高中数学函数问题中有效回避分类讨论的若干策略
2023-10-17林俊杰
林俊杰
摘 要:分类讨论是常见且重要的一种解题策略,它较好地体现了对“能力”的考查,备受命题者的关注,但分类讨论需做到不重不漏,这就对思维的严谨性提出了较高的要求,学生常常会因为考虑不全面而导致解题失误。从优化解题过程、提高解题效率的角度来思考,有些问题可简化或避免分类讨论。文章结合例题,探析在高中数学函数问题中避免分类讨论的若干策略。
关键词:高中数学;分类讨论;函数问题
分类讨论是高中数学中必须掌握的数学思想之一,掌握分类讨论的思想方法有利于培养学生全面严谨的数学思维能力,并能够有逻辑地分析、解决问题。然而,这种数学思想方法对学生来说,难度非常大,掌握情况并不理想。具体表现在:没有分类讨论的意识,不知道分类讨论的标准及讨论的内容。大多数分类讨论的问题都与参数有关,其实质是“化整为零,各个击破”,而事实上,并非所有含参数的问题都一定要分类讨论,如果能够优化解题思路,选择更好的解题策略,消除引起讨论的因素,就能够有效避免分类讨论,从而达到简化解题过程的目的,摆脱大量而烦琐的讨论,减少出错机会。下面结合具体实例谈谈有效避免分类讨论的几个策略。
一、挖掘隐含条件有效避免讨论
有些数学题目中会有一些隐含条件,如果稍加留意,充分挖掘,就能避免复杂的分类讨论,从而简化解答过程。
有些问题直接分类求解,费时费力,如果能充分挖掘条件中的隐含信息,从特殊入手,压缩参数范围,往往能减少分类讨论,甚至回避分类讨论。本题原来应从n≤1,m<1 二、进行等价转化有效避免讨论 在解答有些问题时,有时可以将题目中的条件进行合理变形或等价转化,结合一定的运算技巧就可避免分类讨论。 例2 设函数f(x)=lgx,若0f(b),求ab的取值范围。 对一些含绝对值号的问题,要常常利用公式、性质进行合理计算,将其等价转化为不需要分类讨论的问题加以解决。本题先通过观察题意得出函数的值域,再借用等价转化及不等式的性质脱去绝对值号,避免了分类讨论,最后运用对数的运算公式,把复杂的分类计算简化成对数值中真数的取值范围求解,过程简洁明了,计算亦化繁为简。 三、利用函数性质有效避免讨论 函数的奇偶性与单调性是函数的两个重要性质,在解决含参数的函数问题时,若能够适当加以运用,则能有效避免分类讨论。 例3 设定义在R上的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,若f(1-t) 对抽象函数问题,常见的解题是类比所熟知的函数,根据所熟知函数的函数性质(代数性质或几何性质)寻找解题思路,简化运算过程。本题通过运用偶函数的性质,直接将自变量1-t和t的范围对应到题目条件中的区间[0,+∞)内,避免了将自变量进行分类讨论,再由题设中已知区间的单调性直接比较大小,大大简化了解题的过程。 四、消除参数隐患有效避免讨论 在含参数的问题中,参数往往是引起分类讨论的根源,但若能通过某些手段,消除参数,则能有效避免分类讨论。 例4 已知a>0,a≠1,求关于x的不等式loga(1-x)>loga(1+x)的解集。 在有些含参数的代数式的大小比较中,其结果往往与参数无关,因此用适当的方法消去参数是避免对参数讨论的最佳思路。本题直接解决时要从底数a的范围和脱去绝对值两方面进行较烦琐的分类讨论,可若依据对数运算的换底公式,通过作商比较即可将作为参数的底数a消去,这就避免了对a是否大于1的分类讨论,且将两边的绝对值均看作整体去作平方,又避开了脱去绝对值号时的讨论,大幅提高了解题效率,使解答过程简便顺畅,提高解题的正确率。 五、巧用数形结合有效避免讨论 利用数形结合直观形象的特点,适当构造函数,画出相关图形,改变观察和思考问题的角度,能够使问题由抽象变得直观。 例5 当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2 此题若只看解析式,由于参数a在对数函数的底数部分,大部分人都会想要将a进行分类讨论求解,但不等号左边是一个二次函数,而在自变量区间内再讨论两个函数值域的范围就过于烦琐。若设f1(x)=(x-1)2,f2(x)=logax,先画出f1(x)的图象,要使当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2 图象是函数的另一种表示形式,涉及函数、不等式和方程等问题时,如果能构造出函數图象,利用几何图形的直观性探究出数形关系,往往能开拓新的解题思路。本题结合图象可以一目了然地了解两个函数值的分布和大小情况,巧妙地将数量关系与空间图形结合起来,由图象直接得到a的大致范围,避免了分类讨论,也能通过图象直接找到符合条件的函数值范围,便于由图列出不等式。正确作出图象,抓住图象的主要特征是减少分类的突破口,借此可避免陷入烦琐的讨论或复杂运算,大幅提高了解题效率。 六、利用正难则反的原则有效避免讨论 当给出的问题从正面直接解决比较复杂,所讨论的方面比较多时,就可以考虑从它的反面,即对立面进行考虑,最后再取其补集。 例6 给出两个命题,命题甲:关于x的不等式x2+(a-1)x+a2≤0的解集为;命题乙:函数f(x)=(2a2-a)x为增函数。若甲、乙中至少有一个是真命题,求实数a的取值范围。 命题甲为真时:Δ=(a-1)2-4a2<0?a>或a<-1;命题乙为真时:2a2-a>1?a>1或a<-。本题若从正面角度求解,需分三种情况讨论:甲真乙假、乙真甲假、甲乙都真,则需要将每种情况的解集分别求出,再取并集;但是如果从它的反面角度考虑,则只需要求解一種情况,就是甲乙都假即可。甲为假命题时a的解集为 有些问题涉及“至少”“不能”等,若从正面求解则需要复杂的分类讨论,此时可从问题的反面入手,往往情形较少,甚至其反面可能只有一种情形而不需要分类。本题若从正面分类情况较多,而其反面却只有一种情况,故可以调整思考角度用补集法从反面入手,去考虑问题的对立面,即从结论的反面去思考和探索,得出反面结论,再结合集合的性质A∪CUA=U得到正确答案,这样可以避免讨论,将题目化难为易,化繁为简,开拓解题思路。 对一个具体问题,是否需要讨论,如何避免分类讨论,没有固定的解题模式,应具体问题具体分析,要根据题目所给的条件及要求去确定。通过对问题的分析,打开等价转化的通道,让参数与主元分离,让问题的形式改变,并且尽量揭示问题的本质与内涵,联想有关公式与结论,结合定义、性质和直观图形,这样才能创造性地解决问题。求简,是数学解题的最高境界,而避免分类讨论,是对解题者综合能力的挑战,只有接受挑战,勇于创新,学生才能获得更好的发展。 参考文献: [1]关峰. 见招拆招,避免分类讨论[J]. 理科考试研究,2018,25(17):21-22. [2]张魁. 例谈回避分类讨论的六大策略[J]. 数学教学通讯,2020(12):85-86. [3]胡艺. 化繁为简 辨证高效——谈数学解题过程中简化和避免分类讨论的方法[J]. 中学教研(数学),2018(04):32-35. [4]毛妨妨. 解题中回避分类讨论的若干方法[J]. 高中数学教与学,2015(21):12-13. (责任编辑:淳 洁)