基于CPFS结构理论探讨数学解题前的“理解题目”——探索通过“理解题目”来提高学生数学阅读能力的方法

冯亚芳, 李书海

(1.赤峰学院数学与计算机科学学院,内蒙古 赤峰 024000;2.赤峰学院民族数学教育研究所,内蒙古 赤峰 024000)

0 引言

数学学习离不开解题,学生的解题能力既是所学数学基础知识及其体系的综合表现,又是学生数学基本技能和数学素养的外在体现.高中生已经具备基本的数学阅读能力,但对于材料阅读仍然缺乏精准、有效地提取数学相关知识的能力.因此,在解题时不能很好地理解题目、解决问题.数学阅读是课程标准提出的一种重要学习方式,而在高中数学课堂中,教师对于数学解题前“理解题目”的教学较为随意,缺乏系统性和组织性,在一定程度上阻碍了学生数学学科核心素养的发展.波利亚在《怎样解题》中为人们提供了一套系统的解题途径,解题过程主要包括4个阶段:理解题目、拟定方案、执行方案、回顾[1].当前,数学解题及其教学大多关注如何利用波利亚解题思想找到相应的解题思路和方法,却忽视了“理解题目”这一阶段的教育价值.因此,这是一项有待深入探讨和研究的课题.

由喻平教授提出的CPFS结构是数学学习中特有的认知结构[2].它集知识与方法于一体,不仅为培养学生“理解题目”这一步骤提供了理论支撑,而且可以有效提升学生的数学阅读能力,发展学生的数学思维和关键能力.目前,国内结合CPFS结构理论对数学教育的研究多集中于数学概念、复习课教学研究以及对数学问题解决影响的相关性研究.

三角函数作为高考的必考内容之一,三角函数题情境多变,灵活多样,对学生的数学思维能力和数学素养都提出了更高的要求.而基于CPFS结构理论探讨三角函数解题教学从而提升学生数学阅读能力的研究不是很多,通过阅读相关文献,受文献[2-5]的启发,笔者将基于CPFS结构理论,结合一道三角函数高考题来探讨波利亚提出的数学解题前“理解题目”这一阶段,以期探索通过“理解题目”来提高学生数学阅读能力的有效方法,培养学生的数学高阶思维能力,发展关键能力.

1 CPFS结构理论与解题前的“理解题目”

CPFS结构理论将数学知识与思想方法有效融合,它是概念域、概念系、命题域、命题系形成的心理结构,如图1所示.CPFS结构理论是一种结点之间具有逻辑意义、联系紧密的结构,是“层次网络”与“激活扩散”的整合[6].它可以帮助学生有效掌握系统完善的数学知识,进而使得“理解题目”这一阶段可以顺利进行.

图1

“理解题目”是波利亚“怎样解题”表中的第一个阶段.这一阶段对解题者提出如“已知数据是什么?条件是什么?求证什么?”等许多问题,可以帮助学生构建审题框架,有效提取相关数学知识.理解题目是解题的必要前提,而在此阶段学生能够有效提取个体头脑中原有的相关知识是十分重要的.这一阶段其实就是数学理解的一个过程,理解的程度是由联系的数目和强度来确定的.说一个数学的概念、方法或事实彻底地理解了,是指它和现有的网络是由更强的或更多的联系联结着[7].

基于此,发现CPFS结构理论可以更加清晰地认识到“理解题目”中提取的相关知识各部分内部之间以及与题目当中的条件、结论外部之间的联系.事实上,“理解题目”的过程也是数学理解水平层次不断深化和个体CPFS结构不断完善的过程,研究者李渺给出数学学习中个体CPFS结构变化与数学理解的关系图,将其整理如图2所示.

图2

根据上述分析,“理解题目”这一阶段可以分为两个层次:第一层次是表层理解,理解题目的文字叙述;第二层次是深层理解,分离主要部分,弄清细节,将文字语言转化为数学语言.可以看出在“理解题目”的过程中,一方面,如果学生可以从原有的数学基础知识出发,逐渐从表层理解过渡到深层理解,那么个体CPFS结构也会相应地发生变化,并逐渐趋于完善,反之,个体CPFS结构会反过来影响学生审题,进而影响解题;另一方面,如果个体CPFS结构优良,那么学生对于题目涉及的相关知识就可以有效、精准提取,进而顺利解题,反之,学生对于题目信息涉及的相关知识是缺失、不完整的,就会妨碍解题.

2 个体CPFS结构与数学阅读能力

不同的学者对于数学阅读能力有不同的看法,胡理华认为数学阅读能力主要指:准确理解原文;较快的阅读速度;提出问题、分析问题和解决问题的能力,并指出数学阅读能力可以分为6个水平,分别是:认读水平、概述水平、辨析水平、串联水平、领悟水平、研究水平.这6个水平相互关联,是一个“螺旋式上升”的过程.同时,这6个不断进阶的水平也与个体CPFS结构发展的过程相一致,当学生的数学阅读能力处于第一、二水平时,相当于表层阅读,也就是学生在原有认知结构的基础上形成新的认知结构,那么新的个体CPFS结构初步形成;当学生的数学阅读能力处于第三、四水平时,相当于深层阅读的第一层次,也就是学生在初步形成的认知结构的基础上逐渐完善认知结构,那么初步形成的个体CPFS结构得到完善;当学生的数学阅读能力处于第五、六水平时,相当于深层阅读的第二层次,也就是学生在趋于完善的认知结构的基础上形成最终的认知结构,那么新的个体CPFS结构最终形成.

杨红萍、喻平认为个体CPFS结构与数学阅读成绩之间有密切联系[8].通过阅读相关文献,发现个体CPFS结构完善与否直接影响学生数学阅读的效果.学生拥有良好的个体CPFS结构,在数学阅读时将会取得较好的阅读效果.而在此过程中学生的阅读能力水平将不断从低层次水平向高层次水平过渡,这也有利于提高学生数学思维的发展,增强学生学习数学的自信心.反之,如果学生个体CPFS结构不完善,那么就会取得较差的效果.因此,教师在进行教学时,应当注重培养学生数学知识与思想方法的体系,使学生形成较为完善的个体CPFS结构,进而提高学生的数学阅读能力.

3 基于CPFS结构理论下“理解题目”的案例分析

为了更好地理解和体现基于CPFS结构理论来探讨“理解题目”这一步骤,笔者以2022年一道三角函数高考题为例,说明如何基于CPFS结构理论来探讨“理解题目”这一步骤,以期引起教师重视这一步骤的教学,从而提升学生的数学阅读能力.通过对这个案例详尽的描述和分析,从中提出通过探索解题前的“理解题目”来提高学生数学阅读能力的方法,以期帮助学生更好地解题.

例1记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).

1)若A=2B,求C;

2)证明:2a2=b2+c2.

(2022年全国数学高考乙卷文科试题第17题)

4.1 基于相关提示语,表层阅读与深层阅读相结合

结合以上分析,我们不妨深入研究,设计以下问题组,助力学生基于相关提示语、表层阅读与深层阅读相结合的教学.

题组1基于“表层阅读”与“深层阅读”.

1)这是一个什么问题?已知数据是什么?

2)条件是什么?求证什么?哪些是关键点?

3)条件是否足以确定未知量?是否需要借助直观图辅助求解?

分析首先,确定范围:通过审题初步发现,这是一道有关三角函数的求解证明题.其次,明确条件和要求:题目中的已给条件是△ABC的内角A,B,C的对应边分别为a,b,c,且sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),第1)小题已知条件是A=2B,需要求解的目标是角C的大小和证明2a2=b2+c2成立,第1)小题的关键是找出三角形中3个内角之间的关系,借助A=2B对已知条件sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)进行化简,从而确定另一组关于角的等式;第2)小题的关键是找出三角形三边的关系,对已知条件sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)进行化简,从而确定三边的关系.接着,可以将数学符号转化为图形(草图),如图3所示.另外,通过审题发现,条件1是一组直接关于角的等式A=2B,条件2是一组“变形”的关于角的等式sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),想要借助这两个条件确定角C的大小,是不够的.因此,需要再找一组关于角的等式,3个变量、3个方程即可确定角的大小.最后,结合前3步提取个体头脑中的数学相关知识.

图3

4.2 基于CPFS结构理论,构建题目的概念系

例1与三角函数有关,根据人教A版《普通高中教科书·数学》(必修第一册)中与三角函数有关的概念与命题、思想方法进行归纳整理,可以形成基于CPFS结构理论的三角函数知识结构.基于此,可以将三角函数所涉及的相关知识点赋予符号代称,形成三角函数的概念系(如图4).根据《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》对此部分教学内容的要求,可以明确学生在学习三角函数相关知识之前,已经具备一定的认知基础,而且,这部分知识也为人教A版《普通高中教科书·数学》(必修第二册)第6.4节中“解三角形的相关知识”做铺垫,为解决一些实际问题提供了条件.

图4

基于该理论,构建题目的概念系,其实就是一个对题目进行补充、选择的过程.基于此,教师可以设计以下问题组,帮助学生构建有关三角函数的概念系.

题组2构建三角函数的概念系.

1)在三角形中共有几个未知量,要想求出角C的大小,需要几个方程?

2)在三角形中求角的大小,我们应当注意什么?

3)针对条件2“sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)”,可以借助条件1“A=2B”进行化简吗?

4)在化简条件2时,需要用到什么知识点?

5)针对条件2还可以借助其他知识点进行化简吗?

分析首先,学生通过问题1)可以想到题目中共有3个未知量,因此想求出角C的大小,需要3个方程;其次,根据问题2)可以想到3个角之和为180°,即A+B+C=π,此时,学生就找到了3个方程;接着,问题3)和问题4)的目的是用学生已有的知识点对等式进行化简,借助条件1,等式可以化简为sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),那么接下来根据已知条件,再借助两个角的正弦值相等,即可推断出两角相等或两角互补,根据已知进行判断,然后联立3个方程即可求出角C;最后,问题5)是进一步拓展,可以引导学生进一步思考,培养学生的发散思维,尽可能多地帮助学生提取头脑中已有的知识结构.

4.3 基于CPFS结构理论,构建题目的方法体系

数学命题是CPFS结构的另一个出发点,是由典型问题引发出来的命题域中的一个.学生可以在自己原有的认知结构中提取迁移已有的知识、思想和方法.这个提取迁移的过程实则就是个体认知结构不断完善的过程,这不仅有利于精准审题、顺利挖掘隐含的数学信息,而且也有利于解题的顺利进行.根据以上分析可以形成解三角形的方法结构图(如图5).

图5

基于该理论,构建题目的方法体系其实就是对题目进行综合的过程.基于此,教师可以设计以下问题组,帮助学生构建有关解三角形的方法体系.

题组3构建解三角形的方法体系.

1)在三角形中,求证2a2=b2+c2这样的等式,你之前见过吗?

2)求证2a2=b2+c2,我们应该用什么方法?

3)题目中给出的三角形是直角三角形吗?

4)解任意三角形应当借助什么知识点?

5)题目中哪个已知条件出现了3条边或3个角的等量关系?

6)观察已知条件有什么结构特征?如何将已知条件向求证目标转化?

分析首先,学生通过问题1)和问题2),可以回忆出在三角形中求证边之间的关系应当利用解三角形的方法;其次,根据问题3)和问题4),学生可以进一步缩小范围,确定求任意三角形的边长关系可以借助正弦定理、余弦定理;接着,根据问题5),学生会发现条件2出现了3个角之间的关系,还可以根据题意,画出草图协助解题;最后,根据问题6),学生通过观察条件2,发现等式内出现sin(A-B),sin(C-A),要想出现3条边的关系应当出现3个内角A,B,C的关系.

4.4 基于CPFS结构理论,助力“理解题目”达成目标

基于以上分析,学生可以基于个体CPFS结构对原题目进行推测、分析、补充、选择,最终顺利完成“理解题目”这一阶段.笔者将这道题的审题分析过程,整理成图6.

图6

通过设计以上3个题组,教师提出引导性的问题,帮助学生有目的地进行“理解题目”,设置的问题层层递进,符合学生认知发展的规律,有利于培养学生良好的数学阅读习惯.题组1需要学生对题目给出的文本信息进行阅读,理解文字叙述,通过第一步表层阅读,可以锻炼学生认读和概述的阅读水平;题组2和题组3不仅需要学生分离主要部分,弄清细节,通过明确条件和要求进一步锻炼学生辨析、串联的阅读水平,而且需要学生对文本语言进行转化或化简,可以将例1中的数学符号转化为数学图形;最后,结合以上分析提取个体头脑中的相关知识,通过深层阅读锻炼学生领悟、研究的阅读水平.在这样一个“理解题目”的过程中,学生的阅读能力不仅会呈现“阶梯式”进步,而且个体头脑中的CPFS结构也会越来越趋于完善.

5 结语

训练学生理解题目的能力不仅是对他们数学阅读能力的培养,而且也是对个体CPFS结构的发展和完善.那么在课堂教学中,教师如何在解题前的“理解题目”这一阶段,提升学生数学阅读的能力呢?通过以上分析,可以得出以下几点建议:

第一,表层阅读与深层阅读相结合,助力学生理解题目.在数学学习中,数学解题是一种重要的学习方式,如果学生可以抓住“题目”这种现有的“阅读材料”,重视对题目的阅读和分析,不仅可以有效利用已有的学习资源,而且可以帮助学生养成良好的审题习惯.教师在培养学生“理解题目”的过程中,逐渐做到“润物细无声”的教育.

第二,有效教学与自发学习相统一,有效开展“理解题目”的教学,使学生重视“理解题目”这一阶段.在审题教学中,教师应当设置层层递进的问题,引导学生深度思考、挖掘题目中的关键点和隐含信息,充分激活个体CPFS结构,久而久之,学生自然会养成良好的审题习惯,在学习和解题时就会自发注重审题,充分利用现有的阅读材料.

第三,夯实学科基础与完善个体CPFS结构相促进.教师应当注重基础概念、命题的讲解,完善学生个体CPFS结构.在教学中,教师应当从多角度揭示概念的内涵,深层次讲解命题,抓住数学的本质,注重突出概念、命题之间的联系,这样才有利于帮助学生形成较为完善的个体CPFS结构,促进学生的学习与解题.