聚焦边角特征，深化分类思想的内涵——以《三角形分类》为例

文 |吴林燕

【课前思考】

“三角形分类”是北师大版四年级下册的内容，本文通过对分类概念的理解，从大单元整体教学的视角分析分类活动走向分类思想的学习路径，促进课堂的深度构建，发展学生的核心素养。

一、聚焦分类思想，探寻图形本质特征

分类思想是一种基本的数学思想，它是根据一定的标准，对事物进行有序划分和组织的过程。分类，不仅仅指将同类事物归结到一起，还体现了“合理、有序、不重不漏”的思想。郑毓信教授认为，分类能够为相应的抽象提供必要的基础和为如何逐步深入地去开展认识指明可能的途径。它是联系新旧知识的桥梁，是形成数学概念、建构系统的知识体系、进行大单元教学的重要手段。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》中提出，要使学生获得数学分类思想的基本知识。在经历探索图形特征的过程中，建立基本的几何概念，发展空间观念和几何直观。通过分类活动，确定分类标准，在活动经验中优化分类方法，帮助学生学会“用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达世界”。

二、明确单元视角，理清主题任务层次

笔者通过对北师大版教材“认识三角形和四边形”的单元分析，发现教材重在通过“分类”区分三角形和四边形，分类后继续研究三角形和四边形的特征，从而搭建出图形单元的整体框架。“三角形分类”是研究三角形特征的必要准备和基础，从分类开始，研究三角形角的特征、边的特征，再学习三角形的内角和、三边关系，认知序列逐步推进、螺旋上升。在大单元教学中，要通过“分类”这个教学活动串起整个单元的学习，从而理解各类三角形、四边形的特征，打通单元整体脉络，形成结构化的深度联结。

在明确单元目标的前提下，主题设计的关键在于淬炼大概念，转化核心问题，使得学生获得学习科学意义的有效建构，打破原有的教学定势。基于学生本位的视角，笔者尝试建立开放、融通的探索场域进行单元整体设计，从接触概念到明晰分类，从理解特征到抓准性质，串联成有条理、成体系的知识网络，致力于学生数学核心素养能力的培养。

【教学过程】

一、猜谜导入，从兴趣走向思考

师：进入魔法王国的金钥匙就藏在这个图形密码里，想不想试一试？

师：听好了，小小个子三条边，瘦瘦高高三个尖，建筑设计用得广，人人都夸稳定坚！猜猜它是什么图形？

生：三角形！

二、任务驱动，从浅表走向深刻

师：恭喜你们，拿到了通往魔法王国的邀请函。要想得到去魔法王国的船票，就必须将三角形准确分类！想一想，三角形可以按照什么标准来分类呢？

●活动一：认一认，剪一剪

1.呈现认知冲突

生：可以按大小分。分为大三角形、中三角形、小三角形。大三角形有⑥⑦⑧⑨，中三角形有①，小三角形有②③④⑤。

师：你的想法很有意思。其他同学同意他的说法吗？

生：我有不同的想法。（画出一个更大的三角形）这个三角形比你的大三角形更大，所以它叫大大三角形。可以吗？

生：不可以。

2.促进思维进阶

师：为什么不行？

生：大和小都是相对的概念，因为总有更大的三角形。不然就没有办法分完所有的三角形了。

生：这样分就没有明确的标准了。

师：大家都总结得很好。看来按照大小来分类，不行。

●活动二：量一量，说一说

师：那还能怎么分？

生：可以按照形状来分。

生：可以按照长短来分。

师：你们提出了很多有趣的分类方法。但从数学的概念和角度上来看，你觉得还可以怎么分？

生：可以按边分。

师：按边分，根据你的经验，要怎么做？

生：要量一量。

师：行，那就在小组里量一量、说一说。把三角形的每条边都量出来，并写在你的《学习单》上。

学生作品1：

师：你发现了什么？

生：我发现最特殊的是③号和⑤号三角形，三条边都相等。

生：我发现②号和④号三角形分别有两条边相等。

生：其他的三角形三条边都不相等。

师：是啊，数学家也有这样的发现，为了区分，给它们各自取了名字。三条边都相等的三角形叫等边三角形，两条边相等的叫等腰三角形，三条边都不相等的叫不等边三角形，也叫普通三角形。所以按边分，可以怎么分？

学生作品2：按边来分

师：要注意的是，等边三角形是特殊的等腰三角形。你知道它特殊在哪儿吗？

生：等腰三角形需要两条边相等，而等边三角形需要三条边都相等。

师：是的，等边三角形更特殊。用一个图来表示，就是这样。

师：除了这种分类方法，还能怎么分？

生：还能按角来分。

师：联系我们以前学过的知识，我们学过哪些角？

生：直角、锐角、钝角、平角、周角。

师：那按角分，你有什么方法可以快速分类？

生：我们可以直接根据学过的角，把每个三角形都有哪些角写出来，然后再分。

学生作品3：

师：你发现了什么？

生：我发现①号和②号三角形都是1个直角带2个锐角。

生：我也发现了，⑥⑦⑧⑨号三角形都是1个钝角带2个锐角。

师：因为它们都带了2个锐角，所以我们根据第三个角来区分，那你猜猜，第三个角如果是直角的三角形，它会叫什么三角形？

生：直角三角形！

生：那我知道了，像⑥⑦⑧⑨号三角形也有2个锐角，但第三个角是钝角，所以它们是钝角三角形。

师：那剩下的几个三角形，你又能发现什么？

生：剩下③④⑤号三角形，除了那2个锐角，第三个角也是锐角，所以它们就叫锐角三角形。

师：锐角三角形总共会有几个锐角？

生：3个。

师：是的，必须3个角都是锐角，这样的三角形才是锐角三角形。那我们按角分，可以怎么分？

学生作品4：

（学生判断三角形类型教学活动，活动过程略）

师：（追问）如果有2个角是锐角，是不是一定是锐角三角形？

生：不一定。因为如果第三个角是直角，那就是直角三角形;如果第三个角是钝角，就是钝角三角形。只有3个角都是锐角，才是锐角三角形。

师：抓住三角形角的特征就能迅速判断出是哪种三角形。

师：你能用简洁的方法表示三角形的分类结果吗？

学生作品5：

三、关系探寻，从孤立走向联结

●活动三：画一画，说一说

师：三角形悄悄地藏在了信封里，你知道它是哪种三角形吗？

生：第一个三角形有个直角符号，一定是直角三角形。

生：第二个三角形只露出1个锐角，无法确定，如果它有直角，就是直角三角形；如果有钝角，就是钝角三角形，如果3个角都是锐角，就是锐角三角形。

生：第三个三角形有个钝角，因此是钝角三角形。

●活动四：辨一辨，分一分

（学生放完其他图形，却在⑧号和⑪号图形面前犯了愁）

师：为什么台上的同学迟疑了？

生：因为直角三角形和等腰三角形有重复的。

生：⑧号和⑪号图形既是直角三角形，又是等腰三角形，不好放。

师：那该怎么办呢？

生：可以把两个框移近一点，形成交叉，⑧号和⑪号就放在两个框交叉的地方。

学生作品6：

师：⑧号和⑪号为什么放在交叉的地方？

生：因为⑧号和⑪号既是直角三角形，又是等腰三角形，符合两种图形的特征。

师：解释得非常清楚，这样的三角形叫作“等腰直角三角形”。所以，有的三角形不仅角特殊，边也特殊，我们在观察的时候既要关注到角，又要关注到边。

四、变式运用，从习得走向迁移

师：同学们，回顾所学，你都有哪些收获？

生：我学会了三角形的分类。

生：三角形不能按照大小来分类，这种分类方法不科学。

生：三角形可以按照“角”和“边”来分类，不同的分法分出来的结果是不同的。

生：不同的分类方法可以相互关联，要同时关注到三角形的角和边。比如，有的三角形既是直角三角形，又是等腰三角形。

师：是的，“感觉不一定可靠，方法才格外重要”。我们要打破原有的思维定势，用科学的方法来验证猜想。分类方法的提炼是我们需要具备的能力，接下来我们还将带着所思、所想、所获，继续探寻数学的奥妙。四边形的分类就在不远处等着大家，让我们一起期待下次的精彩！