初中生几何证明题解题思维能力培养析谈

林杰

【摘要】社会主义新时代要求培养高素质的综合型人才，初中数学在发掘学生逻辑思维、空间想象思维等方面的能力具有重要作用.在初中数学教学中，空间几何是一项重要的教学内容，空间几何对于学生综合能力的培养具有实践意义.文章以如何培养初中学生几何证明题解题思维能力为主线，从当今的教育现状出发，简要分析了现如今初中生数学思维能力培养中存在的问题、培养初中生几何证明题解题思维能力的意义以及对存在的问题和具体意义进行分析，提出相应的培养策略，以期对今后初中数学中空间几何及相关内容的教学提供参考.

【关键词】几何证明；数学思维能力；解题思维

在初中数学教学中，几何证明是一块重要的内容，空间几何知识的学习能培养学生的空间想象能力、推理论证能力等.教师通过对空间几何的系统教学，培养学生这些相应的能力，对于学生解决生活实际问题具有重要意义.

一、现今初中数学思维能力培养教学中存在的问题

在初中数学教学内容结构中，几何证明占据了较大的比重.在初中数学中几何证明这部分知识的解题思维培养教学虽然已经具备了一定的成效和适用性，但是还是比较缺乏活性.比如教师教学培养方法不够灵活、教师太注重教材、教师对学生个体差异考虑不全面以及教师教授的解题方法较单一等.而这些问题对培养学生初中数学几何证明题解题思维能力有着较大的阻力，成为初中数学教学发展的一大反推力.

（一）教学模式古板，以教师讲解为主

由于受到传统教学模式根深蒂固的影响，以及教学压力过重，即使是在新的教育背景下，要想完成新的教育理念和教育方式的更新也存在较大困难.由于传统教学模式的影响，即使教师在教学过程中有意识地避开传统的教学模式，积极向新的教育理念和教学模式靠近，但免不了思维还是会受传统教学模式的影响，难以做到真正的创新教学，总会不自觉单方面地将知識传授给学生，学生就成了知识的接收工具.另外，由于教学工作量较大，教师需要教授给学生的知识过于繁杂，这就使学生很难有充足的时间去探索新知识、新的解题方式方法，只能一味地接受教师给的现成的知识和解题思维.正是因为这样的问题存在，从而大大禁锢了学生思维能力的发展.而在几何证明这种需要较强思维逻辑能力才能掌握的数学知识中，各种各样的问题和困难也将陆续产生.

（二）课堂教学专注于课本，与生活脱轨

当前的初中数学教学理念注重与生活相联系，让学生学习生活中的数学.而一些教师在教授过程中往往“照本宣科”，一味地按照课本上的解题方式给学生讲解，完全没有创新和结合生活.就几何证明而言，有很多的几何证明题往往来自生活实际，要想让学生更好地掌握几何证明题的解题思维，单单课本上那点东西是完全不够的.

（三）没有充分考虑学生个体差异性

世界上没有完全相同的树叶，人也一样.每个学生都属于完全独立的个体，对于相同的问题，可能会有多种多样的思考方式和结果.因此，在针对同一个几何证明问题时，不同学生的思考方式也会存在差异，有的学生可能逻辑思维能力强，而有的学生逻辑思维能力弱.几何证明题检验学生的思维能力往往是多方面的，需要学生具备多方面的数学思维能力，因此，教师对于学生几何证明题解题思维能力的培养要从不同的方面入手.而很多教师在对学生几何证明题解题思维能力培养的过程中往往会忽略学生个体间的差异，采用所谓的“一律平等”的方式进行培养，导致培养效果差.

（四）解题方法缺乏多样化

几何证明题考查了学生灵活运用多种思维的能力.不同的学生，各有所长，有的学生可能综合思维能力强，有的学生逻辑思维能力较强，有的学生反证能力较强.而大多数几何证明题的证明方法不止一种，学生可以从多个方面着手证明，所以学生就可以根据自己的长处，结合自己擅长的方式，找准证明方向.而在实际初中数学几何证明题的教学中，教师的解题教学方法较为单一，从而在一定程度上限制了学生几何证明题思维的发散.

二、几何证明题解题思维能力培养的意义

（一）提高学生逻辑推理能力

在解答几何证明题的过程中，解题步骤往往需要根据一定的理论依据和条件说明进行逐步推理，这对学生的逻辑思维能力和推理能力有着很大的考验.教师带领学生掌握基本的理论关键后，再通过实际例题，进行反复练习，逐渐找准几何证明题的解题步骤和思路，并对学生的逻辑推理能力进行反复的锻炼，对进一步提高学生逻辑推理能力有着积极意义

（二）加强学生对几何语言的理解

几何题往往由文字、符号和图形组成，而这些组成部分被称为几何语言.在对学生几何证明题解题思维能力培养的过程中会涉及对几何题中文字、符号、图形的理解.教师通过让学生反复理解几何语言，以此强化学生对整个几何证明题的理解以及解题思维框架的构建.因此，教师通过对学生几何证明题解题思维能力的培养，不仅能够让学生对几何语言进行深入的理解，而且对学生数学学科素养的培养有着一定的帮助.

（三）提高学生的空间思维能力

几何是研究空间结构及性质的一门学科，是数学这个大学科体系的重要分支.几何指对空间结构的研究，也就说明了其对人类空间思维能力的培养有着很大的帮助.而几何证明题就是几何这门学科培养学生空间思维能力的方法和途径的载体.在初中数学教学中，教师借助这一载体，是提高学生空间思维能力的重要途径.

三、初中生几何证明题解题思维能力培养的策略

（一）创新教学方式，注重学生学习兴趣的培养

传统的教学方式是教师教、学生听，师生互动交流少，导致教师无法掌握学生的学习情况，也无法了解学生对知识的理解程度，这对学生能力的培养有着很大的局限性.在初中数学教学中，空间几何这部分内容很抽象，学生需要用上抽象思维、逻辑推理等能力.传统的初中数学教学方式很难调动学生的学习主动性，也无法引起学生的课堂学习兴趣，这对教学来说是很不利的.因此，教师应创新教学方式，以学生喜闻乐见的方式进行教学，培养学生学习的兴趣，以达到事半功倍的效果.如，在教学“三角形”这一部分内容时，教师可以让学生举一些生活中常见的三角形事物或在生活中利用三角形原理的事物进行导入，提高学生的课堂参与感、激发学生的学习兴趣的同时，让学生理解三角形的形态或三角形具有稳定性这一特征.再如，在教学“三角形全等的判定方法”的过程中，学生对于“边角边”“角边角”“角角边”“边边边”“直角边斜边”这五个定理的理解和记忆很容易出现偏差，因此教师在教学过程中，应充分考虑学生能力的发展特点，将每一个定理设置成一个个活动，如先预设一个情境，让学生按步骤完成情境内容，看学生是否能得到预定定理，如果不能得到预定定理，分析原因是什么，再让学生实际参与活动的例证中，根据自己实践证明的结果，推断能够达到预定定理的条件，或是不能达到预定定理的原因.根据这一活动内容，可以培养学生的推断假设能力，提高学生的课堂参与感、成就感，激发学生的学习兴趣，让学生在玩中学，从而提高学生对知识掌握的程度，在几何解题应用某一定理时才不会找错三角形全等的条件.

（二）数学问题生活化

陶行知先生说：“生活即教育，教育即生活.”由此可见，生活与教育息息相关，我们不能脱离生活而简单地搞教育，要培养实践型人才，将数学问题与生活中的实际问题相结合就是很好的方法，检验学生是否具有数学思维的方法之一就是学生能否学以致用.生活处处皆数学，我们在生活中经常能用到数学知识，数学也源于生活，因此数学也可以解决实际生活问题.如我们的家里面会有一些简单的置物架，置物板的下方往往有一条斜的小木棒连接木板外缘与墙体，一块儿木板要如何才能垂直于墙面且平衡在墙上呢？小木条的存在就与墙体和置物板形成一个三角形，这就是利用了三角形具有稳定性的原理.如果是单纯地讲解三角形具有稳定性，学生或许也能记住，但是将数学知识与实际生活问题相结合，将数学问题生活化无疑效率更高.

（三）日常教学中的能力培养

1.抽象、具象能力

在空间几何中，经常出现点、线、面根据不同条件在空间中的变换，这就需要学生发挥自己的想象，根据不同的条件在脑海中构建不同的立体图形，并寻找他们变换的关联，再将这种变换引发的结果应用到具体的解题中.空间几何对学生的抽象思维能力要求很高，对于初中生而言，他们的空间想象能力有限，其应用也是较为缺乏的，因此在教学过程中，教师要注意引导学生进行空间想象，利用具体形象去开发他们的空间思维，培养学生抽象能力.教师可以在日常授课时有意无意的就一些简单的想象题对学生空间想象能力进行培养，并引导其进一步应用到初中数学几何证明的解题中.

在空间几何证明题中，最考验学生思维想象能力的是立体图形和动点问题.初中生认知有限，对于初中生而言，简单的一维和二维都可以理解，但是涉及空间的变换就有难度了.如图1，已知立方体ABCD-EFDH，求证△ABF≌△HGC.刚刚学习几何的学生，很难看懂后面隐藏的虚线，也很难理解其意义，教师在教学过程中需要用通俗的语言告诉学生：“其实它后面的并不是虚线，只是我们从一个方位无法看见图形的全貌，因此采用虚线表示看不见的线段.”并需要借助教具向学生展示，帮助其建立立体的概念，培养学生空间思维，然后才能教学生对应地理解图形并进行解题.解题思路如下：

（1）要将ABCD分别与EFGH进行对应，明确立方体的对应边相等；

（2）找到正面△ABF与背面的△HGC；

（3）将三角形中的边进行一一对应，AB=GH，BF=GC，AF=HC；

（4）利用“边边边”定理证明△ABF≌△HGC.

2.信息提取、推理能力

空间几何证明题还有一个特点，在题目中将一些解题信息用其他语言表达出来，而这就需要学生有信息提取能力，将这一类转换表达的叙述用通俗的表达呈现出来.另一类题是需要学生理解并记住一些图形的特点，并在已知条件中提炼出来再用.这就要求教师在日常教学中，注重学生信息提取能力的培养.比如，同一定理的不同说法，要给学生都讲解提点一下，并分析在不同的情况下的具体表述方法，尤其是刚开始学习空间几何的学生或理解能力有待提高的学生，可以进行单独训练.如图2，已知四边形ABCD为平行四边形，AE=CF，求证∠E=∠F.本题解题关键一是需要学生记得平行四边形的相关知识，如平行四边形对角相等、对边相等；二是需要学生学会观察，巧妙联系各已知条件，添加辅助线构建三角形.解题思路如下：

（1）连接AC（构建三角形）；

（2）在△ABC和△CDA中（找到有联系的两个三角形）；

∵AB=CD，BC=DA，AC=CA（寻找两个三角形全等的条件），

∴△ABC≌△CDA（SSS），

∴∠B=∠D（再次提取有用条件）.

∵AB=CD，AE=CF，

∴BE=DF.

（3）在△BCE和△DAF中（找到有联系的两个三角形）.

∵BE=DF，

∠B=∠D，

BC=DA，

∴△BCE≌△DAF（SAS），

∴∠E=∠F.

在空间几何的已知条件中还含有一些隐藏条件，学生需要主动推理出隐藏的条件，很多时候，这些隐藏条件就是解题的关键，这就需要培养学生的推理能力，让学生在独立情况下也能用这一能力进行独立思考，寻求解题思路.对于这一类题型，教师在教学过程中要引导学生构建有利条件，切记告诉学生不能嫌麻烦，有些题看似构建的辅助线没用，实则是要进一步推理才能得出一些实际条件.

（四）解题方法多样化

空间几何的证明一般都有好几个切入点，也就是一个题有多条解题思路，只是有简有繁.首先，教师在平时上课讲授的过程中，应尽量为学生多讲解几条解题思路，学生根据思维的个性差异选择合适自己的解题思路.其次，教师要积极引导学生主动探索自己的解题思路，培养学生探索的能力，不让学生局限于教师所限定的方法中.最后，对于有主动意识的学生，他们的思维比较活跃，他们会在课堂上提出一些新思路.“三人行，必有我師焉.”教师要敢于肯定学生的正确解题思路，并给予赞扬，对于提出错误思路的学生也要给予鼓励.空间几何的解题思路比较多，教师在教学过程中要注意解题方法多样性，培养学生发散思维.

1.作辅助线法

在空间几何的解题过程中，最常用的就是作辅助线法.通过在已知的图形中作相应的辅助线，可以让已知条件更加清晰明了，或让一些隐藏的条件在辅助线的作用下更直接地体现出来.如图3，已知∠1=∠2，AB>AC，求证BD>DC.

在本题中，可以作辅助线，如图4，在AB上取一点M，连接DM，使得AM=AC，

在△ADC和△ADM中，

∵AM=AC，∠1=∠2，AD=AD，

∴△ADC≌△ADM，

∴∠3=∠4，CD=MD.

∵∠BMD>∠3=∠4>∠B，

∴∠BMD>∠B，

∴BD>DM，

∴BD>DC.

在上面的题目中，其实并不能直接比较BD和DC的长短，通过作辅助线构建两个全等的三角形，在条件转换后即可比较BD和DC的长短.

2.分析综合法

这种方法在整个几何证明题解题中比较常见，也比较容易掌握.该方法即通过正向思维逻辑关系，对已知条件进行深入分析，再通过进一步层层推理，最终得出想要的结果.另外，还可以通过逆向思维逻辑方式，从已有的结果出发进行反向推理，当最终推理得出的结果与已有的条件、定义以及结论相反或相违背，则证明结果正确.

3.反证法

这种方法也属于逆向思维的灵活运用.在解题过程中，即通过先将假设题目中给出的结论不成立，然后根据假设进行层层推理，如果最终推理出的结果与已知的定义、条件等相违背，则证明结论是正确的.

4.面积法

这种方法相对另外几种方法而言较为少用，一般针对一些特殊的问题才会用到.该方法即将几何证明题中的几何关系转变为图形的面积关系，从而达到最终的证明目的.

结 语

几何对于培养学生空间想象思维、逻辑思维等能力具有重要意義，但初中生学习几何还是有点难度的，因此，几何知识在初中数学中占据了很大的比重，是教学的重点和难点，所以教师在几何知识的教学中，应以多样化的教学方式，引导学生掌握解题规律，培养学生解题思维，提升学生解答几何证明题的水平，为学生的终身发展打下基础.

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