基于数学理解 透视学生问题 引领教学实践——从一道尺规作图题的检测分析说起

黄贤明, 周 炼

(1.高新区景山实验初级中学校,江苏 苏州 215129;2.泰州第二中学附属初中,江苏 泰州 225399)

1 问题提出

例1在一次八年级的校级阶段性测试中,笔者设计了如下问题:

如图1,按下列要求完成尺规作图(保留作图痕迹,不写作法).

图1

1)在边AC上找一点P,使得点P到边AB,BC的距离相等;

2)在边BC上找一点Q,使得点Q到点A,B的距离相等.

此题考查的是苏科版《义务教育教科书·数学》(八年级上册)中“轴对称图形”一章的内容,其设计目的在于考查学生能否运用角平分线和线段垂直平分线的性质进行推理,在准确理解题意的基础上利用尺规绘制出目标图形,属于基础知识与基本能力的考查.此题满分4分,具体评分标准如表1所示.经检测,此题的难度为0.41,区分度为0.11,平均分为1.65分,得分率为41.27%.这样的数据与测试前的预估得分水平差异较大,甚至个别班级还出现了0.77分的平均分,这引发了笔者对尺规作图教学的审视与反思.

表1 试题的评分标准

《义务教育数学课程标准(2011年版)》中对于尺规作图的要求是:了解作图的道理,保留作图的痕迹,不要求写出作法.《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下统称《新课标》)中将尺规作图的要求修订为“经历尺规作图的过程,……理解尺规作图的基本原理与方法”.由此可见,《新课标》更注重学生对尺规作图原理与方法的理解,因此,教师的教学自然也应从“教作图”向“促理解”转变.

2 基于数学理解对尺规作图水平的分析

2.1 数学理解的内涵

理解是教育最本质的追求.自20世纪90年代以来,指向理解的教学得到了国际社会的普遍认同.在数学教育领域,数学理解一直都是研究者关注的焦点,也是国际数学教育研究的重要主题之一.数学理解是指学生经历了对数学知识的探究活动,获得了对其本质及知识外延的认识,形成数学知识网络,并能够随时提取与之相关的数学知识用来解决数学问题[1].《新课标》将“理解”视为行为动词,表述为“描述对象的由来、内涵和特征,阐述此对象与相关对象之间的区别和联系”,这与数学理解的内涵有相通之处,说明以数学理解的视角研究初中数学教学是合理且符合教育改革趋势的.

2.2 数学理解的水平划分

由于学生的个体差异性及教师不同的教学方法,对于同一个数学对象而言,不同学生所获得的数学理解水平应当是不尽相同的.数学理解是一个动态、连续、螺旋式、综合化发展的过程.顾泠沅等在两次大样本调查中,初步确定了数学理解水平的基本框架,徐彦辉通过进一步的调查研究确定了数学理解水平划分,即记忆性理解水平、解释性理解水平和探究性理解水平,并提出探究性理解水平是数学教育的目标追求[2].李春雷等在先前研究的基础上,经过文献的梳理与概括,提出了数学理解水平的新框架.框架中将数学理解水平划分为认知维度和情感维度,其中认知维度包括工具性理解、关系性理解、创造性理解三大水平层次,情感维度包括文化性理解水平层次[3].具体认知维度的数学理解水平内涵如表2所示.

表2 数学理解的水平划分及其内涵

2.3 尺规作图的数学理解水平划分

尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规,在有限次数的前提下,解决平面几何的作图问题.尺规作图是古希腊数学探究的重要课题,也是欧式平面几何中的核心内容.尺规作图的特点有3个:1)操作性强,便于学生的简单模仿;2)逻辑性强,需要学生理解作图原理与方法;3)灵活多样,同一问题可能会有多种绘图方法,并具有培养学生动手操作能力、提升几何直观水平、发展逻辑推理能力等教育价值.由此看来,尺规作图本身蕴含了丰富的知识技能与素养水平,与数学理解的水平划分极为适配.笔者结合学生的试题作答情况,在李春雷提出的数学理解水平框架的基础上,增添了“未达到理解的水平”,并得出以下5种有关尺规作图的数学理解水平.

水平1未达到理解的水平.处于此水平的学生几乎不知道尺规作图的含义,不了解尺规作图的原理与方法,不会使用尺规进行作图,一般表现为不作图,或在脑海中有模糊的作图轮廓,能够大致临摹出图形的一些要素而随意乱作.例如,答题区域要么空白,要么只标出两个点,很难发现尺规作图的痕迹.有学生依稀记得角平分线和垂直平分线的大致样貌,能画出形如“×”的图案,体现出了一条直线连接两个交点的大致特征,但明显是徒手绘制的,有弄虚作假之嫌(如图2).

图2 图3

水平2工具性理解水平.处于此水平的学生凭借死记硬背与机械模仿能作出一些不符合题意的图形,虽然初步了解了尺规作图的原理与方法,但未形成作图逻辑,无法准确理解作图要求.在本案例中,学生虽然能够用尺规绘制角平分线或垂直平分线,但并未真正理解、掌握其性质,导致绘制出的图形与目标图形差异较大,甚至有学生认为到边AB与BC的距离相等的点在线段AC的垂直平分线上(如图3),这显然混淆了角平分线与垂直平分线的性质.

水平3关系性理解水平.处于此水平的学生基本掌握了尺规作图的原理与方法,形成了关于尺规作图的知识逻辑结构,能够正确概括并理解题目中的作图要求,并规范地作出目标图形.例如,学生能够用尺规画出线段AB的垂直平分线和∠ABC的平分线,并准确标出点P,Q.

水平4创造性理解水平.处于此水平的学生是基于关系性理解水平,更为深刻地掌握尺规作图的原理与方法,并能进一步探索出知识关联性更强的创新作法.例如,学生能依据等腰三角形的“三线合一”性质作线段垂直平分线(如图4),则认为其达到了创造性理解水平.受限于此题的问题设置,很少有学生探索创新型画法,故此题暂不研究该水平的达成.

图4

水平5文化性理解水平.处于此水平的学生获得了对尺规作图背后所蕴含的数学文化的认识,能够简述尺规作图的数学史发展脉络、感受尺规作图的美学意蕴、感悟尺规作图的人文价值.在此题的问题设置中,文化性理解也未曾体现,故此题暂不研究该水平的达成.

3 基于数学理解对学生问题的分析

以下将例1中两道小题的作答情况各划分为了5种错误类型,并统计了每种错误类型的具体人数与占总人数比(如表3).从表格中可以发现,能准确使用尺规作图的学生人数与完全不会使用尺规作图的学生人数相当,并且在两道小题中都占到了40%左右.由此可见,处于未达到理解的水平与关系性理解水平的学生基数最大,那么剩下约20%的学生都处于工具性理解水平,而且主要错因是认为在边AC,BC上找点就等价于画这两条线段的垂直平分线.经数据分析发现,学生整体对尺规作图的数学理解水平不高,大多停留于水平2及以下,反映出学生对于问题的抽象理解能力不强,未形成尺规作图的知识体系,知识碎片化、解题机械化现象严重等教学问题.

表3 学生试题回答情况

4 教学启示

4.1 注重四基:由未达到理解的水平向理解的水平迈进

法国教育家拉伯雷指出,没有经过理解的知识等于灵魂的废物.这揭示了指向理解的教学是教育的应有之义.但“冰冷”的数据反映了一个不争的事实——40%以上的学生对尺规作图未达到理解的水平,与《新课标》所提出“理解尺规作图原理与方法”的要求相差甚远,也反映了学生的“四基”水平较为薄弱.处于未达到理解水平的部分学生学习习惯较差、学习兴趣不强、学习态度不端正、缺乏一定的自主性.面对这类学生,教师要注重个别辅导,培养学生主动运用尺规作图的意愿,形成整洁规范的作图习惯,并通过适当的练习,帮助学生获得对尺规作图的初步认识,促进学生逐渐形成对尺规作图的工具性理解.另外,也有一部分处于未达到理解水平的学生虽然学习态度端正,但受限于自身的认知水平与经验基础,仅形成了对尺规作图的模糊记忆,知道尺规作图的大致“样子”,却未真正习得尺规作图的方法.面对这类学生,教师应在教学中向其展示尺规作图的规范过程,耐心地敦促学生模仿与实践,引导他们大胆说出自己的作图依据、表达自己的见解,之后教师再及时给予积极正向的评价与反馈,以实践操作促进学生形成对尺规作图方法的工具性理解.

4.2 追源溯理:从工具性理解过渡为关系性理解

工具性理解水平仅回答了“尺规作图是什么、怎么做”的问题.在实际检测中,有20%的学生明明会作角平分线和垂直平分线,但由于曲解题意错画了边或角,最终导致完全失分.这反映了仅处于工具性理解水平仍不足以解决尺规作图问题,学生应该在“会作图”的基础上理解作图原理与方法,形成尺规作图的知识体系,知其然又知其所以然.因此,对于尺规作图的教学,教师应改变教学理念,深入研究尺规作图的数学内涵与本质,选择合适的素材与情境,促进学生在几何直观中自然生成尺规作图的方法,在逻辑推理下形成对尺规作图原理的理解,并在系统总结中构建尺规作图的知识体系,推进工具性理解向关系性理解的过渡.以角平分线的尺规作图教学为例,该内容安排在判定全等三角形的条件(边边边)之后,是“边边边”判定全等的基本应用.教师可以创设“用角尺平分一个角”的生活情境,启发学生以数学的眼光和数学的语言来解释生活中的数学现象,阐明角平分线作图的基本原理,初步勾勒出角平分线的作图学理脉络.在回顾尺规的功能后,紧接着以合作交流或自主探索的方式让学生想象图形全貌、构思作图过程、设计作图路径,并将实操与构想进行比较,辨析所作图形与作图原理是否一致,最后自主概括并表达作图方法(如图5).

图5

当学生经历了由原理出发生成作图方法的探究思路,构建了原理与方法的内在联结,促进学生在理解作图原理的基础上生成作图方法,在作图方法的实践中感悟作图原理,最终便能达到“知法明理、法理交融”的境界,由工具性理解进阶为关系性理解,实现“会作图”向“理解作图”转变.

总之,教师在教学时不能把尺规作图看成独立的单元,应建立大概念将尺规作图与所对应的几何内容进行知识的联结.正如例1的第1)小题,学生倘若未掌握角平分线的性质,不能将问题转化为“作∠ABC的平分线,并交AC于点P”,就不能想象出大致的绘图结果,从而产生了“在AC上找一点P就是画线段AC的垂直平分线”的错误认识(如图3).因此,在学生理解尺规作图的原理与方法的基础上,教师可以通过思维导图、知识框架等形式帮助学生整体构建尺规作图知识逻辑体系,形成解决尺规作图问题的基本思路,最终实现关系性理解水平的达成.

4.3 价值引领:以教学渗透创新性与文化性理解

在传统教学中,尺规作图往往被视为一项技能,很多教师认为只需讲授作图方法,学生再加以操作、训练即可达成教学目标,这将导致学生在尺规作图的学习中灵活性不强、创新性不够的教学弊端.虽然在本次检测中,有40%左右的学生能得到满分,已经达到了关系性理解的水平,但随着《新课标》关于尺规作图相关内容的修订,其考查水平正逐步提高.在2022年的数学中考中,尺规作图因内核简约、内涵丰富的特征而受到各省市中考命题者的青睐.据不完全统计,有一部分地区甚至将尺规作图作为中考试卷最后一题的最后一小题以考查学生的综合素养水平.这些中考试题不仅仅围绕尺规作图的方法与技能进行考查,其更关注以尺规作图为中心的数学知识逻辑的构建与延伸,具有探究性、灵活性、综合性等特点.因此,可以得出结论:尺规作图的考查在当今教学改革下已不再停留于关系性理解水平,有向创新性、文化性理解水平发展的趋势[4].因此,在教学实践中,教师可以设计开展尺规作图的综合实践活动,引领学生构建尺规作图的知识逻辑,让学生以整体性、体系化的视角思考尺规作图问题.例如,教师可以设计如下问题.

问题1已知线段MN,请你用圆规和无刻度的直尺作一个以MN为直角边的等腰Rt△MNP.

问题2已知线段MN,请你用圆规和无刻度的直尺作一个以MN为斜边的等腰Rt△MNQ.

问题3已知扇形OAB,请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点O为圆心的圆弧,使扇形的面积被这条圆弧平分.

在3个问题的依次呈现与解决中,教师应鼓励学生开拓思路,联想等腰直角三角形的性质、扇形面积公式等知识;在数学运算、逻辑推理、几何直观等核心素养的引领下,构想绘图全貌、构思作图思路、创新作图方法,获得问题解决的基本思路;并在总结回顾中形成对尺规作图的基本原理与方法的新认识、新感悟,在搭建思维支架、知识环环相扣、学生自主尝试中完成这一系列的问题.再如,教师可以围绕锈规(只能画出定长半径的圆规)作图问题开展综合实践活动,思考锈规与圆规的异同,探索用锈规能否替代圆规解决先前的尺规作图问题,学生经历探究思考与动手实践,形成锈规作图的新方法与新思路,并以严谨的数学语言加以说明.然后展示我国数学家张景中、侯晓荣等人的锈规作图研究成果,感悟锈规作图中的思想方法之美.

最后,教师也不应忽视尺规作图的文化育人价值.在尺规作图问题的思考中,引导学生感悟作图背后蕴涵的转化思想与数形结合思想;在尺规作图的绘制过程中,提升学生动手操作能力的同时,进一步引导学生感受尺规作图的简洁美、奇异美、精确美、严谨美,感悟先贤的独特智慧,彰显尺规作图的文化价值[5].因此,尺规作图不应局限于知识本身,更应以一种开放、多元的视角,让学生在尺规作图的教学活动中发展数学关键能力、培养数学思想方法、涵养数学精神品质,促进学生文化性理解的形成与发展,最终促使学生对知识的数学理解向发展数学核心素养转化.