“分数工程问题”教学思考与实践

刘春红

工程问题指与工程建造有关的数学问题，在数学学科教学中，不仅限于工程方面的问题，也包括行路、水管注水等问题。工程问题的教学有利于学生体会知识之间的内在联系，提高分析和解决问题的能力，感悟解决问题方法的开放性和多样化。教学中，如何让学生理解把工作总量看作单位“1”的工程问题的基本特点，掌握用假设法解决分数工程问题的思路与方法？如何通过自主探究、评价交流等学习活动，培养学生分析、比较、综合、概括等思维能力？本期，我们讨论如何更好地教学工程问题。

分数工程问题的教学核心是帮助学生建构单位“1”的模型，用分数表达工作效率。笔者在“分数工程问题”的教学实践中，引导学生提取关键信息并进行类比，经历把工作总量看作单位“1”、把工作效率“分数化”的抽象过程，进而发展数学思维，掌握数学方法。

一、归纳问题本质，建构模型

单位“1”模型的建立对学生来说并非全新的教学内容，而是前期在“认识分数”教学中已学习的核心概念。课堂上，笔者引导学生通过归纳多个问题的解答方法，生成单位“1”，进而明确工作总量是单位“1”、工作效率是“时间的倒数”的工程问题基本特点。

首先，笔者出示以下题目，让学生解答。

①6个苹果，3人分，平均每人可分得几分之几？

②9个苹果，3人分，平均每人可分得几分之几？

出示题目后，笔者提问：为什么苹果总数不同，平均每人分得的几分之几却相同？学生回答：把苹果总数看作整体“1”，平均每人分得的是整体“1”的[1/3]，不管苹果的总数是多少，它都是一个整体单位“1”，学生分得的份數与总数无关。以上教学为学生建模奠定了基础。

接着，笔者出示另一组类比题目，让学生解答。

①一条道路长360米，如果甲队单独修，12天能修完；如果乙队单独修，18天能修完。如果两队合修，多少天能修完？

②一条道路长180米，如果甲队单独修，12天能修完；如果乙队单独修，18天能修完。如果两队合修，多少天能修完？

③一条道路长100米，如果甲队单独修，12天能修完；如果乙队单独修，18天能修完。如果两队合修，多少天能修完？

学生通过分组讨论，对这3道题分别作出如下解答：①360÷（360÷12+360÷18）=7.2（天）；②180÷（180÷12+180÷18）=7.2（天）；③100÷（100÷12+100÷18）=7.2（天）。笔者引导学生思考：为什么总长度变了，合作的时间却没变？学生小组共研，一下子抓到了题组中“变与不变”的数量信息。有的学生说：“甲、乙单独工作的时间不变，甲队每天完成整条道路长度的[1/12]、乙队每天完成整条道路长度的[1/18]也不变，所以不论总长度是多少，合修天数都是一样的。”有的学生说：“可以把道路的长度看作整体‘1，总长度这个条件就相对不是很重要了。”笔者抓住时机提问：道路的长度可以是其他数据吗？如果将总长设定为a米，你能快速计算出合作的天数吗？学生尝试计算后，发现道路长度可以是任意的数，结果不会变。以上学习中，学生对题干中的变量展开研究，对分数工程问题有了更深的认知，提升了数学抽象能力。

最后，笔者引导学生进行知识迁移，促进模型思想的生成。如，把题目改为“一条道路，如果甲队单独修，12天能修完；如果乙队单独修，18天能修完。如果两队合修，多少天能修完？”让学生解答。学生用“1÷（[1/12]+[1/18]）=7.2（天）”作答，发现结果与前面的题目结果一致。笔者引导：“这里的单位‘1从哪里来的，表示什么？”学生回答：“这条道路是一个整体，可以看作单位‘1，甲队每天修它的[1/12]，乙队每天修它的[1/18]，两队每天合修它的‘[1/12]+[1/18]。”

学生在比较、交流和迁移运用中建构了单位“1”，形成“1÷（[1/A]+[1/B]）=n”的工程问题模型，积累了数学经验，丰富了数学思考和数学表达。

二、结合问题变式，运用模型

模型建立之后，学生的认知还需要通过各种变式问题的解决加以深化，这样才能达到运用模型的目标。

首先，笔者设计如下情境问题，让学生抓本质、揭关联。

①零件生产问题：加工一批零件，师傅单独完成需要20天，徒弟单独完成需要30天，两人合作需要几天完成？

②相遇问题：甲、乙两辆汽车分别从两城同时相对开出，甲车从A城开往B城需要3小时，乙车从B城开往A城需要5小时。两车经过几小时相遇？

③桌椅配套问题：总务处主任带着一些钱去购置桌椅，这些钱全买桌子可买50张，全买椅子可买75把，这些钱能买多少套桌椅？（一张桌子配一把椅子为一套）

在笔者的引导下，学生读题并理清“工作总量是谁、把谁看作单‘1、工作效率是谁、谁占工作总量的几分之几”等问题。随后，学生作答：第①题中，零件总数相当于工作总量，师徒的工作效率分别为[1/20]、[1/30]，列式“1÷（[1/20]+[1/30]）”解决问题；第②题中，两城的距离相当于工作总量，工作效率是两车速率，即[1/3]和[1/5]，列式“1÷（[1/3]+[1/5]）”解决问题；第③题中，总务处主任带的总钱数相当于工作总量，工作效率为每张桌椅所占总钱数的比率，即[1/50]和[1/75]，列式“1÷（[1/50]+[1/75]）”解决问题。笔者追问：解答这些题目的共同点是什么？学生回答：这些题目都是将总量看作单位“1”，工作效率是对应总量的分率。由此，学生理解了总量、工作效率在不同情境中的具体含义。

接着，笔者用“添枝加叶”法，引导学生深化理解工作效率。笔者出示题目：“一项工程，甲单独完成需要16天，乙单独完成需要18天，丙单独完成需要12天。工程经理安排他们合作完成工程，有几种合作方式？每种合作方式的工作效率如何计算？（只列式不计算）学生很快找出以下4种方式：甲、乙共同完成的工作效率为“[1/16]+[1/18]”，甲、丙共同完成的工作效率为“[1/16]+[1/12]”，乙、丙共同完成的工作效率为“[1/18]+[1/12]”，甲、乙、丙共同完成的工作效率为“[1/16]+[1/18]+[1/12]”。学生在理解模型的基础上，通过不断辨认、组合，深刻领悟了总量、效率和时间三者之间的关系。

最后，笔者用“缺斤少两”法强化学生对单位“1”的认知。笔者先出示题目：一项工程，甲单独完成需要20天，乙单独完成需要30天，两人合作完成工程的一半需要几天？学生用“[1/2]÷（[1/20]+[1/30]）”作答后，笔者继续提问：“为什么用[1/2]做被除数？完成的工作量变了，为什么工作效率没有变？”学生讨论后得出：题目要求完成工程总量的一半，即单位“1”的[1/2]；工作效率指每天完成整个工程的几分之几，这个效率是不变的。笔者接着问：如果是甲单独完成工程的一半用20天，它的工作效率如何表示？学生很快得出：完成一半用20天，完成整个工程就需要40天，甲的工作效率为[1/40]。单位“1”的变化打破了学生的固有思维，让学生对模型的理解达到了更高的层次，实现了知识的融会贯通。

（作者单位：荆州市公安县实验小学）

责任编辑  张敏