具有空间扩散和尺度结构的非线性害鼠模型的最优不育控制

张泰年 ,雒志学,王汝军

(1.兰州交通大学环境与市政工程学院,甘肃兰州 730070;2.兰州交通大学数理学院,甘肃兰州 730070;3.河西学院数学与统计学院,甘肃张掖 734000)

1 引言

近年来,鼠害已成为恶化草地生态环境、遏制畜牧业可持续发展的生物灾害.害鼠可以传播多种病毒性和细菌性疾病,对人体健康造成直接危害,对生产经济活动造成巨大损失.鼠类繁殖次数多、孕期短、产仔率高,数量能在短期内急剧增加.目前主要的防治方法有: 生物防治、化学防治、物理防治、生态防治.此外,不育控制是国际上兴起的控制害鼠新技术之一,主要通过减少繁殖以控制其数量.这种技术比传统的治理方法更能达到防治的目的,还具有操作安全和不易对环境造成污染等特点.于是,利用不育技术防治害鼠引起不少学者的关注[1–3].

个体尺度是描述种群动力学行为的重要参数之一,例如,要描述植物或鱼类的动力学行为,个体尺度比年龄更好地模拟种群演化.种群的扩散与其空间分布密度息息相关,诸多学者对具有扩散的年龄结构种群系统的最优控制进行了研究,取得了较为丰富的成果[4–11],其中,专著[4]研究具有扩散的线性和非线性系统的最优控制问题,且非线性系统更贴近实际状况.文献[7]讨论了依赖年龄和空间扩散的n维食物链模型的最优收获策略.另一方面,对于尺度结构的种群系统,目前对扩散的情形研究较少,这里简介近年几项研究成果.文献[12]首次提出具有空间扩散的线性尺度结构种群模型.文献[13]研究一类具有空间扩散和尺度结构竞争种群系统的最优收获问题.受上述工作的启发,本文考虑如下的最优化问题:

的解;控制变量α ∈U={h ∈L2(Q3);0 ≤h(s,t)≤La.e.(s,t)∈Q3},这里L>0表示害鼠个体误食雌性不育剂的最大量.Ω ⊂Rn(n=1,2,3)是一个具有充分光滑边界∂Ω的非空有界区域,v是∂Ω处的外法单位向量.Q=(0,l)×(0,T)×Ω,Σ=(0,l)×(0,T)×∂Ω,Q1=(0,T)×Ω,Q2=(0,l)×Ω,Q3=(0,l)×(0,T).p(s,t,x)表示害鼠位于x处在t时刻尺度为s的个体密度;k表示害鼠在Ω内的扩散率;g(s,t)表示害鼠个体尺度的增长率;β(s,t)表示个体的出生率;m(s,t)表示雌性个体比例;P(t,x)表示t时刻在空间x处害鼠的总数量;α(s,t)表示害鼠个体误食雌性不育剂的平均量,δ2α(s,t)表示雌性个体的不育率.可分离死亡率µ的结构为

其中:µ0(s,t)表示个体的自然死亡率;µ1(P(t,x))表示个体因种内竞争导致的额外死亡率;δ1α(s,t)表示个体因误食不育剂导致的额外死亡率.

本文做如下基本假设:

3)g(s,t)是有界的连续函数,且关于s满足局部利普希茨条件.对任意(s,t)∈Q3,g(s,t)>0,且对任意t ∈[0,T],有g(l,t)=0,g(0,t)=1;

4)u0∈L2(0,l),u0(s) ≥0 a.e.s ∈(0,l),q0∈L2(Ω),q0(x)≥0 a.e.x ∈Ω;

5)0 ≤δiα(s,t)<1,0

6)g1:R→R+是非负连续凸函数,且有界.

2 状态系统的适定性

状态系统(2)属于“可分离”模型类,定义可分离形式解为

其中:u(s,t)是下列线性系统(3)的解

q(t,x)是下列非线性系统(4)的解

定义1初值问题s′(t)=g(s,t),s(t0)=s0的唯一解s=φ(t;t0,s0,x0)称为系 统(2)通过点(t0,s0,x0)的特征曲线.特别地,记z(t)=φ(t;0,0,x0)为系统(2)过点(0,0,x0)的特征曲线.

定义2若函数p ∈L2(Q)沿着每条特征曲线φ都绝对连续,且满足

则称p为系统(2)的解.这里Dφp(s,t,x)表示p沿特征曲线φ的方向导数,即

定理1对任意的α ∈U,则子系统(3)–(4)有唯一的非负有界解(u(s,t),q(t,x)).

证首先证明系统(3)有唯一的非负有界解.不失一般性,假设α(s,t)≡0.对于系统(3),在sot平面上任意固定点(s,t),当s≤z(t)时,定义其初始时刻τ=τ(s,t),则φ(t;τ,0)=s ⇔φ(τ;t,s)=0.当s>z(t)时,定义其初始尺度η=η(s,t),类似的有φ(t;0,η)=s ⇔φ(0;t,s)=η.从而利用特征曲线法,系统(3)的解可写为

其 中:τ=t-z-1(s),T>z-1(l).当T≤z-1(l)时同法处理.

令b(t)=g(0,t)u(0,t),则

则b(t)满足如下积分方程:

由假设知,K(t,z(δ);α)≥0,Fα(t)≥0 且Fα(t)∈L∞(0,T),K(t,z(δ);α)∈L∞(Q3).

对式(6)做积分变换,得到

对任意的α∈U,定义算子Aα:L∞(0,T)→L∞(0,T),则

在空间L∞(0,T)上定义等价范数如下:

对于任意的ρ1,ρ2∈L∞(0,T)有

当λ>‖K‖L∞(Q3)时,Aα为(L∞(0,T),‖·‖)上的压缩算子.根据Banach不动点定理知,算子Aα有唯一的不动点,即式(6)有唯一解b(t)∈L∞(0,T).

进一步,根据Banach不动点定理,式(6)的解是如下迭代序列的极限:

由K(t,z(δ);α) ≥0 a.e.(z(δ),t)∈Q3,Fα(t) ≥0 a.e.t ∈(0,T),则bn≥0,其极限b(t)≥0.因此对任意的α ∈U,系统(3)有唯一非负解uα ∈L∞(Q3).

由式(5)可得

根据Bellman引理,得到

接下来证明系统(4)有唯一的非负有界解.对任意的y ∈L2(Q1;R+),考虑如下系统:

由定理4.1.3[4]知,式(7)有唯一非负解qy ∈L2(Q1;R+).根据比较原理知,qy(t,x)≤(t,x),其中(t,x)为系统(4)相应于µ1=0的解.

对任意的(y1,y2)∈L2(Q1;),其相应的解为(q1,q2).令w=q1-q2,则w满足下列系统:

在系统(8)中的第一式两端同乘以w(t,x)并在Q1上积分,可得

由Bellman引理,得到

由式(9)可得

因此,映射F是空间(B,‖·‖∗)上的压缩映射.根据Bana ch不动点定理知,映射F存在唯一的不动点.即q(t,x)为系统(4)的唯一解.令M1=Ess sup|(t,x)|,则有0≤q(t,x)≤M1a.e.(t,x)∈Q1.综合以上分析,子系统(3)–(4)有唯一的非负有界解(u(s,t),q(t,x)).

证毕.

3 最优策略的存在性

定理2最优控制问题(1)至少存在一个最优解.

由式(12)得

对系统(14)取极限,得到系统(2)对应于α∗的解p∗,即p∗=pα∗.由式(10)知

另一方面,由假设(A6)以及式(11)(13)可得

4 最优性条件

定理3若(α∗,pα∗)是最优控制问题(1)的最优对,pα∗是系统(2)相应于α∗的解,则最优策略α∗有如下结构:

其中ξ(s,t,x)为下列共轭系统(16)的解:

证对任意ν ∈TU(α∗)(集合U在α∗处的切锥),当ε>0充分小时,有αε:=α∗+εν.令pαε为系统(2)相应于α=αε的解.由α∗的最优性知

将式(17)两边同时除以ε,并令ε →0+可得

在系统(19)的第1式两边同乘以ξ(s,t,x),然后在区域Q上积分,得到

将式(20)代入式(18)有

从 而[δ2β(s,t)m(s,t)ξ(0,t,x)+δ1ξ(s,t,x)-1]×pα∗(s,t,x)∈NU(α∗)(表示U在α∗处的法锥),再利用法锥性质[14],结论成立.证毕.

5 数值模拟

图1 自然出生率Fig.1 Natural fertility

图2 自然死亡率Fig.2 Natural mortality

图3 系统(3)的数值解Fig.3 The numerical solution of system(3)

图4 系统(4)的数值解Fig.4 The numerical solution of system(4)

对于自然出生率和死亡率的变化趋势,由图1–2可知,当害鼠达到中等尺度时其出生率最高,当尺度达到其最大或者最小时其死亡率最高,这符合实际情形,因此参数β(s,t)和µ0(s,t)的选取合理.在模拟过程中还发现,随着时间的增加,β(s,t)和µ0(s,t)呈现周期性变化.

6 结论

系统(2)的解关于尺度和空间位置可分离,在一组并不苛刻的假设条件下,定理1表明存在唯一的非负有界解.接着,第3节和第4节分别给出了最优策略的存在性和必要性条件.最后,通过数值模拟主要验证了第2节理论结果的正确性.在实际应用时,结合状态系统(2)和共轭系统(16)计算出最优状态、最优指标和J(α∗).由定理3得到以下结论:当δ2β(s,t)m(s,t)ξ(0,t,x)+δ1ξ(s,t,x)<1时,即害鼠的有效繁殖率较低时,不需要投放雌性不育剂;当δ2β(s,t)m(s,t)ξ(0,t,x)+δ1ξ(s,t,x)>1时,即害鼠的有效繁殖率较高时,对害鼠种群进行干预控制其出生率,需要投放雌性不育剂,且投放量L为最优.

容易验证,当g(s,t)≡1,∀(s,t)∈Q3时,本文讨论的内容即为具有扩散的年龄结构种群系统的相应结果.