基于“建构主义学习理论”的教学设计研究——以“直线的点斜式方程”为例

邵 慧

(江西师范大学,江西 南昌 330022)

建构主义提倡让学生有更多的机会去“暴露自己”,即学生有更多表述数学的机会.对不同的观念做出辨析,对相同观念进行类比,从而实现意义赋予.本文以北师大版本必修第一册数学第一章《直线与圆的方程》的第三节中的“直线的点斜式方程”为例,基于学生已有的概念框架,合理预设,促进知识结构的分化、扩展和重组[1].

1 学情分析

1.1 学生起点能力分析

学生在上一节已经学会用代数法来表示直线斜率,这给新的观念——直线的点斜式方程提供了探索的前提条件.就形式而言,点斜式方程只是一个表达式,其运用和推导过程也并不复杂.但是这是解析几何的开端,对以后的数学“文化继承”有着不可估量的作用[2],所以探索直线的点斜式方程的过程就显得非常重要.

1.2 学习行为分析

学生已经有部分推理能力的素养,但其逻辑推理的严密性还有待提高,且存在部分同学自觉性差,计算能力较差,甚至不乐于动手.

2 教学目标

(1)掌握确定一条直线的两要素:点和方向.掌握直线的点斜式,明白斜截式方程和点斜式方程的特殊关系;

(2)充分体验直线的点斜式方程的探索过程,理解直线和方程之间的联系,渗透数形结合等数学思想;

(3)从发展联系的角度看问题,联想直线的斜截式方程与一次函数的关系,理解数学知识之间是相互渗透、相互继承的观点.

3 教学重难点

【教学重点】 直线的点斜式方程.

【教学难点】 直线和方程的对应关系的理解.

4 学习过程

4.1 复习导入

问题1:通过之前的学习,我们知道在平面中确定一条直线需要哪些几何条件吗?

设计意图:温故而知新,学生回忆确定一条直线需要两点或者一个方向和一点即可,从而为求直线的点斜式方程做好铺垫.

问题2:设直线l经过定点P(0,3),斜率为 3,请写出直线l上另一个点的坐标.

设计意图:学生得出的答案可能不尽相同.教师接着引导:同学们能不能将所有的答案进行统一定义呢?即如何写出直线l上所有点的坐标?怎样表示直线上所有的点呢?用数字能表示所有的动点吗?

4.2 小组展示,增兴强思

活动1:小组讨论结束,同学们开始踊跃表达自己的想法吧!

设计意图:给予学生充分的时间思考,让学生表述数学,激发学生对数学的求知欲.学生开始表达自己的处理方法.通过有序实数对的方式,假设直线上的另一点为(x,y),这样就可以定义斜率了.

问题3:同学们已经用斜率k将直线上的任意一点Q(x,y)和已知的点P(0,3)联系起来了,大家现在一起观察这个式子,可以对其进行适当的变形,大家又会有什么不一样的发现吗?

设计意图:布鲁纳说过:“以最近发展区作为教师加入的空间,为学生提供支持,促使学生主动而有效的学习.”根据前面所学得知识,如果x=0,则斜率不存在,此时可得出直线x=0;如果x≠0,学生开始给这个式子变形得出y-3=k(x-0)进而有y-3=kx,也即y=kx+3

4.3 拓展推广,形成概念

问题4:观察y=kx+3,P(0,3),Q(x,y) ,它们之间有什么关系呢?

设计意图:学生发现P(0,3)满足方程y=kx+3.同时,直线上任意一点的坐标Q(x,y)都满足方程y=kx+3.可以验证,满足该方程y=kx+3的解的坐标表达形式的点也在直线上,所以把方程y=kx+3就叫做直线的方程.

4.4 依托特殊,完善猜想

问题5:现在老师继续将这个问题一般化:已知直线l经过点P(x0,y0),且斜率为k,同学们可否利用上述方法求出直线l(图1)的方程呢?

图1 基本直线型

方程y-y0=k(x-x0)称为直线方程的点斜式.

设计意图:在学生原有的知识结构中不断扩充重组,实现“文化继承”的过程.在此环节上,学生经历特殊到一般的思想过程,体验数学思想,得出直线的点斜式方程.

4.5 知识迁移,再探新知

问题6:特殊地,当直线l的斜率不存在(图2)或者k=0时(图3),同学们可以快速写出直线l的方程吗?

图2 竖直直线型 图3 平行直线型

问题7:若直线l(图4)经过点M(0,b)且斜率为k,所以该直线方程l的点斜式为?

图4 一般直线型

设计意图:根据直线的点斜式推导过程进一步探究直线的斜截式.这不仅促进学生已有知识的增长,同时也让学生主动建构了知识结构.

4.6 归纳总结,形成概念

直线的点斜式方程:y-y0=k(x-x0)

直线的斜截式方程:y=kx+b

注:斜率必须存在;一点一斜率.

设计意图:总结出概念,注意细节辨析.

4.7 例题讲解,加深理解

例1 在同一平面直角坐标系中做出以下直线

y=2,y=x+2,y=-x+2,y=3x+2,y=-3x+2

这些直线有什么共同特点?能否用一个方程来表示它们呢?

例2 在同一平面直角坐标系中做出以下直线

y=2x,y=2x+1,y=2x-1,y=2x+4,y=-3x+2

这些直线有什么共同特点?能否用一个方程来表示它们呢?

例3 当取任何实数值时,

(1)直线y=kx+1恒过点

(2)直线y=k(x+1)恒过点.

(3)直线y-2=k(x-4)恒过点

(4)直线y=kx-3k+2恒过点

设计意图:例1为研究方程y=kx+2作铺垫;例2为研究方程y=2x+b作铺垫;例3进一步巩固所学知识.

4.8 归纳小结,能力提升

(1)通过本节课的学习,你掌握了哪些知识?

(2)本节课有哪些数学思想方法?

(3)通过本节课的学习,你对哪些题目有新的认识?

设计意图:课堂小结是教学过程中重要环节之一,前两个问题是对本节课的思维提炼,有助于学生形成良好的认知结构,掌握科学的数学思想方法.问题3主要目的在于培养学生“发展”的能力,是对“直线的点斜式方程”的延续.

5 建构主义学习理论的设计思考

5.1 在数学情境中发展学生的人格素养

好的数学情境不仅能引发学生的思考,而且有利于课堂的进行.本文从学生已有知识经验中挖掘出直线的点斜式的数学情境,不仅有利于学生抓住数学本质,而且可以激发学生的探索求知欲,感悟数学家的猜想发现过程,体验数学的应用价值[3].

5.2 在探究中培养学生的关键能力

在直线的点斜式方程的探索发现过程中,学生通过猜想、类比、归纳等多种合情化手段多角度考虑探索和尝试,类比不是简单的单一模仿,猜想不是只猜不证,让学生深刻融入教学当中,在数学问题的牵引下,感悟数学,扩充重组数学知识结构,从而让学生的思维有进一步的精炼.

5.3 在归纳和小结中培养学生的思维方式

在学习过程中,要让学生学会观察,领悟数学知识背后所蕴含的数学思想方法和思维方式,从而让学生整体掌握数学的概念和定理.通过归纳小结,学生逻辑层次分明,是培养其系统思想的有效途径.

学习其实是一种主动的继承过程,教学设计是数学教学的重头戏,是扩充学生知识结构的重要途径.科学有效地设置数学问题,不仅可以丰富学生已有的知识结构,而且更能使学生的数学思维方式、数学关键能力、人格素养得到更好的发展.