创新设计，巧妙破解，探究拓展

徐士权

直线与抛物线的位置关系问题，一直是高考数学试卷中的一类常见考点，设置巧妙，形式各样，变化多端.2021年高考数学上海卷第11题就是以抛物线为问题背景，通过直线与抛物线的位置关系所产生的具体三角形的三边长，创新设置问题，新颖别致，是一道令人眼前一亮的创新题，值得好好研究、挖掘.

1 真题呈现

高考真题 （2021年高考数学上海卷第11题）已知抛物线C：y2=2px（p>0），若第一象限内的点A，B在抛物线C上，焦点为F，且|AF|=2，|BF|=4，|AB|=3，则直线AB的斜率为___________.

2 真题剖析

该题以抛物线为问题背景，结合抛物线的焦点，以及抛物线上的两点所构造的边长确定的三角形为载体，进而确定抛物线上的两点所对应的直线的斜率.

具体破解时，可以通过直线的斜率公式，结合点差法的应用来处理；也可以通过解析几何的平面几何化，利用斜率的定义，数形结合来直观处理；还可以利用题目中已知的弦长，结合弦长公式代入来求解.无论采用何种方法破解，都离不开抛物线的定义及其应用，借助抛物线定义的转化，或代数运算，或数形结合，或公式应用等，都可以很好地达到目的.

5 教学启示

（1）回归抛物线的本质，抛物线的定义先行

抛物线的定义反映了抛物线自身的本质特征，揭示了相关曲线存在的几何性质与特征规律.在实际破解相关问题中，合理回归、巧妙应用抛物线定义，实现“抛物线上的点到焦点的距离”与“该点到准线的距离”二者之间的合理变形与转化，实现“两点距离”或“点线距离”之间的合理过渡、变形、转化，是破解抛物线问题最常用的一个基本技巧方法.

（2）抓住平面几何特征，破解解析几何问题

解析几何问题本质上离不开平面几何的图形特征，具有平面几何的本质特征.在具体破解问题时，合理引导学生通过数形结合对图形特征、线段数量关系、边角位置关系等加以直观认识，从而转化为相应的问題（三角函数、解三角形、平面向量或平面几何等）进行处理.在解题教学中要有意识地引导和培养学生，利用独特的思维去探索数学，欣赏数学的美.

在实际数学解题教学过程中，不能只停留在解题的表面上，应适当强化解题研究，挖掘问题本质，摒弃题海战术，讲究教学艺术，这样才能真正全面提升学生的解题能力、综合能力、创新能力与应用能力等.