由一道北京大学博雅计划试题谈惯性力的应用

刘玉娟 程志强

(山东省济钢高级中学,山东 济南 250100)

在非惯性系统中牛顿第二定律不适用,观察结果与牛顿第二定律相矛盾,为解决这一矛盾,引入一种假象力——惯性力,引入后牛顿第二定律形式不变,仍然成立,并且给解决问题带来极大方便,本文讨论几种常见的非惯性系统中,如何引入惯性力,并给出解决问题实例分析.

1 惯性力的引入

如图1,有一辆小车内有一光滑的水平桌面,桌面上静止放一个小球,现让小车以加速为a向左做匀加速直线运动,以地面为参考系,小球仍保持静止,因为小球除受重力支持力外,水平方向不受外力,符合牛顿第二定律.但以小车为参考系,小球以加速度a向右做匀加速直线运动,但水平方向并不受外力,这样就与牛顿第二定律产生了矛盾.如何化解这一矛盾呢?我们可以假设小球受到一个大小为ma,方向与小车加速度相反的力,这样对有加速度的小车这样的非惯性参考系牛顿二定律仍然成立.这个力我们称为惯性力,用F*=-ma表示,因此,在匀加速直线运动非惯性参考系中,牛顿二定律可以写成F外+F*=ma相对[1]

图1 匀加速系统中的惯性力示意图

如图2,光滑小球在细线拉力作用下于桌面上作匀速圆周运动.在地面上看,小球在绳子拉力作用下做匀速圆周运动,拉力提供向心力.符合牛顿第二定律.但以圆盘为参考系,小球是静止的,没用加速度,但却受到绳子的拉力,这不符合牛顿第二定律.为了解决这一矛盾,可以设想小球受到一个大小为mω2r,方向沿半径向外的力作用,这样就符合了牛顿第二定律,这个力称为惯性力.因此在匀速转动的圆周运动中,牛顿第二定律可以写成:F外-mω2r=ma相对

图2 匀速圆周运动系统中的惯性力示意图

注意:惯性力只是一个假想的力,它没有施力物体,也没有反作用力,但是能做功.

2 北京大学2017年博雅计划招生试题第4题

长度分别为L1和L2的两根不可伸长的细绳悬挂着质量分别为m1和m2的两个小球,处于静止状态,如图3所示.现在突然给中间小球受到一水平方向的初速度v,求此时两绳中的拉力各是多大?

图3 小球位置示意图

解设:上面绳子拉力为T1,下面绳子拉力为T2,以m1为参考系,m1是非惯性参考系,相对悬点有加速度

2.1 匀加速直线运动的非惯性参考系

(清华大学自主招生题)如图4所示:在光滑的水平面上放置有一质量为M倾角为θ的光滑斜面,其上放一质量为m的物块.现由静止释放物块,在下滑的过程中对斜面压力的大小为多大?物块下滑的加速度多大?

图4 斜面与滑块位置

本问题如果在地面惯性系中列牛顿第二定律,方程会复杂得多,在斜面非惯性系中物体m的运动可以看做沿斜面匀加速直线运动,垂直斜面处于平衡状态,问题变得很简单.

2.2 瞬时惯性参考系

如图5所示:两根轻线悬挂质量m1的物体A.一根线是水平的,另一根线与竖直方向成角α.物体B质量m2用线系在物体A上,求当水平线剪断瞬间物体B的加速度.

图5 AB小球初始位置图

解如图6,设上面的绳子拉力为T1,下面的绳子拉力为T2,A球速度为0,故向心加速度为0,但A有切向加速度a1,A为为非惯性参考系,故引入惯性力m2a1

图6 AB两小球受力图

对m1切向有:(T2+m1g)sinα=m1a1

对m2:m2a1sinα+T2=m2g

以上两式解得:

B实际上只受两个力:

T2-m2g=m2a2

2.3 转动非惯性参考系

如图7,光滑细杆绕竖直轴转动,角速度为ω,细杆与竖直轴夹角θ保持不变,一个相对细杆静止的小环自离地面高h处沿杆下滑,求小环滑到杆下端时的速度.

图7 小环与杆的位置图

2.4 非惯性参考系中运动问题

如图8所示:杂技演员站在沿倾角为α的斜面下滑的车厢内,以速率v0垂直于斜面上抛红球,经时间t0后又以垂直于斜面上抛一绿球,车厢与斜面无摩擦.问:两个小球何时相遇?

图8 人与小车在斜面上运动示意图

解以车厢为参考系,车厢以加速度gsinα沿斜面运动,为一直线加速非惯性系.被抛出小球受重力W=mg和惯性力,其大小为mgsinα方向沿斜面向上,将以上两力合成为mgcosα,方向与斜面垂直向下,如图9.可见在车厢参考系中,小球沿垂直于斜面方向以加速度gcosα作上抛运动.以出手高度为坐标原点建立坐标系Oy,以抛出红球时为计时起点.

图9 小球受力图

相遇条件:y1=y2

因t=t0时才抛出绿球,故:t遇≥t0,

由上面的例子我们可以看出,在非惯性参考系中,引入惯性力后,问题很可能变得简单,主要原因是在非惯性参考系中,物体的运动形式变得简单,所以在非惯性参考性中讨论问题是一种很好的选择.