几个重要不等式在不等式证明中的应用

郭西锋

摘要：二元或三元不等式证明问题，是高考或竞赛的常考内容，在解题中有几个使用频率较高的不等式，即均值不等式、柯西不等式、权方和不等式、绝对值三角不等式等.借助这几个不等式常可迅速找到问题的突破口.

关键词：均值不等;柯西不等式;绝对值三角不等式;权方和不等式

不等式证明在高考全国卷中是必考题型，题目难度中等，解答此类问题，只要掌握常见题型的处理方法及求解策略，便不难得分.本文中就此类问题所涉及的解题方法及解题工具进行梳理，并举例分析.

1 题型特征

在高考中关于不等式证明选讲内容的命题类型大多为二元或三元不等式的证明，其中各元均为正数，且给出二元或三元满足的某些条件，证明所给不等式成立.已知或所证关系式中常常含有根式、一次式、二次式或三次式，从结构来看往往具有对称关系.

2 方法策略

解题中所涉及的证明方法主要有：分析法，综合法、反证法等.这些是我们常用的证明方法，具体不再赘述.

常用的工具主要有：均值不等式、柯西不等式、绝对值三角不等式、权方和不等式等.另外，在某些竞赛题目中还会涉及排序不等式、琴生不等式等.

3 工具应用

3.1 均值不等式

二元均值不等式是两个正数的算数平均数与其几何平均数的关系，即a，b>0时，a+b2≥ab，当且仅当a=b时，等号成立.

将其进行拓展，可得a，b>0时，a2+b22≥a+b2≥ab≥21a+1b，其中a2+b22称为a，b的平方平均数，21a+1b称为a，b的调和平均数.这一不等式链的证明较简单，在此不再给出.

其三元形式，即a，b，c>0时，a2+b2+c23≥a+b+c3≥3abc≥31a+1b+1c，当且仅当a=b=c时，等号成立.

将其推广到一般形式，当ai>0，i=1，2，……，n时，

a21+a22+……+a2nn≥a1+a2+……+ann≥na1+a2+……+an≥n1a1+1a2+……+1a3，当且仅当a1=a2=……=an时，等号成立.

例1 （2022年高考全国乙卷）已知a，b，c都是正数，且a32+b32+c32=1，证明：

（1）abc≤19；（2）ab+c+ba+c+ca+b≤12abc.

证明：（1）因为a>0，b>0，c>0，则a32>0，b32>0，c32>0，

所以a32+b32+c323≥3a32·b32·c32.于是（abc）12≤13，故abc≤19，当且仅当a32=b32=c32=13，即a=b=c=1332时，等号成立.

（2）因为a>0，b>0，c>0，所以b+c≥2bc，a+c≥2ac，a+b≥2ab，则

ab+c≤a2bc=a322abc，ba+c≤b2ac=b322abc，ca+b≤c2ab=c322abc.

于是ab+c+ba+c+ca+b≤a322abc+b322abc+c322abc=a32+b32+c322abc=12abc，当且仅当a=b=c=1332时，等号成立.

点评：本题已知条件是有关三个元和的形式，所证的关系式中含有积的形式，因此不难想到利用均值不等式进行转化证明.在高中阶段，不等式证明中应用较多的是二元和三元均值不等式.对于不满足均值不等式条件的证明问题，可先构造再应用，构造的方式主要有“添项”“拆项”等.

3.2 柯西不等式

柯西不等式的一般形式：设a1，a2，……，an，b1，b2，……，bn是实数，则（a21+a22+……+a2n）（b21+b22+……+b2n）≥（a1b1+a2b2+……+anbn）2，当且仅当bi=0（i=1，2，……，n）或存在一个实数k，使得bi=kai（i=1，2，……，n）时，等号成立.这一不等式可简记为“方-和-积”≥“积-和-方”.

柯西不等式的三元形式：若a1，a2，a3和b1，b2，b3是实数，则（a21+a22+a23）（b21+b22+b23）≥（a1b1+a2b2+a3b3）2，当且仅当bi=0（i=1，2，3）或存在一个实数k，使得ai=kbi（i=1，2，3）时，等号成立.

柯西不等式的二元形式：若a1，a2和b1，b2是实数，则（a21+a22）（b21+b22）≥（a1b1+a2b2）2，当且仅当a1b2=a2b1时，等号成立.此形式与向量不等式（|a|·|b|）2≥（a·b）2的代数形式一致.

例2 已知x，y，z∈R，且x+y+z=1.

（1）求（x－1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值；

（2）若（x－2）2+（y－1）2+（z－a）2≥13成立，證明：a≤－3或a≥－1.

解析：（1）由x+y+z=1，结合三元柯西不等式，可以得到3［（x－1）2+（y+1）2+（z+1）2］=（12+12+12）［（x－1）2+（y+1）2+（z+1）2］≥［（x－1）+（y+1）+（z+1）］2=4.

所以（x－1）2+（y+1）2+（z+1）2≥43，当且仅当x=53，y=－13，z=－13时，等号成立.

故（x－1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值为43.

（2）证明：因为由x+y+z=1，结合柯西不等式，得3［（x－2）2+（y－1）2+（z－a）2］=（12+12+12）＼5［（x－2）2+（y－1）2+（z－a）2］≥（-2-a）2=（2+a）2，即（x－2）2+（y－1）2+（z－a）2≥（2+a）23，当且仅当x=4－a3，y=1－a3，z=2a－23时，等号成立.故（x－2）2+（y－1）2+（z－a）2的最小值为（2+a）23.由（2+a）23≥13，得a≤－3，或a≥－1.

点评：柯西不等式是处理不等式证明问题的常用工具，对于不具备应用条件的不等式，可通过拆项、结构变形、引入数组等进行构造，如本题中两次应用柯西不等式，均利用了3=12+12+12进行构造.

3.3 权方和不等式

权方和不等式的二维形式：a，b，x，y>0，a2x+b2y≥（a+b）2x+y，当且仅当ax=by时，等号成立.其证明可利用均值不等式，此處略.

其n维形式：ai>0，bi>0，m>0，am+11bm1+am+12bm2+……+am+1nbmn≥（a1+a2+……+an）m+1（b1+b2+……+bn）m，当ai=λbi时（λ为实数），等号成立.

例3 （2022年高考数学全国甲卷）已知正实数a，b，c满足a2+b2+4c2=3，求证：

（1）a+b+2c≤3；

（2）若b=2c，则1a+1c≥3.

证明：（1）由柯西不等式，知（a2+b2+4c2）（12+12+12）≥（a+b+2c）2，即3×3≥（a+b+2c）2，而a，b，c>0，所以a+b+2c≤3，当且仅当a=b=2c，即a=b=1，c=12时，等号成立.

（2）由（1）知a+b+2c≤3，且b=2c，所以0

点评：本题的证明综合使用了柯西不等式与权方和不等式，应用中要准确把握题目所给及所证关系式的结构特征，准确构造相应的不等式来求解.

3.4 绝对值三角不等式

绝对值三角不等式：|a|+|b|≥|a+b|，其中a，b为实数，等号成立的条件是ab≥0.将上式中的b换为－b，则有|a|+|b|≥|a－b|，等号成立的条件是ab≤0.将两式综合，可得||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，a，b为实数.

例4 已知a，b∈R，且|a+b|≤16，|a－b|≤14，求证：|5a+b|≤1.

解析：令5a+b=m（a+b）+n（a－b）=（m+n）＼5a+（m－n）b，则m+n=5，m－n=1，解得m=3，n=2.

由|a+b|≤16，得3|a+b|=|3a+3b|≤12.

由|a－b|≤14，得2|a－b|=|2a－2b|≤12.

所以|3a+3b|+|2a－2b|≤12+12=1.

由绝对值三角不等式，得|3a+3b|+|2a－2b|≥|（3a+3b）+（2a－2b）|=|5a+b|，所以|5a+b|≤1.

点评：与绝对值有关的不等式恒成立或证明问题，通常可借助绝对值三角不等式实现不等式的证明.

总之，只要我们能够掌握这些重要不等式的应用条件及其相应的变形、构造技巧，并结合所证式子的结构特征，即可灵活处理二元或多元不等式的证明问题.