多边形内角和问题之化繁为简

夏明

求解多边形内角和问题，可将其转化成三角形内角和的知识，使复杂问题简单化．

真题呈现

例1 （2022·四川·攀枝花）同学们在探索“多边形的内角和”时，利用了“三角形的内角和”. 请你在不直接运用结论“n边形的内角和为（n - 2）·180°”计算的条件下，利用“一个三角形的内角和等于180°”，结合图形说明：五边形ABCDE的内角和为540°．

解析：如图1，连接AD，AC，把五边形ABCDE的内角和转化为△AED，△ADC，△ABC的内角和即可，则五边形ABCDE的内角和为540°．

变式演练

例2 阅读材料：多边形上或内部的一点与多边形各顶点的连线，将多边形分割成若干个小三角形. 图2给出了四边形的具体分割方法，分別将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形. 请你按照上述方法将图3中的六边形进行分割，并写出得到的小三角形的个数．试把这一结论推广至n边形．

解析：图2①是从一个顶点出发作所有对角线，对其进行分割；图2②是连接其中一边上的一个点和各个顶点，对其进行分割；图2③是连接内部的任意一点和多边形的各个顶点，对其进行分割. 根据上述方法对图3分别进行分割，如图4所示，所分割成的三角形的个数分别是4个、5个、6个．

结合两组特殊图形，可以发现：第一种分割法把n边形分割成了（n - 2）个三角形；第二种分割法把n边形分割成了（n - 1）个三角形；第三种分割法把n边形分割成了n个三角形．

例3 如图5①所示，已知一个五角星ABCDE．（1）求∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E的度数．（2）如图5②所示，如果点B向下移动到AC上，求∠A + ∠EBD + ∠C + ∠D + ∠E的度数．（3）如果点B继续向下，移到AC的另一侧，如图5③所示，（2）中的结果还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出它的值． [A][B][G][C][H][F][E] [1][2][A][B][C][H][F][D][G][E][B][C][G][I][F][H][D][E][A][D][图5][①][②][③]

解析：（1）如图5①，∵∠BJF = ∠C + ∠E，∠BFJ = ∠A + ∠D，

又∵∠B + ∠BFJ + ∠BJF = 180°，∴∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E = 180°.

（2）如图5②，∵∠A + ∠C = ∠DFH，∠EBD + ∠E = ∠DHF，

又∵∠DFH + ∠D + ∠DHF = 180°，∴∠A + ∠C + ∠EBD + ∠E + ∠D = 180°.

（3）结果仍成立.

理由：如图5③，∵∠B + ∠D = ∠2，∠A + ∠C = ∠1，∠1 + ∠2 + ∠E = 180°，∴∠B + ∠D + ∠A + ∠C + ∠E = 180°.故结论都成立．

分层作业

难度系数：★★★ 解题时间：2分钟

数学课上，老师在组织同学们探索多边形的内角和公式时，同学们提出了将此问题转化为已学的三角形内角和知识进行探索的思路. 图6是四名同学探索多边形内角和公式时运用的不同的分割方法，将多边形转化为多个三角形，并得出了相同的结论. 这四名同学在探索过程中主要体现的数学思想是（ ）．

A. 建模思想  B.分类讨论思想    C.数形结合思想 D. 转化思想

（作者单位：大连市第七十一中学）