第4届欧洲物理奥林匹克竞赛实验试题1的介绍与解答

杨明轩,王 槿,宋 峰

(1.北京大学 物理学院,北京 100871; 2.南京师范大学附属中学,江苏 南京 210003;3.南开大学 a.物理科学学院;b.基础物理国家级实验教学示范中心(南开大学),天津 300071)

第4届欧洲物理奥林匹克竞赛(European Physics Olympiad,EuPhO)于2020年7月20日至26日在线上举办,53个国家和地区的260名选手参加了比赛. 实验试题为隐藏的电荷(Hidden charge)和黑盒子(Black box)[1]. 隐藏的电荷试题通过测量一系列电子的初动能和入射、出射位置,计算待测电荷的位置和电量,可应用于理论力学、原子物理等教学与实验. 本文主要介绍了隐藏的电荷的命题、虚拟实验考试流程和解答,并结合物理背景知识和实际应用分析了命题背景和参赛学生的答题情况.

1 试 题

1.1 实验原理

如图1所示,点电荷Q(电量Q未知)固定在空间某处,远方平行于z轴射入的电子,受此电荷静电散射后打到观测屏上.虚拟实验中,可以改变电子束的初始动能和初始位置坐标(xi,yi),并测量电子撞击到垂直于z轴的平面屏幕上的最终坐标(xf,yf).将屏幕处的位置定为z=0,利用卢瑟福散射公式:

图1 实验原理图1[1]

(1)

其中,b是碰撞系数(也称为瞄准距离),E是电子的能量,电子电量q=-1.602×10-19C,k=8.99×109N·m2/C2,θ是散射角(电子在接近靶时的初速度和远离靶后的末速度之间的夹角).瞄准距离定义为:假设电子不受靶影响而直线前进时电子到靶的最近距离.

1.2 仿真软件说明

仿真程序可以设置不同的加速电压和初始发射坐标(xi,yi),测量电子出现在屏幕的位置.其中加速电压为U,取值范围为1～10 000,xi和yi单位为cm,取值范围为-20～20.在相应的提示后,通过键盘依次输入加速电压U、初始发射坐标xi和yi后,程序界面出现“Electron beam fired with parameters(x,y,U) =”及输入参量值,通过按Enter键确认所输入的数值,程序运行后给出探测到的电子位置. 如果电子的位置超出屏幕的范围,会提示“Electron not detected…”.

1.3 实验任务

尽可能精确地确定固定的点电荷Q的正负、大小和位置(xQ,yQ,zQ),并估算这些结果的不确定度,其中xQ和yQ的数值与不确定度求解共4分,Q与zQ的数值与不确定度求解共计6分.出射线的初始位置的高斯误差为0.5 mm.

注意事项:所有实验都要清楚列出有表题的数据表、有图题的作图和足够的公式推导,以此说明测量什么和如何导出结果.

2 试题解答

2.1 预实验:确定U的取值范围

任取入射点,比如(0,0),跨数量级改变加速电压的大小,记录能否在屏幕上找到出射电子以及出射点位置(x1,y1).分别取U=10 000.0,1 000.0,100.0,10.0 V,将出射点位置记录在表1内.发现U=10.0 V时出射电子超出屏幕范围,补测U=20.0 V和U=50.0 V的数据.表中“-”表示电子未被探测到.

表1 确定U的大致范围实验数据

从表1中可以发现,加速电压为10 000.0 V或1 000.0 V时,出射点与入射点过于接近;加速电压为10.0 V时,出射电子超出屏幕范围;加速电压在20.0～100.0 V范围内,出射点与入射点的距离在适合测量的范围内. 在本实验中,合理的加速电压范围可以初步确定为10.0～100.0 V数量级内.

2.2 求解xQ和yQ

电子入射后受到点电荷的库仑力,如果把2个粒子间的力想象成1条线,这条线会扫出1个面,以直线投影在观测屏上.利用入射点、出射点和点电荷Q三者的位置在xy平面上的投影三点共线进行测量.首先任取一入射点,例如(0,0),只改变加速电压的大小,记录屏幕上探测到的电子位置(x1,y1).这些位置近似分布在经过(xQ,yQ)的直线上.改变入射点,作出另一条直线.这2条直线会相交,交点为(xQ,yQ).为了减小误差,另一个点应当与(0,0)有足够远的距离,如(0,10).记录入射点坐标为(0,10)时的出射点位置(x2,y2).

为了估计误差,引入第3个入射点,并作出相应的直线.此点要与前2个点相距足够远,如(0,-10).记录入射点坐标为(0,-10)时的出射点位置(x3,y3).测得的数据如表2所示.多次测量时,表2中的数据会在误差范围内变化,后面的所有实验数据记录也存在误差项.

表2 求解xQ和yQ的实验数据

绘制改变入射点得到的出射点位置,如图2所示. 通过2条直线的交点位置得到xQ=5.4 cm,yQ=-2.5 cm,ΔxQ=ΔyQ=0.2 cm.由于测量误差,3条直线不会严格交于一点.把3条直线两两相交的交点之间的距离视为出射点位置的误差.

图2 改变入射点屏幕上探测到的电子位置

2.3 求解点电荷Q的大小和位置zQ并进行误差分析

由电子的运动轨迹图和散射公式可以作很多种近似,因此有多种获取Q和zQ的方法.设适当的参量,根据题目所给公式和图中参量间的几何关系,探究不同的解法.下面给出的5种解法中,方法1～3参考欧赛官方网站[1]上提供的解题思路作答,方法4～5为新的方法.

2.3.1 方法1:固定散射角θ

图3 实验原理图2[1]

dcosθ=zsinθ+b,

(2)

固定Ub=100 V·cm,同时改变U和b,选定不同入射点,记录入射电压U和出射点,并计算b和d.实验数据如表3所示.作d-b关系图,如图4所示.拟合得到直线的斜率K=1.50,截距c=10.0 cm,估算不确定度ΔK=0.10,Δc=0.5 cm.θ=48.2°,z=8.9 cm,|Q|=99 pC,Δz=0.7 cm,ΔQ=10 pC.

表3 方法1实验数据

图4 固定散射角的d-b关系图

2.3.2 方法2:保持b固定且值较小

如图3所示,δ=d-b,θ较大时,ztanθ≈δ.根据正切的二倍角公式

(3)

将式(1)代入式(3),得到

(4)

(5)

为了便于测量截距,将式(5)稍作变形,使斜率为负、截距为正,得到

(6)

表4 方法2实验数据

图5 固定b的关系图

2.3.3 方法3:只得到z与Q的乘积

(7)

固定b=5.0 cm,改变U,记录入射电压U和出射点(x1,y1),并计算δ.测得的数据记录如表5所示.做δ-U-1关系图,如图6所示.可以求出拟合直线的斜率K=1.9 m/V,估算不确定度ΔK=0.2 m/V.计算得到|zQ|=10.6 pC·m,Δ(zQ)=1.1 pC·m.

表5 方法3实验数据

图6 固定b的δ-U-1关系图

2.3.4 方法4:采用双曲线轨迹方程,固定散射角θ

粒子受库仑力作用,其运动轨迹为双曲线的1支,且轨迹与屏幕的交点P离渐近线有一定距离.如图7所示,重画题目给出的原理图,作出电子轨迹的渐近线,设2条渐近线的交点为O,以QO为Y′轴,垂直QO并斜向右上为X′轴,建立X′OY′系.过Q点,以水平向右为X轴,竖直向上为Y轴,建立XQY系.根据式(1)和图7中参量间的几何关系,推导P点位置的相关公式.

图7 实验原理图3

在X′OY′系中,电子的轨迹方程为

(8)

(9)

将式(9)代入式(8),化简可得

(10)

对于屏幕上的P点,Y=d,X=z.代入式(10),并固定散射角θ进行线性化,得到

(11)

固定Ub=100 V·cm,同时改变U和b,选定不同入射点(x0,y0),记录入射电压U、 出射点(x1,y1),并计算b和d.实验数据如表6所示.

表6 方法4实验数据

图8 固定偏转角的关系图

2.3.5 方法5:采用双曲线轨迹方程,综合改变b和U

将式(1)代入式(11),可以得到:

(12)

(13)

分组固定U,改变b和入射点(x0,y0),测量出射点(x1,y1),并计算b和d.其中,选择3组d随b变化较大的电压U,即20,40,60 V,在每个电压下,b在4～10 cm间每隔2 cm等距设置1组.实验数据如表7所示.作d2s2-s关系图,如图9所示.线性拟合得到斜率K=-0.611 V-1,截距c=6.86 V-2·m-2,不确定度ΔK=0.016 V-1,Δc=0.12 V-2·m-2.所以有z=11.7 cm,Q=84.9 pC,Δz=0.3 cm,ΔQ=1.0 pC.

表7 方法5实验数据

图9 d2s2-s关系图

3 讨论与分析

3.1 实验结果分析

对于部分国际物理奥林匹克竞赛(IPHO),比赛的评分细则可以分为解题方法阐述、数据测量、作图、数据拟合、实验结果5部分. 此次欧赛由于开放灵活,方法较多,其评分标准相对复杂.

试题分2部分,满分为4分的第一部分难度较低,第二部分满分6分,其评分标准分为3个模块,分别为数据采集的科学性和规范性1分、实验方法的选取2.5分和实验结果的准确度2.5分.

第二部分实验中,z的真值为11.5 cm,Q为负值,|Q|的真值为86 pC. 按照评分细则,实验结果的满分要求z的测量值要位于11～12 cm之间,|Q|的测量值要位于70～100 pC之间. 对比方法1,2,4,5的结果,可以看出,方法4和5的测量值与真值相当接近,并且其不确定度相对较小. 方法1和2具有较大的误差.

欧赛评分细则对于不确定度评定有明确要求,即不确定度评定要兼顾系统误差与随机误差,并清晰反映图像处理和数学计算中的内容. 本实验中的误差主要来源于以下5个方面:a.出射线的初始位置的高斯误差0.5 mm;b.屏幕像素分辨率1 mm;c.切线近似;d.对于最终轨迹与渐近线的近似;e.渐近线与屏幕交点的近似. 其中,前2个方面属于随机误差,后面3个属于系统误差.z和Q的测量值位于真值的2倍不确定度范围内可获得满分. 按照这一标准,方法1中,Q的不确定度符合要求,z由于系统误差偏大而不符合要求;方法2中,z和Q二者的不确定度估计均不符合要求;方法4和方法5中,z和Q的不确定度估计均符合要求.

表8 固定Ub的系统误差理论值

由表8中数据可以发现,如果将方法1和方法2中的系统误差减小到随机误差量级,则b的值需要减小到2 cm以下,但是此时d的随机误差会大大增加,导致无法输出有效结果. 对b<2 cm有代表性的入射状态为U=50 V,固定b=1.5 cm,重复测量10次出射点位置,并计算相应的d,实验结果如表9所示.

表9 估算d随机误差的实验数据

从表9中可以看出,d的随机误差在1 cm数量级,影响测量.

方法3没有得到最终的z和Q.按照评分标准,使用方法3最多只能获得1.5分,该项满分要求|zQ|位于9.9～10.1 pC·m之间.不确定度满分要求|zQ|的真值位于测量值的2倍不确定度范围内.按照这一标准,方法3的不确定度估计符合要求,但测量值不符合该方法的满分要求.这是由于方法3本身要求θ值较小,从而导致d具有较大的相对误差,进而导致测量值具有很大的误差.

3.2 实验命题背景简介与分析

如果用卢瑟福的核式结构模型考虑α粒子的散射[2],那么原子核与粒子之间的库仑力可写为

(14)

其中,Z1和Z2分别表示原子核和α粒子的电荷数,ε0为真空介电常量,e为电子电荷,r为α粒子与原子核之间的距离.对于α粒子,Z2=2.

考虑到金属原子核的质量远大于α粒子的质量,近似认为原子核固定不动,由于α粒子受到平方反比斥力,故其轨迹为双曲线,初末两端渐近线的夹角为

(15)

利用式(15),可以推导出卢瑟福散射公式的另一种形式,即微分散射截面公式

(16)

其中,dσ为散射截面,dΩ为立体角元.式(16)的物理意义为:单位面积内垂直入射1个粒子时,被该面积内1个靶原子散射到θ角附近单位立体角内的概率.

考虑到电子和原子核的精确位置难以测量,同时原子核和电子的热运动都会对测量精度造成进一步的影响,实际实验中利用式(17)而非式(16)测量大角度处的电子数量分布,进而验证了核式原子结构模型.dσ与单位时间内所记录到的粒子总数有关,可以借助统计平均来减小实验的测量误差.目前实验教学中,卢瑟福散射实验可以利用步进电机调节观测的散射角,并利用探测器和数据采集卡获取数据,可以较快得到足量数据进行验证.在角度较大时,卢瑟福散射公式与数据吻合程度较好[3-4].也可以以虚拟方式进行实验[5],但形式有很大区别.卢瑟福散射实验提供了一种物质结构分析的方法及材料分析的手段.

竞赛虚拟实验中采用了电子散射,即1903年德国科学家勒纳(P.Lenard)等采用的实验方案. 历史上,采用α粒子而非电子散射,主要是受到实验条件的限制,天然放射性元素中的α粒子高于在当时实验条件下能够获得的加速的电子动能,从而满足轨道概念近似[6]. 虚拟实验并没有从实际实验中采用的模型出发,而是将式(16)中的物理模型简化为式(1),基于此简化模型,考察了学生实验设计、数据分析与表达、误差分析等方面的能力. 实验设计上,需要进行预实验,进而优化实验方案,选择合理的初始参量,以控制变量进行多组实验. 实验数据处理上,需要熟悉列表法、作图法、最小二乘法拟合曲线等.

试题1对学生的实验设计能力和不确定分析的基础知识提出了很高要求. 合理设置测量方案,根据已知公式进行合理近似才能顺利进行实验. 本文中提出的方法4和方法5,利用了严格的数学关系和坐标变换,准确度较高,同时由于放弃了部分理论近似,提高了难度.

本题解法的多样性对实验教学具有一定的借鉴意义. 在解题过程中,学生既可以通过合理近似简化计算过程,也可以通过完善理论推导减小误差. 这不仅避免了解法的单一化和同质化,而且在实践过程中综合考查了学生对基本原理、误差分析等的理解,一举多得. 在分析试题的基础上,可以设置合理的引导,从而进一步完善探究层次,将其改为综合实验.

进行虚拟实验教学时,也可以进行类比和讨论,使学生明晰实际实验和虚拟实验的区别,认识虚拟实验的局限性. 例如,本题2.3.1中采用固定散射角的方法,得到的散射角度为48.2°,恰好位于45°～150°较为合理的实验参量区间,对于小角度入射的情况虚拟实验中并未做限制,而实验中会出现较大误差[5]. 本试题中的虚拟实验设计非常开放,网站上也提供了程序编写使用的源代码[1],基于此可以和实际实验方案结合,进一步开发、拓展实验.

3.3 参赛学生答题情况

260名参赛学生的答题情况:总平均分4.27分(满分10分),29.6%的选手得分超过6分. 有52名选手得分在2分及以下,得分在2～4分、4～6分、6～8分的学生人数均在60～70人之间,还有8名选手得分超过8分. 该实验不仅考查了传统的选择参量、数据计算等环节,还考查了基于误差理论合理进行实验方案的设计,选择合理的测量方案以获取结果和减小误差的能力,更是在各环节都强调了“数形结合”和空间想象的能力. 本实验中,一部分选手因为设计不出实验方案导致部分参量无法测量,从而失去分数;教多的选手失分来自测量数据的不完整性、结果的获取和不确定度的处理.

4 总结与展望

欧洲物理奥林匹克竞赛摒弃了以往物理奥林匹克竞赛中题量大的特点,题目简约而不简单,更加注重物理分析和物理思维,以及物理知识掌握和应用能力. “隐藏的电荷”虚拟实验也可用于理论力学、原子物理等理论课程的教学中. 虚拟实验强调了利用误差理论来指导实验方案设计的重要性. 在实验程序开发上,其提供的源代码为虚拟实验设计提供了参考,例如使用mt19937伪随机数算法进行实验误差设计.

目前,南开大学基础物理实验中心已经采用多项奥赛虚拟仿真实验用于基础物理实验教学. 根据2022年秋季学期针对物理伯苓班的欧赛虚拟实验教学反馈,较多学生认为欧赛具有新颖性,对实验设计能力和误差理论的灵活应用的挑战较高,与目前的基础物理实验教学内容能够形成较好的互补,其后续的教学效果和相关研究等依然有较大的研究空间.