“数”与“形”巧妙融合，“动”与“静”综合应用

张瑜

向量是衔接代数属性与几何图形的一个重要纽带，合理沟通“数”（代数）与“形”（几何）之间的联系，是数形结合的典范之一.而巧妙将向量知识融入到立体几何中，动静直观，数形结合，是数学知识交汇、数学思维融合、数学能力综合等方面表现突出的一个创新点，倍受命题者青睐.

1 问题呈现

问题 （2023年上海市春季高考数学试卷·12）已知OA，OB，OC为空间中的三个单位向量，且OA⊥OB，OA⊥OC，OB与OC夹角为60°，点P为空间任意一点，且|OP|=1，满足|OP·OC|≤|OP·OB|≤|OP·OA|，则|OP·OC|的最大值为___________.

本题以空间向量为问题背景，结合空间向量的长度关系与位置关系，以及数量积的绝对值的不等关系进行创设，有“动”的展示、“静”的确定，动静结合，数形直观，综合考查学生在动态变化情境中的直观想象、空间想象能力等，以及对空间向量投影的理解，进而选择相应的技巧与方法来分析与解决问题.

作为空间向量的综合应用问题，可以从代数运算“数”的视角切入，结合坐标思维来处理；也可以從几何图形“形”的视角切入，结合数量积的几何意义或空间图形的几何特征等来处理.由于视角多变，方法多样，因此在处理过程中需要耐心、细心，以及空间想象能力与数学运算能力的综合显现.