数形结合 妙解三角函数

陈亚囡

(江苏省如皋第一中等专业学校,江苏 如皋 226500)

数学和几何学一直以来都是人们探索和研究的重要领域,三角函数是以角度为自变量,以其对应的任意角的终边上任意一点坐标,或坐标比值为函数值的一种函数表达.数形结合是一种几何作图方法,可以将三角函数和几何相互融合,是研究几何形状和角度的重要工具,两者在解决实际问题中具有广泛的应用[1].因此,教师可以带领学生挖掘三角函数的性质和公式,以及几何形状的特点,帮助学生探索解决几何难题的新思路.

1 依托三角函数线,探索基础内涵

三角函数线是指由正弦函数、余弦函数、正切函数等所表达的一类曲线,这些函数都是以单位圆的角度为输入,并输出对应的三角比值.教师在介绍三角函数的同时,可以为学生引申三角函数线的意义,帮助学生以数形结合的形式理解三角函数的部分知识,通过函数线上的图像,理解代数式中的函数,呈现出一系列特征,包括周期性、对称性、振荡等.

课堂中,教师可以指出三角函数的基础内容,介绍指出正弦函数是用sin(x)表示的,其中x是角度,描述了一条振荡的曲线,且取值范围在[-1, 1]之间;余弦函数是用cos(x)表示的,其中x是角度,描述了一个类似正弦函数的曲线,取值范围也在[-1, 1]之间;正切函数是用tan(x)表示的,其中x是角度,描述了一条具有无限个极值点的曲线,其定义域的周期为π.在学生了解正弦余弦和正切概念的基础上,教师可以引申至三角函数线,指出三角函数线是正弦、余弦、正切、正割线的总称,是三角函数的基础内容,借助三角函数线,学生可以以作图的方式,直观地看出任意角在特殊条件下的取值范围.简单地,教师可以在黑板上写出例题,让学生求出当sinα>1/2时,α的取值范围,教师可以提示学生利用三角函数线解题,为学生的解题提供“拨云见日”的感觉.在一段时间的思考后,教师可以提问了解学生的想法,有学生回答:“当α为30°时,sinα=1/2,这样说来,我们可以用临界的思维将三角函数线的起始安置在点A,此时的OA线与x轴的夹角为30°,转化一下也可以写成π/6.”教师肯定了学生的思路,并询问是否还有补充,另一学生回答:“正弦值在三角函数与象限中,不只有第一象限为正数,第二象限对于正弦值来说同理,也是正数,这样一来,sinα的取值为1/2就出现了两种情况,即α为5π/6同样符合题意,然后将三角函数线补充完整,即可得出答案.”教师将学生的思维展示在投影仪上(见图1),综述道:“在π/6与5π/6的以逆时针的方向圈定范围,并用表达式表示出来,即可得出正确答案为{α|π/6+2kπ<α<5π/6+2kπ,k∈Z}.”

图1 三角函数线示意图

通过教师介绍三角函数线的方式,学生可以以形会意,在初步学习三角函数的过程中,发现图像和特殊节点的基础含义,将图像特征与代数式的计算联系起来,从而找到数形结合中,三角函数所具备的基础意义.同时,数学教学中,教师帮助学生提前了解函数的特质,以及介绍其在解决实际问题中的应用方法,均为至关重要,可以为学生的数学学习提供思维逻辑上的助力.

2 利用数轴单位圆,挖掘几何意义

在数学中,单位圆是指的半径为1,圆心位于坐标系的原点(0, 0)的圆,单位圆在数学中扮演着重要的角色,且具有特殊的性质和应用.单位圆与三角函数密切相关,不仅可以联结复杂概念与图形的关系,还可以为三角函数的冗杂的代数计算,找到简洁的突破口[2].因此,教师可以借助单位圆与三角函数数形结合的图像,帮助学生挖掘三角函数的几何意义.

在直角坐标系上,教师可以以单位圆的圆心为顶点,以x轴正方向为初始边,逆时针旋转一个角度θ,对应于单位圆上的一个点P(x,y),那么,点P的横坐标x就是角度θ的余弦值,纵坐标y就是角度θ的正弦值,这被称为三角函数的单位圆定义.接着,教师可以指出单位圆的方程是x2+y2=1,其中(x,y)是单位圆上的任意一点,并提醒这个方程表示所有位于单位圆上的点满足的条件,可以用来表示角的度量.接着,教师可以引入单位圆的作用,指出单位圆也可以帮助学生理解正切函数的几何意义,因为正切函数可以用单位圆上沿切线方向的斜率来表示,当教师在黑板上画了一条从圆心到单位圆上某点的线段,并将该点延长至与单位圆的切线相交时,教师可以提示学生注意观察,指出切线和x轴之间的夹角就是该点的角度.在这种情况下,点的纵坐标除以横坐标即是该角度的正切值,通过单位圆,教师可以引领学生直观地看到正切函数在不同角度下的增减变化.之后,教师可以为学生准备一道例题,帮助学生更好地理解单位圆与三角函数的几何关系,教师可以提问,如果π/4<α<π/2,那么不等式cosα

图2 单位圆表示三角函数的示意图

通过单位圆的图形示意,学生可以更好地理解三角函数的性质、周期性以及它们与角度之间的关联,同时,单位圆与三角函数的数形结合,还可以让学生以清晰的方式观察和解释正弦、余弦和正切函数,找到数学代数与几何意义之间的隐藏联系,丰富学生对三角函数的认知,从而深化对三角函数的理解,并在几何问题的求解中运用它们.

3 借助正弦余弦图,应用实际问题

正弦函数图像表现出周期性的振荡,可以帮助我们研究周期性现象、震荡和波动,余弦函数的图像与正弦函数的图像形状相似,共同展示了三角函数的对称性,谐振现象和周期性运动.并且,正弦和余弦图像在解决三角函数问题中具备许多便利之处,可以展示三角函数的周期性、振荡性和相位差特性,因此,教师可以引领学生观察这些图像,更好地理解三角函数的性质和特点,应用在实际问题中[3].

教师可以引导学生回忆生活中的三角函数图像,有学生思考想到了摆动的挂钟,挂钟上的振动可以用正弦函数来描述,当挂钟振荡到达极端位置时,它会以最大速度通过中心位置,并在离开中心位置时减速,再次返回中心位置.这个过程会一次又一次地重复,形成一个周期性的运动.这时,教师可以让学生再次观察正余弦函数图像,学生通过观察正弦函数图像能够更好地理解这种周期性运动,学生可以发现,当钟摆通过中心位置时,正弦函数的值为0,这代表钟摆在这一时刻没有速度,正好处于最高和最低点之间.当钟摆移动到最高或最低点时,正弦函数的值达到最大值,表示钟摆速度最快.结合三角函数相关的应用题,教师可以举例,已知函数f(x)=2sin(x)+3cos(x),其中x为弧度.求函数f(x)的最小值及对应的x值,教师可以提示,函数f(x)=2sin(x)+3cos(x)可以写成标准的三角函数形式f(x)=Asin(x)+Bcos(x),其中A=2,B=3,为了求函数f(x)的最小值,可以利用三角函数的性质,关注f(x)函数的最大值和最小值出现的位置,也就是关注它的图像.在教师的提示下,有学生领悟:“经过观察,我们可以发现,在sin(x)和cos(x)的图像中(见图3),sin(x)的图像是一个周期为2π的正弦函数,最小值为-1,最大值为1,同样,cos(x)的图像也是一个周期为2π的余弦函数,最小值和最大值也为-1和1.因此,我们可以推断f(x)的图像是一个幅度不超过|A|+|B|=2+3=5的正弦函数.换句话说,f(x)的最小值就是-5,最大值是5.”不多时,另有学生补充:“接下来我们需要找出函数f(x)取到最小值时的x值,为了达到最小值,我们需要在sin(x)和cos(x)的图像重叠的部分找到最小值,实际上,在它们两者都取到最大值的时候,它们的和f(x)就会取到最小值.所以,我们解方程组可以得到x=π/4+2kπ,其中k是任意整数.”

图3 正弦余弦函数图像

通过观察正余弦的函数图像,教师可以从多角度介绍三角函数的周期、振幅、相位差等概念,帮助学生学会预测和分析周期性问题,解决波动、振动、频率和相位等相关的数学问题,为学生的三角函数学习铺垫理论性的基础.教师也可以在具体例题中,为学生提供创新性的解法,从而鼓励学生自主研究,深入探索三角函数在实际问题中的深刻应用.

总之,借助数形结合解决三角函数问题,可以深化学生对三角函数概念及其应用的理解,并将其与几何形态联系起来,这不仅能够帮助我们发现数学中的美妙关联,提升问题解决的能力,还可以帮助学生拓展数学思维的广度和深度.同时,教师运用数形结合,不但可以为学生提供更多的三角函数的解题思路和方式,而且,许多三角函数的性质和定理都可以通过数学推导或证明得出,这还可以帮助学生发现更多直观且巧妙的解题方法,简化计算过程,提高问题解决的效率.