具有有界时滞的脉冲随机泛函微分系统的有限时间稳定

王国庆,姚凤麒

(安徽工业大学电气与信息工程学院,安徽马鞍山 243032)

1 引言

众所周知,随机扰动和时滞现象广泛存在于实际工程系统中,包括随机时滞微分系统在内的随机泛函微分系统在电力系统分析以及控制工程领域中有着非常深刻的影响[1].因此,近年来该系统的稳定性研究引起了众多研究者的关注,并在此趋势下诞生了一系列新的研究成果[2–5].另一方面,脉冲效应也是影响系统稳定性的干扰因素之一,它会使系统状态在某一时刻突然变化或者重置.脉冲可分为3种类型,分别为输入干扰型脉冲、中立型脉冲和稳定型脉冲[6].

脉冲与时滞的引入将使随机泛函微分系统的研究更加复杂.最近,在对该系统的稳定性研究方面有许多新的进展[7–14].在这些文章中,研究者们都利用了Lyapunov-Like函数法与Itô公式相结合,求解李亚普诺夫函数的导数,然后进行系统稳定的研究.在这其中,文献[7–9]应用Razumikhin技巧建立了脉冲随机泛函微分系统的p阶矩指数稳定的条件,其优点是不要求Lyapunov函数的导数恒为负定,减少了一些保守性.参考文献[10,13]主要是对具有无限时滞系统的稳定性进行研究.Yao等人[11]利用比较原理得到了脉冲随机泛函微分系统的p阶矩指数稳定性定理.在参考文献[15]中作者提出了平均脉冲区间的概念,其允许脉冲发生的频率在不同区间内是不同的.显然,这个概念在描述非均匀分布脉冲的频率方面具有优势.基于这一优势,该条件从提出起就受到了许多研究人员的广泛关注[9–12,16–18].

然而,上述这些研究主要是讨论随机脉冲泛函微分系统的p阶矩指数稳定,而很少有对该系统的有限时间稳定进行研究.有限时间稳定的概念是由俄罗斯研究者Kamenkov[19]在大约70年前首次提出的,并且在20世纪60年代和70 年代也有少量提及[20].有限时间稳定不同于Lyapunov稳定,它要求系统状态在有限的时间内收敛到一个固定的范围.近年来,各种类型系统的有限时间稳定理论得到广泛研究,如非线性系统[2,21–22]、神经网络[16]、随机系统[17,23]等.Weiss 和Infante在文献[24]中基于有限时间稳定提出了有限时间渐近稳定这一新概念,其要求系统的状态在满足有限时间稳定的前提下收敛到一个小于初始值的阈值内.随着两个概念的提出,研究者们在这一方向上进行了更深入的研究与拓展.在文献[25]中,作者利用Lyapunov-Razumikhin法建立了时滞系统的有限时间稳定以及有限时间渐近稳定的相关准则,并将结论应用于一类线性时变系统.而含有脉冲的随机时滞系统的有限时间稳定问题一直是研究的热门话题之一[26–28].文献[18]利用平均脉冲区间条件和多重Lyapunov-like函数建立了非线性脉冲随机时滞系统的均方有限时间稳定.但很少有研究者提及如何建立脉冲随机泛函微分系统的有限时间稳定和有限时间渐近稳定这类问题,这促使本文接下来的工作.

本文将利用Lyapunov-Razumikhin法和平均驻留时间的概念研究具有有界时滞的脉冲随机泛函微分系统的有限时间稳定和有限时间渐近稳定问题.文章的结构如下: 首先,第2节将介绍相关系统的概念,符号的含义和定理中将使用的基本定义;第3节将介绍主要结论及其证明过程;在第4节中,将给出具体数值的例子来验证本文的结论;最后,第5节会对文章进行总结.

2 准备知识

在本文中除非另有说明,否则将采用以下符号.令(Ω,F,{Ft}t≥0,P)为完备概率空间,{Ft}t≥0满足右连续并且F0包含所有P的空集.令w(t)=(w1(t)···wm(t))T是定义在概率空间(Ω,F,{Ft}t≥0,P)上的m维布朗运动.E[·]是关于概率测度的期望算子.R,R+,N分别代表实数、非负实数和正整数.Rn记为欧几里得范数|·|的n维实数空间.Rn×m是n×m实矩阵.对于τ>0,用C1,2([t0-τ,+∞)×Rn,R+)表示定义在[t0-τ,+∞)×Rn上所有非负实值函数V(t,x)的族,其对t有一次偏导,对x有二次偏导.若a,b为常数,则a∨b=max{a,b};a∧b=min{a,b};mod(a,b)表示a除以b取余.若A是一个向量或矩阵,则AT表示其转置.

若τ>0,PC([-τ,0];Rn)={φ: [-τ,0]→Rn|φ(t),在[-τ,0]上所有但至多有限个点存在φ(t-)且φ(t-)=φ(t)},式中φ(t-),φ(t+)分别表示函数φ(t)在t处的左右极限.另外其范数定义为‖φ‖τ=

定义1如果存在正常数T,c1,c2满足c1

则称系统(1)是关于(c1,c2,T)的p阶矩有限时间稳定.

定义2如果存在正常数T,c1,c2,η,σ满足η

则称系统(1)是关于(c1,c2,η,σ,T)的p阶矩有限时间渐近稳定.

注1相较于文献[21–22,25,27]的有限时间稳定分析,本文综合考虑了脉冲、时滞以及随机噪声的影响,使得所研究的系统(1)更具有一般性.

注2区别于Lyapunov稳定,满足有限时间稳定的系统可能不会满足Lyapunov稳定,反之亦然.定义1描述了一个系统从给定的初始状态开始运动,并且其状态变量在有限时间内不超过指定的阈值.有限时间渐近稳定在满足有限时间稳定的前提下,还需要在到达终止时刻之前将状态变量收缩到小于初始状态的范围内.

3 主要结果

在本节中,将利用Lyapunov-Razumikhin法建立脉冲随机泛函微分系统(1)的有限时间稳定和有限时间渐近稳定的相关准则.

定理1令c1,c2,η,σ,T,α1,α2,p,β为正常数,γ ∈R,其中η

则称系统(1)是关于(c1,c2,η,σ,T)的p阶矩有限时间渐近稳定.

注3与文献[17]相比,本文综合考虑了镇定型与反镇定型两种脉冲对系统的稳定性影响.

证令x(t;t0,ϕ)表示系统(1)在(t0,ϕ)处的解,简写为x(t;t0,ϕ)=x(t).令V(t,x)=V(t),且

EV(t)在t ∈[t0,T]内是一个连续函数.首先对于∀t ∈[tl,tl+1),l=0,1,···,需验证

在区间t ∈[t0-τ,T]内定义

其中ε是足够小的正数.因此,证明式(2)只需证明

下面,将使用数学归纳法对式(3)进行证明.

步骤1首先将证明式(3)在t ∈[t0,t1)时成立.若t ∈[t0,t1)时,由于N(t,t0)=0,式(3)可以写成

由Ωε(t)的定义有

如果式(4)不成立,则存在t ∈[t0,t1)使得

定义t∗=inf{t∈[t0,t1):Ωε(t)>EV0}.由函数连续性可以看出

结合式(5)–(6)得出

然后对于∀s ∈[-τ,0],有

结合条件ii)可知ELV(t∗)<Γ(t∗)EV(t∗).由Itô公式得到

这与式(7)相矛盾,因此式(3)在t ∈[t0,t1)内成立.

步骤2假设式(3)在t ∈[tl,tl+1),l=1,2,···,k-1内成立,然后需要证明式(3)在l=k时成立,即

结合条件iii),有

由反证法,如果式(8)不成立,则存在t ∈[tk,tk+1)内使得

通过式(9)–(10)得到

上式等价于

情形1+s≥t0,则式(12)可以写成

考虑脉冲序列{tk}k∈N的平均脉冲间隔等于Ta,得到

因此,对于∀β>0,由式(14)–(15)可得

将式(16)代入到式(13)得到

情形2t0-τ≤+s≤t0.式(12)可以写成

与式(16)类似的,可以得到

将式(19)代入式(18)得出

结合式(17)(20),并且令ε→0,则有

利用条件ii)有

这与式(11)相矛盾.因此式(8)成立.即式(3)在t ∈[tk,tk+1)时都成立.通过数学归纳,式(3)在t∈[t0,T]上成立.所以式(2)成立.

由条件i)可知

因此,如果E‖ϕ‖p

再由平均脉冲区间的概念可知,如果β<1,有

由式(22)–(24)和条件v),得到

因此,系统(1)是关于(c1,c2,T)的p阶矩有限时间稳定.根据式(22),条件vi)和条件vii)推导出:如果β<1,则

如果β≥1,则

由式(26)–(27)表明

因此系统(1)是关于(c1,c2,η,T,σ)的p阶矩有限时间渐近稳定.证毕.

注4定理1中的条件ii)是Razumikhin型条件.条件iii)中利用函数ψ(t,s)处理时滞的影响.Γ(·):R+→R的取值范围表明Lyapunov函数的导数˙V并非必须满足负定或半负定.对比文献[27]定理1的条件ii)要求D+V(t,x(t))<0,本文结论更具一般性.此外,结合本文定理1的条件iv)和条件v),若α1c2>α2c1,即在[t0,T]内可能存在某些时刻使得Γ(·)>0;而条件vi)和条件vii)表明在[T-σ,T]内必须有Γ(·)<0成立,从而保证系统的有限时间渐近稳定.

注5定理1中,当脉冲强度β<1时,其对系统的稳定性具有镇定作用,此时平均脉冲区间Ta内发生的脉冲次数越多,越利于系统稳定.而脉冲强度β>1对系统的稳定性具有反镇定作用.其对系统有限时间稳定的影响较小.但对于有限时间渐近稳定而言,脉冲强度越大会使条件ii)中构造的函数ψ(·)的保守性越高.另外从ψ(t,s)的表达式可知,β取值应接近于1,以保证系统连续部分增长不会太快.

当系统(1)是不考虑脉冲影响的随机泛函微分系统

参照定理1的证明过程,下面将直接给出该系统有限时间稳定的结论.

推论1令c1,c2,η,σ,T,α1,α2,p,β为正常数,γ ∈R,其中η

则称系统(28)是关于(c1,c2,T)的p阶矩有限时间稳定.此外,如果存在常数<0使得

则称系统(28)是关于(c1,c2,η,σ,T)的p阶矩有限时间渐近稳定.

4 数值例子

例1考虑如下一个具有镇定型脉冲的随机时滞系统:

构建的脉冲区间如图1所示,其中:Ta=0.4,ϵ=0.2,N0=3.取函数V(t,x)=x2,α1=α2=1,并且Γ(t)=-0.02tcost2-5 cost2+0.013.由系统(29)的第2个等式可知β=0.81.因此

假设只考虑系统(29)在区间[0,π]内的有限时间稳定,通过计算得到

即有EV(t+s)≤0.164EV(t).由Itô公式可得

推导可得,t ∈[0,π]时

令c1=1,结合定理1的条件v)可知

则系统(29)是关于(1,1.88,π)的均方有限时间稳定.取σ=0.5,则有

由定理1的条件vii)得

则系统(29)是关于(1,1.88,0.12,0.5,π)的均方有限时间渐近稳定.系统的状态轨迹如图2所示.

图2 例1系统均方状态轨迹Fig.2 The mean square state trajectory of Example 1

注6由文献[9–10,27]的数值例子可见,如何构造辅助函数是解决这类问题的关键.相较于文献[27]例1中直接令其为H(t)=1,本文例1中先假设出Γ(t)的最大值求解出式(31)的下确界,再通过Itô公式以及不等式的放缩估算Γ(t).此方法虽有改进但同样存在一定保守性.

例2考虑如下一个具有反镇定型脉冲的随机时滞系统:

其中τ(t)=1-e-t.脉冲信号满足式(30).令Ta=ϵ=0.5,即tk-tk-1=0.5.取V(t,x)=x2,α1=α2=1,且显然β=1.21.通过定理1以及仿照例1的证明可以得出E|x(t)|2<14,t ∈[0,3].再根据有限时间渐近稳定的条件得到当σ=1.5 时,即t ∈[1.5,3],E|x(t)|2<6.系统在t ∈[0,3]内的均方状态轨迹如图3所示.图4是t ∈[0,10]内系统的均方状态轨迹表明系统(32)是有限时间稳定以及有限时间渐近稳定的,但不满足Lyapunov稳定.

图3 例2系统t ∈[0,3]均方状态轨迹Fig.3 The mean square state trajectory on t ∈[0,3]of Example 2

图4 例2系统t ∈[0,10]均方状态轨迹Fig.4 The mean square state trajectory on t ∈[0,10]of Example 2

5 结论

本文研究了脉冲随机泛函微分系统的p阶矩有限时间稳定以及有限时间渐近稳定的相关准则.本文的重点是对时滞项的处理,即利用Razumikhin型条件,引入辅助函数来处理时滞的影响.通过脉冲控制和平均停留时间方法得到该系统稳定性的充分条件,并通过数值例子证明了结论的有效性.由于本文研究的系统时滞是有界的.因此接下来的研究方向可以是讨论具有无穷时滞的脉冲随机泛函微分系统的有限时间稳定及其渐近稳定问题.另一方面,本文研究的是非线性系统的稳定性,对于研究结果也可以应用于线性系统.