括四个阶段，结构相对简单，教师可以充分利用“怎样解题表”来开展解题教学，以此来提升自身的教学水平.

二、运用“怎样解题表”，优化高中数学习题课教学的策略

（一）四个阶段

1.前提———理解题目，审题教学

审题其实就是让学生仔细审读题目、弄清题意，这是促进学生顺利解题的重要前提，也是提高解题正确率的基础.学生不认真审题就难以准确把握数学习题中的重要信息，从而影响接下来的分析和推理工作，因此对高中生审题能力的培育也是高中习题课教学中不可忽视的内容.在第一个阶段，教师要鼓励学生提炼和梳理题目中给的条件，既包括显性条件，又要挖掘隐性条件，通过细致解读题目中所给的已知条件、未知量来掌握题目的主要内容，在此基础上也要建立信息之间的联系，能够将题目中的信息和自己头脑中具备的知识及经验相联系，从而带着经验来分析、解决问题.

学生的分析：上面这个例题，主要是让我运用数形结合的思想来解决问题，不需要进行过于复杂的计算，我觉得这道题的目的在于让我们理解定义对顺利解题的重要性，在解题的过程中对抛物线定义进行迁移运用就可以.

2.关键———探寻思路，析题教学

析题其实就是让学生对题目进行全方位、深层次分析，让学生在分析的过程中逐步找到最恰当的解题思路.找到解题的思路是帮助学生顺利解题的关键，但是有一些教师在给学生出示了一个问题之后，就直接告诉学生解题的过程，导致学生没有经历完整的分析题目、探寻解题思路的探究过程，难以激活他们的主体地位.因此，教师要摆脱以往“重答案，轻分析”的思想，鼓励学生自主探寻解题的思路，通过自己的分析、探索来找到合适的解题方案.

学生的分析：对于上面这个题目，我们可以利用之前学过的偶函数的定义来解决，要对已知的函数和未知量这二者之间存在的关系进行探讨，对式子展开运算，然后通过化简可以得出常数a和b的值.

在此基础上，教师针对本班学生的学情给学生设置了四个具有梯度性的问题，让学生在问题的驱动下进一步建立子问题和原问题之间的关联，从而更好、更快地完成解题.

通过层层递进的问题可以促进学生思维的由浅至深发展，帮助学生更好地完成对问题的解答.

3.重点———规范步骤，答题教学

答题其实就是让学生按照正确的步骤来写出对某个问题的解答过程.在以往的高考试卷中不难发现，有很多学生即使可以正确理解数学问题，掌握解决的思路，但是還是会丢分，这是因为他们在答题的过程中出现错误或不足，比如少写了某个步骤、漏写了某个符号等，这些都会影响最终的评分.因此，规范答题是促进顺利解题的重点，教师要注重对学生解题步骤的规范，要让学生明晰每一个解题步骤的意图是什么，能够按照自己之前解析的思路来答题，这样才能规范高中生的解题步骤，提高他们的解题能力.

例4 已知曲线C：y2=8x，点B的坐标为（-1，0），若有一条不垂直于x轴的直线l和曲线C相交于不同的两个点，这两个点分别是P和Q，如果x轴是∠PBQ的角平分线，那么请你证明：直线l经过定点.

学生的分析：在做这道练习题的时候，我一开始是联系直线的方程、曲线的方程这两个知识点，得出了一个只包括x或只包括y的一元二次方程，在此基础上我结合韦达定理进一步得出了直线和圆锥曲线的交点的坐标，并对其横、纵坐标的联系进行了辨别，但是到这里就知不知道该怎么办了.

于是教师及时介入，规范了学生的解题步骤，先联立方程组，得到交点坐标关系式，然后利用斜率的公式对刚才的式子进行化简处理.

4.延伸———反思总结，思题教学

思题其实是指在完成解题之后对自己的解题思路、步骤进行回顾和总结，这也是习题课教学的最后一个环节，也是最不容疏忽的重要环节，教师需要引导学生对自己的解题过程中存在的缺陷和不足进行及时反思，在反思中不断提高学生的反思能力，针对存在的不足加以改进，从而循序渐进地提高其解题能力.具体来说，反思的内容主要包括：自己的解题结果是否正确，解题过程是否流畅，自己从审题到探寻解题思路到书写解答的步骤是如何想的，中间遇到了什么问题，又是怎样解决的等.

例5 已知定点A（2，0），p是单位圆x2+y2=1上的一个动点，∠AOP的平分线交PA于点M，求点M的轨迹方程.

在完成了问题的解决之后，教师鼓励学生对自己的解题过程思路进行回顾与反思.如某位学生说出了自己的思路：“在画完图像之后，我利用90°，180°等几个特殊位置，认为M点的轨迹是椭圆.”教师对学生的思路及时评价，首先肯定了他的做法：“你已经通过努力得到了猜想，很棒！”其次指出存在的不足：“但是还需要进行严格的证明，你会如何证明你的猜想呢？”在评价中肯定了学生思维的优势，并提出建议，让学生结合建议继续完善自己的思路.通过学生的反思、总结和教师的点拨可以帮助学生进一步积累成功的解题经验，使他们掌握自己解题思路中的优势和不足，从而结合教师的意见再加以改进，逐步提高他们的解题能力.

例6 请你绘制出y=x2的图像.

这个问题主要是让学生明白方程与曲线的联系.接着教师借助归化思想提出问题：“对于任意的二元方程，是否都有对应的曲线呢？”通过提出问题，让同学们接着绘制y=3x2，y=2x2所代表的曲线，在学生绘制出图像后，告知学生任意的二元方程都有其对应的曲线.然后教师在课堂上引导学生作出归纳性总结：曲线上的点对应着二元方程的解，二元方程的解都在曲线上.最后教师给出一条曲线，并标注出上面两个点的坐标，让学生们通过自己的思考作答，最终得出相应的二元方程.

（二）两重指导

1.方法上的指导

在审题的过程中，教师可以对学生进行方法上的指导，比如“怎样解题表”中倡导用画一张图的方式来分析题目，那么教师就可以给学生渗透数形结合的思想，帮助学生以画图的方式来理解题意，促进其对题目中信息和条件的把握.再如，教师还可以让学生采取“缩句断句”的方法来审题，尤其是针对一些句子较长的数学问题，运用这个方法可以把重点信息保留下来，从而掌握题目的主要内容.

2.非智力因素的指导

解题活动需要学生的智力因素、非智力因素共同参与，比如在“理解题目”这一阶段学生需要对数学问题保持较高的兴趣，要产生“想要读懂题目”的意愿.除此之外，波利亚还在《怎样解题》中指出了要让学生具有“决心”“潜意识活动”等，由此可见对学生进行非智力因素指导的重要性，在今后的习题课教学中教师应及时指导学生的非智力因素，确保习题课教学的效果.

结 语

综上所述，在具体的教学中，教师应围绕高中生身心发展的总体特点和思维水平来组织教学，在深刻认识波利亚“怎样解题表”的基础上将其运用到习题课教学中，帮助学生建构解题的思路，引导学生科学分析题目、从题目中提炼关键信息，探寻合适的解题思路，以此降低他们解题的难度，并规范学生的解题步骤，让学生有序地答题，提高他们分析、解决问题的效率，最终让学生反思、总结解题的过程，总结解题的经验，从而提高其数学解题能力.

【参考文献】

[1]邰桂琴.例谈波利亚“怎样解题表”在初中数学解题教学中的运用[J].数理天地（初中版），2022（20）：2-3.

[2]徐梦迪.“怎样解题表”在高中数学习题课教学中的应用研究[D].淮北：淮北师范大学，2022.

[3]刘扬.波利亚“怎样解题表”对高二学生解题能力影响的个案研究[D].乌鲁木齐：新疆师范大学，2021.