借助“数学画”作品 实施表现性评价——以《鸡兔同笼》为例

文 |陈昱（特级教师） 万荣 栾静

不同于知识技能的显性易测，具有整体性、情境性与反思性的核心素养关乎人的“关键能力”和“必备品格”，需要实施表现性评价。“数学画”是学生思维的表征，具有很强的表现性评价功能。借助“数学画”作品可以实施表现性评价，下面以“鸡兔同笼”教学为例来具体谈一谈。

一、学习目标的确立和具体化

实施表现性评价首先要确立学习目标，而核心素养导向应当是确定学习目标时必须把握的基本原则。参照《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求，我们确定“鸡兔同笼”学习的核心目标为：模型意识和问题解决能力的养成与提升。这样的目标要落实到课堂教学，还需要进一步解析和具体化：

1.能够自主整理“鸡兔同笼”问题，提取信息，明确条件和问题。

2.能够自主探究和解决“鸡兔同笼”问题。

3.交流解决问题的方法，会利用图示、语言等清晰表达自己的想法，倾听和理解同伴的不同想法，体验方法的多样性与趣味性。

4.比较不同方法，发现多样方法背后“假设→验证→调整”的问题解决策略的共通性，初步建立“鸡兔同笼”问题的数学模型，并基于多样比较和自我选择实现方法的优化。

5.能够应用模型解决包括变式的鸡兔同笼问题，能识别无关问题，反思并掌握问题解决的一般过程。

具体化的学习目标是表现性评价的依据，以上具有层级的学习目标也是评价目标。

二、表现性任务的设计和思考

有了表现性目标就可以设计表现性任务，表现性任务是表现性评价的核心要素之一。围绕核心学习目标，我们整体设计单元学习任务（如表1）：分两课时教学，第一课时对应目标1～4设计了三个任务；第二课时对应目标5也设计了三个任务。其中任务四同时也是第一课时的课后作业，在第二课时进行作业展评与反馈；任务六作为综合性和研究性单元作业延伸到课外。如评价目标具有层次性一样，六个任务也是环环相扣、层层递进的，本文聚焦第一课时的三个任务（表中具体呈现）。

表1 “鸡兔同笼”学习任务设计表（人教版四年级下册第九单元）

表现性任务倾向于创设真实的问题情境，学生在问题解决过程中自然呈现处于不同理解水平的真实表现。“鸡兔同笼”虽不是一般意义上的真实问题，却是很经典的古代数学趣题，其思考性、困惑性、可操作性、趣味性都具备，且是很好的建模及问题解决的教学素材。

三、表现性评价的实施和作用

依据评价目标和学习前测，教师首先建立本问题的作品评价框架（如表2）。在教学实践中，作品评价框架主要有两方面用途：课堂上对学生作品迅速分层，及时展评；学习前测、课堂探究和学习后测三者或两两之间进行对比分析。两者都指向学生数学学习的诊断、改进，下面重点分析任务二、三的课堂展评。

表2 “鸡兔同笼”问题探究作品评价框架

1.水平1作品展评：让思考更全面、更灵动

【教学片断1】

出示例题：

笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头；从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只？

师：这里有两幅作品（出示图1、图2），你能看懂吗？

图1

图2

生：第一幅6只兔、2只鸡错了，第二幅也不对。

师：6只鸡、2只兔加起来正好8个头，哪里错了？

生：虽然8个头对了，但是脚数不对，一共有28只脚，实际是26只脚。

师：看来头数、脚数都要满足条件才行。看第二幅，你有什么想说的？

生：第二幅也不对，虽然她的脚数画了26只，但是头数不对，6只兔、1只鸡，才7只。

师：那怎样才能正确解决问题呢？让我们再来看一幅作品（出示图3），请小作者介绍一下。

图3

生：鸡兔一共是8个头，我就把所有情况都列出来，一共有9种可能，然后再算出每一种情况的脚数。最后我发现当兔5只、鸡3只时脚数正好是26只，这就是我找到的答案。

师：观察表格，有什么发现？

生：他的方法特别有条理，按照顺序一个一个算，让我们看得很清楚。

生：我发现了表中的规律，兔的数量越来越少，鸡的数量越来越多，脚数越来越少。

生：我发现每次脚数都会减少2只。

师：什么情况下脚数会减少2只呢？

生：每减少1只兔，增加1只鸡，脚数就减少2只。

师：这是从上往下看的规律，如果从下往上看呢？

生：每增加1只兔，减少1只鸡，脚数就增加2只。

师：非常棒！还有两幅作品，对比一下（出示图4、图5），它们与图3的方法相比有什么相同和不同？

图4

图5

组1：我们认为这三种都是列举法，只是图3列举了所有情况，另外两个只列举了一部分，因为已经找到答案了，不需要都列举。

组2：我们发现图3是用表格，这两个是画图，还有列式。

组3：图5是我们组的作品，我们发现图4虽然也有列算式，但是算式不一样：我们是用除法和减法算的，而他们是用乘法和加法算的。

师：很细致的一个发现，算法不同背后往往是思路不一样，比较一下，两种思路有什么不同？

组4：图4是我们组的作品，假设几只兔子和鸡，然后算脚数；而图5是用脚数来算头数。

师：谁听懂了？

生：他们的意思是，图4是用头数算脚数，用乘法和加法；图5是用脚数算头数，用减法和除法，思路是相反的。

【教学思考】

以上展评分三个层次来推进：（1）发现“鸡兔同笼”问题需要兼顾两个条件，只顾其一就会出错，引导学生思考问题要全面；（2）发现有序列举的所有情况，不但可以通过推算找到答案，还可以发现规律，突出有序思考的优势；（3）对比发现有序列举不用穷举更简便，推算的思路可以不同，相应的推算方法也不同，让学生体会指向问题解决的思考方法的多样性、灵活性。以上交流为后面更高水平作品的展评及更重要的思维进阶做好了铺垫。

2.水平2作品展评：借图说明和理解不同思路

【教学片断2】

师：接下来再看几位同学的想法（出示图6），这个能看懂吗？一开始小作者还画了图，看懂的同学能不能把图画完整？请一位同学说一说每道算式的意思，再请一位同学上台画图说明，争取图式对应。

图6

图7

图8

［教师指2×8=16（只）］

生1：假设8只都是鸡，就有16只脚。

生2画：［教师指26-16=10（只）］

生1：而实际上有26只脚，现在少了10只脚，对不上。

师：说明什么？

生1：说明假设有问题，肯定不能全是鸡，其中有一些应该是兔子。我们可以把一些鸡改成兔子。

生2接着画：

［教师指10÷2=5（只）］

生1：每添2只脚，就改出1只兔子，10只脚就能改出5只兔子，说明兔子有5只。

［教师指8-5=3（只）］

生1：一共8只去掉5只兔就是3只鸡。

师：（出示图9、10）有同学还画了这种方法的图，你能看懂吗？

图9

图10

生3：假设全是兔子，就有8×4=32只脚，比实际26只脚多了6只脚，兔子假设多了，需要将一些兔改成鸡，也就是去掉2只脚，多6只脚就需要改6÷2=3次，这样就有3只鸡，剩下8-3=5只兔子。

师：说得真好！很多同学都是用的假设全是鸡或全是兔的方法。请思路不一样的同学上台展示你的方法！

生4：（出示图11）我也是假设全是兔，但我的方法是———

师：我知道还有一些同学用的方法和思路也是这样的，但是想着想着就乱了，没有成功，有的换了别的方法，有的算错了，说明这种方法可能有一定难度。为了帮助同学们很快明白，我们也可以借助画图来说明。生4，你能边画图边解释算式的意思吗？

生4：假设都是兔子，那26只脚会有几只兔子呢？就用26÷4=6（只）……2（只）。

师：这个可以怎么画图？（引导画图，渐成图12）

图12

生4：剩下2只脚不可能是兔子的，就是鸡的。现在有6只兔子1只鸡，一共是7只，不符合条件。说明兔子多了，我就把1只兔子改成2只鸡。这样，兔子5只，鸡3只，正好8只。

师：你们听懂了吗？真好！下面请假设全是鸡但是与刚才展示过的思路不一样的同学来展示！

生5：（出示图13）假设全是鸡，26只脚就有13只鸡，13-8=5（只），多了5只，不符合。那就把鸡改成兔，2只鸡才能改成1只兔（画图）。

图13

图14

师：大家注意看，这样鸡改成兔每改1次，减少几只动物？（1只）多了5只，需要改几次？（5次）好，请继续！

生5：我这样改了5次，现在是3只鸡、5只兔。

生6：我的算式跟他的一样，但是我的思路不一样。

师：你是什么思路？说慢点。

生6：我用的是抬脚法。假设每只兔子和鸡都抬起一半的脚，地上就剩下26÷2=13只脚，再让它们各抬起1只脚，这样就剩下13-8=5只脚，这个时候鸡在地上没脚了，这5只脚肯定是兔子的，1只兔子地上剩1只脚，所以兔子是5只，鸡就是3只。

师：大家觉得怎么样？

生7：原来同样的算式还有不一样的意思啊！

师：还有不一样的方法和思路吗？

生8：（出示图15）我一开始假设4只鸡、4只兔，对半分。算了一下，24只脚，说明兔子少算1只，所以就调整成3只鸡、5只兔，再算一下，对了！

图15

师：（出示图16）这是谁的作品？好像没有完成？说说你是怎么想的？

图16

生9：我是这样想的，既然鸡兔同笼，那一定既有鸡也有兔，干脆我把鸡兔搭配，每组就是6只脚，26只脚里算一算，有4组鸡兔，这里单位写错了，应该是“组”，还剩下2只脚，是鸡的。

师：有没有问题？

生10：想法很有意思，但得到的结果是5只鸡、4只兔，超过8只啦！

师：他提供了一条不同的思路，能不能接着他的思路想下去？

生11：（出示图17）我刚才用他的思路画了图，很容易就能解决。到他那里，4只鸡、4只兔还剩2只脚，这2只脚绝对不可能是鸡的，因为那样就超过8只了！不能是鸡的，那就是兔的，但是兔子有4只脚，就需要从鸡里拿出2只脚，和剩余的2只脚组成1只兔，这时候是3只鸡、5只兔，正好！

图17

【教学思考】

（1）放手探究则方法多样

教材中“鸡兔同笼”的解法局限于“由头数推算脚数”这一种思路，没有顾及学生的真实学情，甚至限制了学生的思维。事实证明，只要放手让学生自主探究，自然就能出现各种不同的思路和方法，既有“由头数推算脚数”，也有“由脚数推算头数”；既有假设全是鸡，也有假设全是兔，还有假设半鸡半兔、鸡兔配组等……有近四分之一的学生采用不同种方法解决问题，这些方法不是教师“教”给学生的，而是学生自己探究出来的，学生真正成为了学习的主人。

（2）画图辅助则理解晓畅

画图在本课出现了很多次，大体可以分成两种情况：一种是学生自觉使用的，比如画图整理信息，一部分学生解决问题时先画图探究等；还有一种是教师引导使用的，比如本环节画图辅助展评。之所以在展评时引导学生画图，是考虑到“数学画”的直观性特点，图式对应能较好辅助学生理解别人的想法，也能帮助展示的学生说得更清楚，充分发挥了“数学画”作为思维工具和表达工具的优势，有效促进学生数学理解和交流。

3.任务三的全班反馈：对比展评实现思维进阶

【教学片断3】

师：时间关系，第1、2问一起反馈，这些方法有什么异同点？你有什么发现？

组1：我们发现，这些方法各不相同，但都有一个共同点，都是先假设，再通过计算验证，发现有问题再调整，最后得出答案。

（板书：假设→验证→调整）

生：不是所有方法都是假设法，比如列表的方法就不是假设。

组1：列表也可以看成假设，图3就是假设了9种不同情况，通过计算找到符合条件的答案。

组2：我们同意这些方法都用了假设。补充两点，第一，我们发现有的假设全是鸡，有的假设全是兔，还有的假设4只鸡、4只兔，或者假设鸡兔组团，再计算调整，其实可以任意假设，就像列表那样，先假设任意几只鸡、几只兔，再调整，都行，关键是要满足一共8头和26只脚这两个条件；第二，我们还发现，因为有头数和脚数两个条件，所以，假设之后，既可以由头数推算脚数是不是符合，又可以由脚数推算头数是不是符合。

组3：同意组2的发现，我们也发现了关键要同时符合头数和脚数两个条件，可以先假设，要么固定头数推算脚数，要么固定脚数推算头数，不符合就调整。

师：你们发现了不同方法背后都有着相同的解决策略和关键点。那你最喜欢哪一种方法？为什么？

生：我最喜欢图9的方法，因为很容易理解。

生：我最喜欢图13的方法，因为这个很简便。

生：先对半假设，再调整的方法很方便，我最喜欢图15的方法。

生：我最喜欢抬脚法，简直太有趣了！

……

【教学思考】

从课堂作品看，学生原有思维水平多数处于水平2，少数处于水平1，个别处于水平0；通过作品展评和小组讨论，大部分学生达到了水平3，实现了思维进阶和课时学习目标。

学生经历了三个重要过程：（1）建立关联。比较并从不同解法中找到联系，发现相同的问题解决策略，即：假设→验证→调整；（2）见识多元。对比观察，不仅感受到解法特别多样，而且发现同样是假设全是鸡或全是兔，思路也可以截然不同，因为有头数和脚数两个已知条件，所以既可以固定头数推算脚数，也可以固定脚数推算头数——这种现象虽然非常普遍，但是要发现这个规律却并不容易，早在任务一整理信息和水平1的反馈中就已铺垫，至此处发现水到渠成；（3）经历优化。有了自主探究和解决问题，又有了交流不一样的解法和思路，在深入理解之后，学生再结合自己的喜好选择最喜欢的方法，实现有条件的方法优化。之所以说“有条件”是指，首先，这里的“最喜欢”是基于自身特点和广泛借鉴后的一种个性化选择；其次，这个“最喜欢”是基于例题情境的选择，如果以后问题情境有变化，可能选择也会改变。三个统一的过程共同指向：初步建立问题模型，促进思维进阶，提升问题解决能力。

整节课中，任务一、二学生整理信息、探索解法属于表层学习阶段，重在理解；任务三学生比较讨论则进入深层学习阶段，强调联系；到下节课任务四、五模型及其变式的应用反思是迁移学习阶段，将有更高阶的迁移发生。