线性代数教学中若干问题反例的构造和运用

艾小川 翟亚利 纪祥鲲

【摘要】线性代数是一门内容抽象、理论性强的课程，为了加快加深学生对线性代数中相关概念、定理的理解，适当地运用反例进行教学是一种非常有效的方法.文章从反例的含义、作用、构造等方面进行了研究，给出线性代数中的一些具体反例并进行了延伸和拓展，旨在增强学生对概念理解的准确性、深刻性、灵活性和批判性，并且能够培养学生的探究精神，提高学生的抽象思维能力和创新意识.

【关键词】线性代数；反例；矩阵；秩；线性方程组

【基金项目】海军教育理论课题（HJ20206313606）；海军工程大学教学成果立项培育项目（HJGC20219102）

引 言

线性代数是我国高校理工农、管理、经济等专业的一门公共基础课程，具有概念多、理论性强、内容抽象等特点，加上与实际生活联系少，学生在初学时具有一定的难度，极富挑战性.因此，在线性代数的学习过程中，如何更好地理解和掌握相关的概念和定理，如何正确地证明命题结论，对学生来说是一个很大的难点.著名的科学家、哲学家波普尔（KalRaimund Popper）曾说，知识成长的逻辑是“在猜想和反驳中成长着的”.对一个错误知识的反驳不仅是可能的，而且有一个十分有效的标准方法———反例，反例方法是证伪、纠错和发现正确认识的极富说服力的思想方法.反例不仅是对命题非常简明的否定，而且是对否命题非常有说服力的肯定.它往往能起到正向证明难以发挥的作用，对解决某些问题有很大的帮助.通过构造和展示反例，学生可以从不同角度阐明概念、定理等内容的本质，能够加深对这些内容的理解和把握，从而避免出现一些似是而非的错误.

习近平总书记在全国高校思想政治工作会议上强调：要用好课堂教学这个主渠道，各类课程都要与思想政治理论课同向同行，形成协同效应.现在思政元素已经渗透到各门课程的教学中，努力践行“立德树人”的宗旨.在《线性代数》课程的内容中，反例蕴含着丰富的思政元素、哲学思想，因此深入挖掘反例中蕴含的思政元素既能提升学生对基本概念和基本定理的掌握，又能增强学生的数学素养和思想素养.

本文针对线性代数中矩阵的运算、向量组的线性相关性、矩阵与向量组的秩、线性方程理论等相关命题给出具体反例，以促进学生对这些知识的理解，从而更好地掌握相关理论知识.

一、反例及其作用

一个正确的数学命题需要严密的证明，而错误的命题则只需要依靠一个具体的反例即可，举出一个例子，使之具备命题的条件，却不具有命题的结论，这种例子称为反例.反例具有直观、明显、说服力强等突出特点.

初学者在学习或使用反例的过程中，往往會忽视其中一个看起来不重要的条件，最终导致结论的错误，所以讨论命题中的反例，有利于学生对命题进行更深层的理解和掌握，更深刻地领悟命题中的各个条件不是可有可无的.

在《线性代数》中，教师要善于通过反例进行教学，不仅可以帮助学生厘清对某些概念和性质，消除对一些知识的认知偏差和习惯性错误思维，构建准确完整的知识体系，还能提高学生的思维能力和科学素养.

二、反例选取的标准

反例的选取一般有这样两条标准：一是要简单明了，使人印象深刻，便于记忆；二是一个例子可以用来说明多个问题.人们对事物的认识过程，通常是一个从具体到抽象，从视觉直觉到理性思考的过程.如果学生记住一个反例，他们往往就能记住与它相关的属性，这会使证明更容易获得事半功倍的效果.这两个反例的选择标准可以帮助学生“借助具体认识抽象”，从而更好地理解抽象的内容.

反例的构造，其实并不是件很容易的事情，有时甚至比给出证明还要困难.本文根据教学实践积累列举一些线性代数中的反例.

三、线性代数教学反例

知识点1 矩阵的乘法满足交换律吗？

矩阵是线性代数中的一个非常重要的概念，在引入矩阵的概念之后，就要介绍矩阵的各类运算，如加法、减法、数乘、乘法等.矩阵的加法与减法归结为对应元素的相加和相减，数与矩阵相乘归结为数与矩阵的每一个元素相乘，这些都是学生易于接受和理解的知识点.

矩阵的乘法是新引入的概念，其实质为左边矩阵的行乘以右边矩阵的列，而并非两个矩阵对应元素的乘积，因此矩阵的乘法不同于数的乘法.数的乘法满足交换律、结合律与消去律，而矩阵的乘法满足结合律（空间位置不变，时间次序可变），但并不满足交换律与消去律，这两点是学生容易出错的地方.如果学生不理解新知识的本质，就会很自然地认为矩阵乘法和数的乘法一样，有可能会认为矩阵乘法也满足交换律和消去律，从而产生不准确的认知.对于此类问题，最好的方法就是给出具体的反例.

（1）若m≠n，则AB为m×n矩阵，而B与A不能相乘，显然不满足交换律.

（2）若m=n≠s，则AB为m阶方阵，BA为s阶方阵，AB与BA不是同型矩阵，不可能相等，不满足交换律.

知识点2 矩阵乘法满足消去律吗？

即已知AB=O，A≠O，能否推出B=O.

反例展示

设

容易计算得AB=O.

实际上，根据知识点1中的反例同样可以说明矩阵乘法不满足消去律.

因此矩阵乘法不满足消去律，其另一种等价形式为：

已知AX=AY，即使A≠O，也无法推出X=Y.

说明：AX=AY？A（X-Y）=O，即使A≠O，也不能推出X-Y=O，即无法证明X=Y.

知识延伸

（1）若A2=O，无法推出A=O.

（2）若A2=A，无法推出A=E或A=O.

那么在什么条件下结论成立呢？

注：（1）若已知AB=O，A为可逆矩阵，则可推出B=O.

（2）若已知AX=AY，A为可逆矩阵，则推出X=Y.

由此教师可提醒学生在数的乘法运算中形成的可交换与可消去的计算习惯必须改变，否则将引起很多错误.

向量组的线性相关性、线性无关性是《线性代数》的重点和难点内容.学生对于线性相关性的定义理解总是存在着很多的误区.

知识点4 等价矩阵有相等的秩，反之若两个矩阵的秩相等，是否等价呢？

分析：两个矩阵不同型，其秩可能相等，但不可能等价.

知识点5 等价的向量组有相等的秩，若两个向量组的秩相等，是否等价呢？

分析：若两个向量组所含向量的维数不同，即使秩相等，也不等价.

那么若两个向量组所含向量维数相同，且秩相等，一定等价吗？

知识点6 矩阵相似必等价，等价一定相似吗？

概念辨析 矩阵等价指的是，矩阵A能经过初等变换变成B，

即A≈B？？可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B.

实际上矩阵的等价并不一定限制为方阵.而矩阵的相似是针对方阵来讲的.

矩阵相似指的是，在A，B为同阶方阵的前提下，A～B？？可逆矩阵P使得P-1AP=B.

实际上，由定义可以看出，相似必等价，而等价不一定相似，其原因為：

（1）等价的两个矩阵不一定是方阵，相似的前提满足不了.

（2）即使等价的矩阵是方阵，也不一定相似，因为在等价的充要条件PAQ=B中，P和Q并不一定互为逆矩阵.

结 语

反例思维是深入思考的必经之路，教师在《线性代数》的教学中，要特别注意积累合适的反例，正确运用反例，带领学生突破某一数学方法和手段的局限性.反例教学可以培养学生的数学创造能力和创新思维能力，加深学生对基本概念的理解，以及对数学知识的精准分析，加强学生思维的缜密性和研判能力，培养学生的探究能力和思考能力，培养学生思维的灵活性和发散性，提高教学效果，提高学生数学学习能力.教师在《线性代数》的教学实践中运用好反例构造的思维方法，能够充分激发学生的创新意识.

【参考文献】

[1]张林丽，原乃冬，张晶晶，白忠玉.线性代数中特征值与特征向量的教学设计[J].数学学习与研究，2021（10）：8-9.

[2]朱宏，付军，吴秀兰.线性代数中的构造法[J].高等数学研究，2015，18（3）：43-45.

[3]孙兵.线性代数教学中的反例构造[J].数学理论与应用，2011，31（2）：39-40.