分数阶Maxwell纳米流体二阶滑移流动与热传递分析

2023-10-11许晓勤陈淑梅

福建工程学院学报 2023年4期

许晓勤, 陈淑梅

(1. 福建船政交通职业学院汽车学院,福建福州 350007;2. 福州大学机械工程及自动化学院,福建福州 350116)

热系统的传热性能不仅影响产品的生产率,还影响生产成本。研究者们探寻各种创新方法提高热系统的传热性能,如采用多孔介质提高热系统的冷却效率,提出“纳米流体”新型导热介质等。多孔介质是包含许多孔隙的固体基质,如陶瓷(如碳化硅、氧化锆和硅酸盐)、金属泡沫、多孔吸附材料(如活性炭、碳纳米管)和多孔塑料(如聚氨酯、聚丙烯、聚酰胺)等,由于其传热面积大、传热性能好被广泛用于各种传热系统中,已是公认的提高热系统冷却效率的方法之一[1]。 “纳米流体”的概念由Choi和Eastman[2]首次提出,其导热系数比水、油、乙二醇溶液等传统工作介质高,可满足高温系统的冷却要求。“纳米流体”是通过在基础传热流体中添加金属纳米颗粒进行制备,采用的基液通常是粘弹性流体[3]。

大多数粘弹性流体流动会产生壁面滑移,特别是非线性滑移。粘弹性纳米流体的研究过程通常采用整数阶模型,或者忽略了滑移边界,从而导致研究数据与实际不吻合。与整数阶动态系统相比,分数阶微分方程可以方便地对复杂系统进行建模,并能准确地定义某些参数的物理意义[4]。其中时间分数阶导数算子可以反映传输过程的记忆特性,而空间分数阶导数算子可以描述流动过程中的非局部特性。为了更准确描述粘弹性流体的流动及其传热特性,本课题引入Caputo时间分数阶导数,同时考虑二阶滑移边界条件,探索分数阶Maxwell纳米流体在多孔介质垂直拉伸板上的流动与热传递。

1 数学模型

考虑多孔介质中二维垂直拉伸板上的非定常分数阶Maxwell纳米流体流动与传热,其物理模型如图1所示。

图1 模型示意图Fig.1 Schematic diagram of the model

在笛卡尔坐标系中,令x轴平行于拉伸板,而y轴垂直于拉伸板。沿x轴和y轴的速度分量分别为u和v。垂直板以uw=ax的速度拉伸,其中a为正常数。拉伸板温度为Tw,无穷远处温度为T∞,纳米流体在拉伸板表面流动时存在壁面滑移现象,且满足对流换热边界条件。在上述假设下,边界层控制方程如下:

(1)

(2)

(3)

式中,Sxy为剪切应力,R为多孔介质中固体基质产生的Darcy阻力,q为热通量。

初始条件和边界条件:

(4)

式中,knf为纳米流体热导率,h为对流换热系数,二阶滑移速度[5]为:

式中,Kn为 Knudsen数,l=min{1/Kn,1},φ(0≤φ≤1)是动量适应系数,λ是分子平均自由程, 0≤l≤1,a1>0,a2>0。

分数阶Maxwell纳米流体剪切应力Sxy本构方程为[6]:

(5)

(6)

式中,Γ(·)为Gamma函数,Darcy阻力R满足改进的分数阶Darcy定律[8]:

(7)

式中,ε、K分别表示多孔介质的孔隙率和渗透率。将公式(5)(6)和(7)代入公式(2)得:

(8)

动力粘度μ,密度ρ和热膨胀系数β表达式如式(9)。

(9)

式中,下标nf,f,p分别表示纳米流体、基液和纳米颗粒,φ是纳米颗粒体积分数。

分数阶Cattaneo热通量模型为[9]:

(10)

式中,λ2为温度松弛时间,γ为温度分数阶导数参数,γ!=Γ(1+γ)。将公式(10)代入公式(3),得能量方程为:

(11)

热导率k和热容(ρCp)表达式为:

(12)

本课题选择的纳米流体可由Cu纳米颗粒均匀分散在粘弹性表面活性剂溶液、十六烷基三甲基氯化铵(CTAC)和水杨酸钠(NaSal)水溶液中制备而成。CTAC/NaSal水溶液和纳米颗粒Cu的热物理特性如表1所示。

引入如下无量纲变量[11]:

H(φ)=

将上述无量纲变量代入边界层控制方程(1)(8)(11),并省略无量纲标志*得:

(13)

(14)

(15)

式中,υf、αf分别为基液的运动粘度和热扩散率,Pr为Prandtl数,Gr为Grashof数,Da为 Darcy数。

相应的初始条件和边界条件为:

(16)

式中,τ=hL/(knfGr1/4) 是对流换热参数,c0=aL,c1=a1υfGr3/4/L2,c2=a2υfGr/L3。

表面摩擦系数和Nusselt数是流体流动与传热研究中两个关键的物理量。分数阶Maxwell模型的平均表面摩擦系数和平均Nusselt数分别满足式(17)(18)。

(17)

(18)

2 数值求解

由于分数阶Maxwell模型中,非线性动量方程(14)含有分数阶混合对流项,求解困难,本课题采用有限差分法,结合L1算法求解非线性边界层控制方程(13)～(15),其边界条件如公式(16)所示。

2.1 离散格式

(19)

式中,αs=(s+1)1-α-s1-α,s=0,1,…,R。

公式(13)～(18)的离散格式详见附录。

2.2 求解过程

计算区域是一个宽为xmax=1,长为ymax=12的矩形,ymax对应于y→∞。当t=0时,从边界方程(31)可得u、v和θ的初始值。在任意时间步长内,先前时间层的变量都当成常数。在i层的每个内部节点,迭代方程构成一个三对角线性方程,可以通过追赶法求解。当u、v和θ在所有网格节点上两个连续时间步长之间的差的绝对值小于10-5时,时间层的迭代停止并达到稳定状态。经过多次测试,最终确定空间和时间步长为Δx=0.05、Δy=0.1和Δt=0.1。如图2所示,所选网格尺寸的数值解是稳定且收敛的。

(Pr=6.85,α=γ=λ1=0.1,ε=0.01,λ2=0.2, c0=c1=c2=0,Da=0.001,τ=50, Gr=10,Re=4,φ=0.06)图2 网格独立性验证Fig.2 Grid size independence verification

为了验证数值结果的准确性,将xmax=1,y=0处-∂θ/∂y的值与之前参考文献中的相似解-θ′(0)进行比较,结果吻合,如表2。注意 ∂θ/∂y=∂θ/∂η因此本研究的结果都乘以

表2 当λ1=λ2=φ=c0=c1=c2=0时,x=1,y=0处-∂θ/∂y的值与相似解-θ′(0)比较Tab.2 Comparison of -∂θ/∂y when x=1,y=0 with -θ′(0) for λ1=λ2=φ=c0=c1=c2=0

3 结果与讨论

根据数值求解结果讨论不同物理参数对流动和热传递的影响,包括分数阶导数参数、松弛时间、滑移参数、多孔介质参数和纳米颗粒体积分数。

3.1 分数阶导数参数对流动和热传递的影响

图3和图4分别体现了速度分数阶导数参数(α)和温度分数阶导数参数(γ)对流动(以速度和平均表面摩擦系数为表征)和热传递(以温度和平均Nusselt数为表征)的影响。由图3(a)可知,初始速度随α的增大而减小,但在远离壁面处速度轮廓曲线出现交叉,体现了粘弹性材料对外力响应的滞后性,动量边界层厚度随α的增大而略微增大。平均表面摩擦系数绝对值随α增大而增大,见图3(c)。当α=0时,Maxwell流体退化为牛顿流体,牛顿流体具有最大的初始速度、最薄的动量边界层厚度及最小的平均表面摩擦系数,因此牛顿流体的流动性能最好。由图3(b)可知,温度及边界层厚度随α的增大而增大,而平均Nusselt数随α的增大而减小,牛顿流体的传热效率最好。这可能是因为粘弹性增加了额外的能量损耗,导致传热效率下降。此外,相邻两条曲线的差值随α的增大而缩小,说明流动和热传递对α的敏感性随α增大而下降。

(Pr=6.85,γ=λ1=0.1,ε=0.01,λ2=0.2, c0=0.5,c1=0.2,c2=0.3,Da=0.001,τ=50,Gr=10,Re=4,φ=0.06)图3 α对流动和热传递的影响Fig.3 Effects of α on flow and heat transfer

(Pr=6.85,α=λ1=0.1,ε=0.01,λ2=0.2, c0=0.5,c1=0.2, c2=0.3,Da=0.001,τ=50,Gr=10,Re=4,φ=0.06)图4 γ对流动和热传递的影响Fig.4 Effects of γ on flow and heat transfer

由图4(a)(b)可知,速度和温度都是γ的增函数,γ对温度的影响大于α(见图3(b)),这是因为γ与热传导直接相关,而α与剪切应力直接相关。由图4(c)可知,平均表面摩擦系数绝对值随γ增大而减小,而平均Nusselt数随γ增大而增大,说明γ会促进对流和传热。注意,平均表面摩擦系数和平均Nusselt数不再取决于图4(a)(b)的速度梯度和温度梯度,而分别为速度梯度和温度梯度的复杂函数,见公式(17)(18)。此外,流动和热传递对γ的敏感性随γ增大而下降。

3.2 松弛时间对流动和热传递的影响

图5和图6分别揭示了速度松弛时间(λ1)和温度松弛时间(λ2)对流动和热传递的影响。对比图3和图5可知,λ1对流动和热传递的影响趋势正好与α相反,但影响程度较小,说明松弛时间变量λ1促进流体流动,增强热传递,但改变λ1数值对结果影响不明显。另外,λ1越大,流动和热传递的变化量越小,说明流动和热传递对λ1变化的灵敏度下降。

(Pr=6.85,α=γ=0.1,ε=0.01,λ2=0.2, c0=0.5,c1=0.2, c2=0.3,Da=0.001,τ=50,Gr=10,Re=4,φ=0.06)图5 λ1对流动和热传递的影响Fig.5 Effects of λ1 on flow and heat transfer

(Pr=6.85,α=γ=λ1=0.1,ε=0.01,c0=0.5,c1=0.2, c2=0.3,Da=0.001,τ=50,Gr=10,Re=4,φ=0.06)图6 λ2对流动和热传递的影响Fig.6 Effects of λ2 on flow and heat transfer

对比图4和图6可知,λ2对流动和热传递的影响趋势正好与γ相反,但影响程度较小,说明松弛时间变量λ2小幅抑制对流和热传递。

3.3 滑移参数对流动和热传递的影响

图7和图8分别揭示了一阶滑移参数(c1)和二阶滑移参数(c2)对流动和热传递的影响。由图7(a)和图8(a)可知,一二阶滑移参数越大,速度初始值越小,这是因为流体在壁面处出现了滑移,使流体速度小于壁面速度。在远离壁面处,速度轮廓曲线出现交叉,动量边界层厚度随滑移参数增大而增大,c1对速度的影响大于c2。由图7(c)和图8(c)可知,c1和c2在开始阶段对平均表面摩擦系数的影响趋势相同,但在t约为6时,对于不同的c2,平均表面摩擦系数曲线出现交叉。说明一阶滑移参数会促进对流,二阶滑移参数刚开始促进对流,但在后期会抑制对流。

(Pr=6.85,α=γ=λ1=0.1,ε=0.01,λ2=0.2,c0=0.5, c2=0.3,Da=0.001,τ=50,Gr=10,Re=4,φ=0.06)图7 c1对流动和热传递的影响Fig.7 Effects of c1 on flow and heat transfer

(Pr=6.85,α=γ=λ1=0.1,ε=0.01,λ2=0.2,c0=0.5, c1=0.2,Da=0.001,τ=50,Gr=10,Re=4,φ=0.06)图8 c2对流动和热传递的影响Fig.8 Effects of c2 on flow and heat transfer

由图7(b)和图8(b)可知,温度随滑移参数的增大而增大,温度受一阶滑移参数的影响更大。在开始阶段,平均Nusselt数随滑移参数的增大而减小,但在t约为6时,对于不同的c2,平均Nusselt数曲线也出现交叉。说明一阶滑移参数会恶化热传递,二阶滑移参数刚开始抑制热传递,但在后期阶段会改善热传递。同样,滑移参数较大时,对流动和热传递的影响程度下降。

3.4 多孔介质对流动和热传递的影响

图9和图10分别给出多孔介质物理参数孔隙率(ε)和Darcy数(Da)对流动和热传递的影响。对比图9和图10可知,孔隙率和Darcy数对流动及热传递的影响趋势正好相反,这是因为孔隙率越大,通道横截面增大,流动阻力越大,不利于流体流动和热传递;而Darcy数正比于渗透率,Da越大,渗透能力越强,减少固体基质引起的Darcy阻力,有利于流体流动和热传递。注意,对于不同的ε和Da,平均表面摩擦系数曲线在后期阶段出现交叉,说明ε在开始阶段抑制对流,而后期反而会促进对流,而Da的影响正好相反。此外,ε和Da数越大,流动和热传递的变化越不明显,说明流动和热传递的敏感性下降。

(Pr=6.85,α=γ=λ1=0.1,λ2=0.2,c0=0.5,c1=0.2, c2=0.3,Da=0.001,τ=50,Gr=10,Re=4,φ=0.06)图9 ε对流动和热传递的影响Fig.9 Effects of ε on flow and heat transfer

(Pr=6.85,α=γ=λ1=0.1,ε=0.01,λ2=0.2,c0=0.5,c1=0.2, c2=0.3,τ=50,Gr=10,Re=4,φ=0.06)图10 Da对流动和热传递的影响Fig.10 Effects of Da on flow and heat transfer

3.5 纳米颗粒体积分数对流动和热传递的影响

图11体现了纳米颗粒体积分数(φ)对流动和热传递的影响。由图11(a)可知,对于不同的φ,速度轮廓曲线出现交叉,速度初始值随φ增大而下降,而动量边界层厚度随φ增大而增大。纯流体(φ=0)的初始速度最大。这是因为纳米颗粒的加入会增大流体粘性,进而降低初始速度。由图11(c)可知,平均表面摩擦系数绝对值刚开始随φ增大而增大,但在t>2时,平均表面摩擦系数绝对值随φ增大而减小,有使流动性能变好的趋势。平均Nusselt数随φ增大而减小,说明纳米颗粒体积分数太大反而会降低热传递。