恒等式和不等式中常量与变量的转化技巧

叶军喜

摘要：转化是把不熟悉和复杂难解的问题转化为熟知的、简单的或已经解决的问题，将抽象的问题转化为具体的、直观的问题，将一般性的问题转化为直观的、特殊的问题.在解决不等式与函數类问题中，可以利用常量与变量的相对性，逆向思考，变换视角，反客为主，使它们相互转化，从而使问题顺利获解.

关键词：总体设元；多元选一；变形构造函数；反客为主；分离常数

转化的方法是高中数学解题中最基本的思想方法.数学中很多问题的解决都离不开转化［1］.例如，数形结合思想体现了“数”与“形”的相互转化，函数与方程思想体现了函数、方程、不等式之间的相互转化，分类讨论思想体现了局部与整体之间的相互转化，而分析法、反证法、待定系数法、构造法等是转化的具体手段，所以说，转化是数学思想方法的灵魂.

在高中数学中，常量与变量本来是一对矛盾体，很难相互转化，但是，如果站在辩证的角度来看，变量反映的是一个过程，而常量就是变量在某一特定时刻的值.在这种思想指导下，也可以把常量也当作变量来看待，将其放在一个过程中研究，根据解题的需要对常量与变量的位置进行转化，常常能收到意想不到的效果.下面通过对典型例题的解析与点拨，帮助考生熟悉并掌握常量与变量的转化技巧.

技巧点拨：本题的解题思路是利用函数的单调性，把函数值的相对大小问题转化为自变量的大小问题，选取不同的“主元”解决问题.第（1）问采用了“反客为主”法，把a作为变量，x作为常量，降低了计算的难度和繁琐程度，充分体现了变量与常量的对立统一辩证关系；第（2）问采用了“分离常数”法，仍然把x作为变量，把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题来解决，巧妙地避开了繁琐的讨论，同样展示了化繁为简的优越性.

从上述对解题思路与方法的点拨中可以看出，常量与变量的转化技巧集中体现在如何“换元”上，实际上是对动态思维、灵活思路的更高要求［2］.在解决多变元问题时，要学会逆向思考，换个角度，反客为主，根据需要变更“主元”，拓宽解题思路，达到简捷解题的目的.

参考文献：

［1］王祥凯.转化思想在高中数学解题中的应用例谈［J］.试题与研究：教学论坛，2019（32）：117.

［2］何永安.例谈转化思想在数学解题中的应用［J］.数学大世界（小学三四年级适用），2016（1）：7-8.