点评 互评 赏评——采用多元评价主体的数学文化写作案例分析

陈文阳

(广东省广州市华侨外国语学校 510095)

《义务教育数学课程标准(2022年版)》(下称《课标2022》)指出“数学承载着思想和文化”“是表达和交流的语言”[1]1,“欣赏数学美,提高学习数学的兴趣”是课程目标之一[1]11．近年来,笔者在初中教学中积极开展数学文化写作活动,使学生感受数学的文化价值,提高学生学习数学的兴趣以及数学交流素养．评价是数学文化写作的必要环节,但实践中发现,单一主体的教师评价在调动学生的写作积极性,提高学生的写作能力,促进师生之间、生生之间、家长和学生之间的数学交流等方面效果不佳．于是,笔者采用多元评价主体的方式对数学文化写作进行评价,以增强数学写作活动的实效,构建班级、家庭数学学习新生态．下面以九年级数学文化写作活动“平分太极图”为例,从教师点评、学生互评、家长赏评三个方面分析多元评价主体在数学文化写作评价中的积极作用．

1 数学文化写作活动设计

数学文化写作指学生从数学文化的视角探究数学知识、数学思想和方法的应用,把所思、所悟以书面形式表达出来,展现数学的应用价值和人文价值．本文中的数学文化写作活动包含三个环节:一是数学欣赏,即欣赏与数学相关的传统文化;二是数学写作,即结合数学欣赏的内容开展写作;三是作品评价,包含教师点评、学生互评和家长赏评．以下是数学文化写作活动“平分太极图”的具体设计．

1.1 数学欣赏

中国著名的“太极图”(图1),是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案,俗称“阴阳鱼”．实际上,它是把一个圆分成阴(黑)阳(白)两部分,因而具有“阴”和“阳”对立统一的深刻含义．太极是中国古代的哲学术语,意为派生万物的本源,该词最早出现在《易传·系辞上》中．它后来发展成中国民族图案所特有的“美”的结构,如“喜相逢”“鸾凤和鸣”“龙凤呈祥”等都是这种以一上一下、一正一反的形式组成生动优美的吉祥图案,在民间极受喜爱．如图2,太极图形在现代建筑(南海明珠岛)中展现了一种互相转化又相对统一的形式美、和谐美．

图1 图2 图3

太极图的画法是:如图3,在一个大圆内以其半径为直径,作两个相外切且都内切于大圆的小圆,然后擦掉虚线所示的两个半圆,就画成了一个太极图．太极图是一个中心对称图形,面对着这个神奇的图案,试想:我们能够引一条直线把太极图上阴阳两个部分的面积都平分吗?[2]

1.2 数学写作

写作要求:(1)请画出一个如图1所示的太极图;(2)作一条直线把图1中所画的太极图上阴阳两个部分的面积都平分;(3)说明(2)中的作图步骤和原理,用数学的眼光观察太极图,谈谈你的理解和体会;(4)文章题目自拟,内容有新意．

1.3 作品评价

学生互评 同学们好!大家都认真思考并解决了“平分太极图”问题,写出了自己的理解和感悟,老师也对大家的作品进行了评价．请同学们阅读老师推荐的优秀作品,并在“互评本”上对你最喜爱的作品进行评价．

家长赏评 家长,您好!孩子通过阅读文献,了解太极图的奥秘,欣赏太极图的数学之美,学习了太极图的作图,探究了用一条直线平分太极图上阴阳两个部分的面积的作法及其原理,学会了用数学的眼光观察太极图,并书写了个人的理解和体会．请您阅读和欣赏孩子的作品,并给予书面评价,感谢您的参与!

1.4 活动实施

教师印制数学欣赏和数学文化写作纸,以周末作业的形式在任教班级布置以上写作活动．学生完成写作后,教师对全班作品逐份批阅,并在教室的宣传栏和家长微信群展示优秀作品．学生利用课余时间阅读同学的作品,然后在班级“写作互评本”上对最喜爱的作品进行评价．同时,学生将自己的作品带回家,给家长阅读,与家长交流,请家长对作品给出书面评价．

2 作品节选以及教师点评

2.1 作品1——太极图中的数学思想

这是学生甲的作品．如图4,与直径CD夹角为45°的直线AB平分太极图上阴阳两个部分的面积,理由如下:

图4

作图步骤:先作直径CD的垂直平分线EF,再作平分CD和EF的夹角的直线AB,则直线AB为所求．

毕达哥拉斯说,在一切平面图形中,圆是最美的图形．古人诚不欺我也!从一个在数学作业中“悲情挣扎”的学生的角度而言,圆简直是太美了!转化的思想在圆中被展现得淋漓尽致．如本题中,我们就能把求面积的问题转化为对半径、角度的探究．太极图是多个圆的组合排列,因此具有对称美与曲线美,并有一种动态的美感．我想这也是圆经常被用于图标设计的原因吧．或许,下次的写作主题可以设计成用一条直线平分校徽(图5)的绿色部分(图5中左右对称的2块类似叶片形状的深色区域)．

图5

教师点评 作品图文并茂,语言风趣,令人赏心悦目．能清楚地说明作图步骤以及作图的原理,能分析转化思想在解决问题中的运用．通过写作,感悟了太极图中所蕴含的对称美,并能联想到平分校徽的绿色部分,开拓思维,富有创意．若能对平分校徽图案有进一步的探讨,将带给读者更多的启发．

2.2 作品2——对称中的数学美

想要平分太极图,我们就要先了解太极图．如图6,两个小圆内切于大圆,两个小圆也外切,我们有以下结论:大圆与小圆的两个内切点、两个小圆的外切点、两个小圆的圆心五点共线;①与②、③与④、⑤与⑥成中心对称．可推出①+③+⑤与②+④+⑥成中心对称,即太极图上阴阳两个部分成中心对称,因此过对称中心且平分一个部分的直线也必平分另一个部分．

图6 图7

如图7,设两个小圆与大圆内切于A,B两点,大圆圆心O是两小圆的外切点．作OC⊥AB交⊙O的左侧于点C,则OC平分半圆ACB,即S扇形OAC=S扇形OBC．设平分阴阳两个部分的直线为OD,则S①+S扇形OAC-S扇形OCD=S扇形OBC+S扇形OCD-S②,可得2S扇形OCD=S①+S②．因为S①=S②,所以S扇形OCD=S①=S②．

因此,我们只需要在弧AC上作点D,使∠COD=45°,那么直线OD将同时平分太极图上阴阳两个部分．

生活中处处有数学美,太极图就蕴含了对称中的数学美,愿每个人都能有一双善于发现数学美的眼睛!

教师点评 “太极图的阴阳两个部分成中心对称”的推导直观明了,发现的结论“平分阴部分的直线也必平分阳部分”是作图的关键原理．能利用圆的对称性转化图形面积,探究所求直线需满足的条件,并从中感悟到太极图中的对称美,很棒!若文章对问题解决中所用的主要知识与方法加以归纳,作品将更完美．

2.3 作品3——太极图的秘密

我们都知道,太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案,它向我们展现了一种对称的美．有没有一条可以把太极图上阴阳两个部分的面积都平分的直线呢?答案是肯定的．

图8

其实,要想平分太极图并不难．我们面对这个问题时,应有整体思想,可将大圆的面积看作1,再根据已知条件找到部分(扇形)和整体(大圆)之间的关系,便能轻松得出答案．这就是太极图的秘密．

教师点评 文章语言简洁,推理思路清晰,所得结论“所求直线必经过圆心”是作图的重要依据．灵活运用整体思想,使得解决问题的思路简单明了,让人轻易理解作图方法．若文章开头增加对太极图的对称性的分析,文末拓展介绍整体思想在其他数学问题中的迁移运用,内容会更为丰富．

3 多元评价主体作用分析

《课标2022》指出,评价方式应具有多元化的特征,包括评价形式的多元化、评价维度的多元化及评价主体的多元化[1]89-90．多元评价主体是指由教师、学生、家长等根据评价内容以不同的结构形式联结而成的,对学生学习后的基础知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验以及情感、态度与价值观各方面获得发展进行价值判断的有机整体．在数学文化写作评价中,发挥多元评价主体的作用,有利于激发学生的学习兴趣和写作动力,促进师生之间、生生之间、家长和学生之间的交流,促使教、学、评有机衔接,形成育人合力．

3.1 教师点评,关注亮点,给予激励和指导

教师是数学文化写作活动的设计者与实施者,最为清楚评价的目的和要求．相对其他评价主体而言,教师具有更为专业的评价知识与理论,能够客观、科学地评价学生的写作．

首先,教师点评要关注学生作品的亮点．评价中,教师要善于发现学生写作中的“闪光点”,留下欣赏性的评语．例如,对于作品1,教师指出其版面设计和语言表达优美,肯定学生对转化思想的灵活运用,赞赏学生结合生活实际、发散思维、联想到平分校徽图案的创意;对于作品2,教师认同学生证明太极图中心对称性的严谨推理,肯定学生发现“平分阴部分的直线也必平分阳部分”的重要性,表扬学生发现了对称中的数学美;对于作品3,教师赞扬学生能用简洁的数学语言进行推理,对学生在解决问题过程中能灵活运用整体思想给予赞赏．

其次,教师点评要注意对写作策略的指导．教师要客观指出学生作品需要改进之处,提出合理的修改建议,帮助学生提高写作技巧．如指导学生学会对数学思想方法进行总结与反思、拓展与延伸等,使文章的思想得到升华．

教师点评是师生交流的渠道,是鼓励和指导学生写作的有效方式．不管肯定优点还是指出不足,教师都应让学生感受到教师对自己的认可和帮助,让学生因有老师的赏识而更加自信,更加喜欢数学文化写作．

3.2 学生互评,引导欣赏,促进交流和学习

学生互评有助于学生倾听与理解他人的思路,提高数学交流与表达的能力．本次写作活动中,要求学生阅读和评价同学的作品,引导学生相互欣赏、相互学习,营造了良好的班级学习氛围．例如,对于作品1,学生有如下评价:

学生1我最为欣赏的就是甲同学的作品．首先,她介绍了作图的原理和步骤,很好地运用圆的有关知识分析和解决了问题．接着,她以毕达哥拉斯的名言引出对圆和太极图的评论,用风趣幽默的语言将自己的思想表露无遗．最后,她举一反三,提出“如何用一条直线平分校徽绿色部分的面积”,拉近了数学与生活的距离．对比她的写作,我感受到了差距,意识到自己对数学图形的理解不够．我要向她学习,特别要学习她那有趣的语言和理性的思考．

学生2在满墙的数学作文中,最吸引眼球的就是甲同学的作品了．从整体上看,排版清晰,图文并茂,赏心悦目;从内容上看,甲同学详细地分析了自己平分太极图的思路,解题方法简洁,易于理解;从表达上看,她能引用名言,且语言风趣,使一篇看似枯燥的文章变得十分生动．她的文章充分体现了优秀传统文化以及数学文化对我们生活的影响,这一点我要向她学习．

学生3群星荟萃中,甲同学的作品无疑是十分亮眼的．总的来说,使之脱颖而出的是工整的字迹与精美的图画,这能吸引读者认真阅读文章的内容;读后发现,作品并非徒有其表,其文字内容也十分丰富且条理清晰,可谓是“漂亮的皮囊”与“有趣的灵魂”并存．甲同学这种图文并茂的展示让人叹为观止,值得我们学习．

学生互评为他们提供了数学交流的平台,使学生在交流中学会分析、鉴赏,相互取长补短,不断提高数学写作水平．案例中,学生认真阅读并理解甲同学的作图步骤及其数学原理,发现和欣赏甲同学作品的优点,如优美的版面设计、生动的文字语言、严谨的逻辑推理、新颖的数学问题等．同时,学生能从甲同学的作品中得到启发,获得改进写作的方法．

3.3 家长赏评,增进了解,激发情怀和期待

家长赏评是校内评价的延伸与互补,是家长助力校内教学的重要途径,主要体现在以下四个方面．

第一,能增进家长对孩子学习的了解．比如,有家长这样评价:“在评价之前,我让孩子给我复述了她的解题思路,发现她确实有认真思考题目中的问题,也充分理解了老师的意图,值得表扬．希望能继续打开思路,多角度、多方法深入探索,发现数学的奇妙,发现数学的美!”也有家长这样评价:“通过孩子的作品,我重温了这幅起源于华夏上古时期的太极图,并去思考这道题的解法．然后,发现自己不会做,哈哈……所幸,孩子通过自己的努力,把作图的思路表述得清晰明了．于是,我看懂了平分太极图上阴阳两个部分的面积的直线的画法．非常同意孩子最后的总结,即合理运用多方面知识,积极思考,层层推理,才能最终找到答案．”以上案例中,家长阅读了孩子的作品,与孩子深度交流,能发现孩子勤于思考的精神、巧妙解题的智慧和富有逻辑性的表达,会用欣赏的眼光看待孩子的学习,将激起孩子善于感悟、乐于表达的写作热情．

第二,能激起家长对孩子数学学习的期待．比如,有家长这样评价:“孩子从貌似很不规则的太极图中找到简单的平分方法,核心依据是小圆的一半等于大圆的八分之一,整个推断逻辑严密,环环相扣,体现了较高的数学素养．从数学方面看,这篇文章对于一个中学生来讲是难能可贵的,但对于孩子我还是想从其他方面找一些不足,以利于孩子以后的成长．一是太极图可以加一些色彩渲染,线条可采用虚实线表示,可视性会更好,也更加形象;二是文字书写要工整一些．总之,希望孩子再接再厉,发扬长处,努力弥补不足,一步一个脚印地前进．”以上案例中,家长对孩子的数学写作提出了合理的建议,同时也对孩子提出殷切的期待,能促进孩子养成积极进取的学习态度．

第三,能引发家长参与数学学习的互动．比如,有家长这样评价:“孩子能利用整体思想分析和解决问题,值得表扬．但推理过程缺少必要的数据支持,解答需要逻辑清晰,让别人更容易看懂,可以按如下作答．

图9

以上案例中,家长在肯定孩子积极思考的同时,也提出了中肯的写作建议,并主动向孩子分享了自己的解法,这将促进孩子更勤于思考、更热爱数学．

第四,能激发家长的数学情怀．家长对孩子数学文化写作的评价过程,是一个欣赏与反思的过程,能在家长的心中掀起数学情感的波澜．比如,有家长这样评价:“我常跟女儿提到,我们现在 学到的数学知识是人类经过几千年的探索和积累而获得的,因此对于数学知识我们要多几分尊敬和热爱．今日抽空看了女儿有关‘平分太极图’的文章,颇有几番感受,用一首诗来表达我的感 受吧——

在你我之间,隔着多少粒子?

就像五指和星辰之间,隔着多少位数字．

在涟漪和指纹之间,有多少的相似和相离?

就像两人的轨迹,有多少的同行和背驰．

一个方程是否有解?在虚与实之间让人无所适从．

如果每一次选择是不同的结局,搜寻一个函数就可能耗尽一生．”

以上案例中,学生的作品勾起了家长对数学的深情思考,家长通过创作诗歌的形式表达了自己对数学的理解,能启发孩子发现数学的真、善、美,提高孩子学习数学的热情．

与其他评价不同,家长在对孩子数学文化写作的评价过程中经历了对数学文化的欣赏、对数学知识的回顾与思考,能激起家长对数学的重新认识,促进了亲子交流,有助于发挥家长在学生成长中的作用,构建和谐的家庭数学学习生态．

4 结语

基于欣赏的数学文化写作活动,能促进学生了解优秀传统文化、体验数学的文化价值,让数学变得生动、有趣和有用．数学文化写作评价是写作活动的必要环节.教师点评,目的是激发学生的写作热情、提高学生的写作能力;学生互评,目的是促进学生之间的数学交流,营造良好的班级学习生态;家长赏评,目的是增进家长与学生的了解,引起家长对孩子数学素养发展的更多关注,发挥家长的学习助力．可见,多元评价主体能从不同的角度促进数学文化写作活动的高效开展,构建新型数学学习共同体．