基于BOPPPS教学模式的线性代数混合式教学设计研究

班晓倩 周龙桥 林府标

摘要为落实线性代数课程教学目标，切实提升财经类高校的人才培养质量，文章整合教学内容，在BOPPPS教学模式的基础上改进形成了融合概念学习、能力提升、应用强化和巩固反馈四个环节的线上线下混合式“四轮教学法”，同时展示了课程思政的融入技巧，并通过分析教学实践的数据，验证了该教学模式的有效性，对财经类高校公共数学课程的教学具有一定的借鉴价值。

关键词线性代数；“BOPPPS教学模式”；四轮教学法；课程思政

中图分类号：G424                            文獻标识码：A    DOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2023.21.040

Research on Mixed Teaching Design of Linear Algebra Based on "BOPPPS Teaching Mode"

BAN Xiaoqian， ZHOU Longqiao， LIN Fubiao

（School of Mathematics and Statistics， Guizhou University of Finance and Economics， Guiyang， Guizhou 550025）

AbstractImplementing the teaching objectives of linear algebra course， effectively improving the quality of talent cultivation in financial and economic universities， the article integrates teaching content， and improves the BOPPPS teaching mode to form an online and offline hybrid "four round teaching method" that integrates concept learning， ability enhancement， application reinforcement， and feedback consolidation. At the same time， it demonstrates the integration skills of course ideology and politics， and analyzes the data of teaching practice， The effectiveness of this teaching model has been verified， and it has certain reference value for the teaching of public mathematics courses in financial and economic universities.

Keywordslinear algebra; "BOPPPS teaching model"; four-round teaching method; curriculum ideology and politics

伴随信息技术的迅速发展，教育教学观念发生了巨大变革。2005年，何克抗教授通过对建构主义的反思[1]，阐述了对Blending-Learning，即“混合教学”概念的理解，指出应实现E-Learnin和传统教学的结合而非用E-Learning取代传统教学，发挥“教师主导—学生主体”的优势以获得最佳的学习效果。这样，混合式教学在高等院校的各门课程教学中逐渐推广。从原理探究[2]到教学模式分析[3-5]，再到教学平台的建设分享[6]，在教学实践中，学者通过对教学对象、教学内容、教学目的的分析，借助慕课、学习通、雨课堂、腾讯会议或自主开发的学习平台，融合线上线下教学资源，以实现混合式教学的最佳效果。部分学者[7]针对具体课程列出细致完整的教学设计并付诸实践。

线性代数是财经类高校重要的公共基础课程，为学生后续学习经济管理课程及将来的理论研究或实践工作提供了必要的理论基础，一直是学校教育教学改革的重点课程。2018年9月，教育部发布《关于加快建设高水平本科教育全面提高人才培养能力的意见》，强调要通过教学改革促进学习革命，积极推广混合式教学，构建线上线下相结合的教学模式，提高课堂教学质量。基于新时代高等院校教育教学改革的要求，结合课程组对线性代数、概率论与数理统计等公共课程已经完成的7轮教学范式改革的经验凝练，通过完善教学改革方案、加强过程性考核、学生动态反馈―教师保持跟进、强化课堂训练、增加自主学习比重等方面，改进了课程教学设计和考核方案，逐渐凝练出符合数学学习规律的教学模式。

1  BOPPPS教学模式在实施中的改进策略

BOPPPS教学模式是主要基于学生学习过程、重视教学反馈为特征的教学设计模式，BOPPPS教学模式本质上是以学生为中心的教育实践，在教学理念上，教师关注的重点是学生学到了什么，在教学目标上对于自己掌握的知识有没有合理、客观的评估，在教学方法上更强调参与式教学，学生在学习活动中能充分发挥主观能动性，独立思考。BOPPPS教学模式的基本框架是Bridge（引入）→Objective（学习目标）→Pre-assessment（课前摸底）→Participatory？learning（参与式学习）→Post-assessment（课后测验）→Summary（总结）。基于BOPPPS教学模式，笔者运用信息技术，将各项教学功能融合于混合式教学的设计方案中，为此，课程组对现有教学内容考核方案以及教师教学活动等方面做出调整。

首先，整合教学内容。BOPPPS教学模式的理论依据是认知理论和建构主义，为了使学生在课堂上能最大限度地掌握知识以及初步应用，教师通过学情分析，梳理教学对象的学情特点，结合线性代数课程教学目标以及教学内容所属功能，划分为概念理解、能力提升和应用强化三个部分。线性代数课程理论性、逻辑性强，教师除了基本理论和基本方法的教学，同时还要培养学生的逻辑推理能力和抽象思维能力，为学生学习后续经济管理类课程提供必要的理论和方法。马克思主义哲学指出，人们对事物的认识活动是从感性直观到理性认识，再从理性认识到应用实践的螺旋上升的过程[8]。为使得教学设计更符合认识规律，教师在教学中应遵循由特例到概念再过渡到方法，最后从方法到应用强化的规律，所以线上线下的教学活动应按照认识规律循序渐进地设置，以体现知识体系的整体性以及承上启下的连贯性。

其次，将目标各异的教学活动分别由线上线下教学环节来承载和实现，具体分为三个步骤。第一个步骤：BOPPPS教学模式的引入和课前摸底相当于预习概念板块，放置于线上课堂，知识易掌握习题易完成，激励性较好；第二个步骤：BOPPPS教学模式中的参与式学习，体现在线下课堂，教师面对面地启发引导，师生共同解决逻辑推理性较强或综合应用性的定理例题，培养学生解决问题的能力，为创新打基础，同时教师根据教学内容，因势引导实施德育。第三个步骤：课后测试和总结反馈，置于线上课堂进行，给学生自主学习的环境，进行反思、反馈，将知识内化。比如矩阵的秩这节内容的教学设计。线下自主预习可安排为：计算k阶子式，判断矩阵的秩。线上课堂教师引导的问题设置：为什么初等变换不会改变矩阵的秩？矩阵的秩的意义是什么？矩阵的秩与线性方程组的求解有什么联系？方程组的求解，就是一个从表象到实质的过程，所以体现了本质论，如何理解方程组有解的充要条件，采用观察法，启发教学及课堂讨论、层层递进，落实现象到本质的步步深入，学生更易融会贯通。

第三，转变考核思路。考核指标的选定是调动学生学习积极性的重要措施。为充分激励学生课下的学习参与度，激发学生自主学习的内生动力，同时为减少教师评价学生平时成绩的主观性，课程组将学生线上自主学习的成绩权重提升到平时成绩的50%。鉴于此，我们完善了线上学习的环节，如观看课前视频预习相关内容并完成概念性预习题，课中完成线上的习题任务点及线上选择题的互动活动，完成线上课后单元测验，线上期中考试和线上期末考试，线上讨论互动等环节。每位学生都能实时看到自己的线上成绩是多少分，客观清晰的成绩构成调动了学生学习的主动性，培养学生负责任的学习态度。这两年的教学实践数据也证明，绝大多数学生为了拿到尽可能高的平时成绩，会用大量时间在线上学习、练习以及和教师互动提问，其学习能力也得到了提升。同时我们也观测到，学生的期末卷面成绩和其线上学习成绩大致是正向相关的。

最后，加强学生学习的自我评估。在学习通平台，教师可以及时观测到学生学习的反馈数据，可以实现高效的数据统计反馈，方便调整下一步教学。线性代数课程的授课对象是全校一年级的学生，线上线下教学采取不同措施来引导。线上学习采取以个体为主的学习形式，督促学生完成课前观看教学视频、阅读预习题以及课后反馈等；线下课堂则是以小组为主的学习形式，开学初学生进行自由分组，在线下课堂时，小组成员集中就座，进行课堂讨论、习题训练、问题反馈和成果汇报，方便教师进行小组答疑。小组学习既可以带动督促成员自觉学习，也推进了学生间的讨论协作和共同进步。

2  基于BOPPPS教学模式改进的混合式“四轮教学法”

基于BOPPPS教学模式的混合式“四轮教学法”以“以人为本”为原则，以调动学生学习积极性、提升学生的自主学习能力为目的。以学生评价体系为激励机制，有效督促学生开展自主性、过程性学习，有效参与到线上线下的教学活动中。

2.1  混合式“四轮教学法”的教学设计

首先将课前预习置于线上自主学习。学生按照教师要求通过学习通网络学习平台自主学习教学视频（每个教学视频时长5―15分钟），完成概念理解知识点的学习。概念学习相对是比较简单的，主要实现对学生自主学习的督促，以激励学生保持积极状态。教师布置少量较简单的互动预习题留给学生练习，可在课堂中随机检验学生的完成情况并做点评。

线下课堂教学是教学设计的重心。在课堂教学中分为两大板块——能力提升板块和应用强化板块。在能力提升板块中，配备相应教学设计和习题资源，是培养学生推理能力和应用能力的主要环节。教师在线下课堂的讲授围绕应用强化、能力提升和价值传递，需要相应的习题资源和应用案例，尤其在方法技巧上有所延伸的问题，教师通过方法引导、思维启发，引导学生分析解决实际问题，教师启发、引导学生寻找条件、描述现象、建立模型、转化求解，给学生做出如何转化矛盾的示范，潜移默化化未知为已知的解决问题的思想，并抛出相应的延伸习题，强化学生对方法技能的掌握和应用。

在应用强化板块中需要配备经济管理类的应用型案例，以开放型问题为宜，便于引导学生分析解决实际问题。应用强化这一环节突出专业应用特点，教师讲授时要注重启发性，引导学生的知识迁移和应用能力，留给学生讨论和反馈，鼓励学生发挥团队协作的精神，探讨创新，提升其实际解决问题能力。教师还应利用线上线下教学的优势，深入挖掘课程思政元素，以相关案例为载体，展现课程知识背后所蕴含的哲学观点和思维方法、追求真理与科学的态度、艰苦探索与创新精神等价值元素，结合财经类高校的专業背景，引导学生了解中国传统文化，增强自信心和自豪感，使学生在学习知识的同时，树立正确的人生观和价值观。

最后，线上学习的巩固反馈。此环节中，学生须完成相应能力拓展的习题，对线下课堂教学的内容进行回顾和反馈，并展开对新内容的自主学习。教师接受学生反馈数据，督促并指导学生开展线下学习，及时解答学生的疑问，纠正运用偏差。

“四轮教学法”将学生的主体能动性放在核心地位，在教学设计上，学生从概念学习，到能力提升，应用强化，最后到总结反馈，整体呈现螺旋上升的态势。通过思考和实践参与，学生体验了学习的过程，知识在训练反馈中内化，学生的学习、应用能力在不断累积上升，在由浅入深的强化训练中实现量变到质变的成长突破，为创新能力培养打下坚实的基础。

2.2  “四轮教学法”教学设计

例如：对特征值与特征向量内容进行教学设计，教学内容包括特征值与特征向量的定义、计算、性质、意义和应用。教学重、难点是特征值与特征向量的计算、性质和意义。

①线上预习概念。介绍特征值和特征向量的概念、展示简单的二阶矩阵特征值与特征向量，观察分属不同特征值的特征向量的关系，是否线性相关？是否正交？有没有一般结论？观察行列式与特征值、迹与特征值的关系。教师进一步引导学生思考：kA的特征值是什么？与A的特征值有没有关系？特征向量是唯一的吗？并由此问题引出特征向量的真实身份和求解特征值与特征向量的一般方法，即特征向量是特征值对应的某个线性方程组的非零解，可转化到方程组解的理论来求解特征值和特征向量。

②线下能力提升。教师示范化简特征行列式的技巧，习题训练互动、强化求解矩阵特征值和特征向量方法，选择例题作为课堂练习计算特征值与特征向量。引导学生观察k重特征值一定对应k个线性无关的特征向量吗？拓展问题：这样的区别，对于矩阵性质有什么影响？为后面方阵对角化研究作铺垫。

③线下应用强化和德育的开展。选择关于特征值与特征向量的拓展题型，如发展与环保中的周期模型进行分组讨论，有利于学生掌握特征值的性质和求解方法。通过教师总结、启发，分析特征值与特征向量的意义（将矩阵与向量的乘法转化为数与向量的乘法），建立变量递推关系用于刻画及解决经济管理领域的应用问题，同时，在德育方面，实际应用的展现体现了整体观和大局观，做好长远规划需要掌握事物发展规律的价值传递。

④线上巩固反思及预习。利用特征向量构造，并计算。反思：矩阵的特点以及的构造规律，结论是否可推广？此等式的价值何在，有什么实际意义？为矩阵的相似及对角化内容作准备（图1）。

3  “四轮教学法”的意义和成效

首先，尊重了认识规律和学生的主体地位。线上及线下课堂的实现，延伸了学习的时空环境，有利于学生个性化学习，能更好地调动学生的学习参与性。纳入平时考核的激励措施提高了学生对于课程的关注度。在上个学年线性代数课程的教学中，99%的教学视频及习题任务点完成率都是100%，从第一章行列式到第六章二次型，总共58讲内容，所有班级中90%左右的学生章节学习次数超过100次，更有超过半数的学生章节学习次数超过300次，过程性学习的效果更客观地体现出来了，为教师对学生平时成绩的评定提供了一定的依据。课前的预习让学生带着问题进课堂，听课投入且独立思考，其质疑、思辨能力也得到提高，教师引导学生观察现象并提出启发问题，有助于学生建立完整的知识体系。学生发现问题敢于及时指出和反馈，学习科学知识要求真务实、认真严谨是笔者传递给学生的价值观。

其次，有助于提高学生的自主学习能力。该教学方法强调了对学生自主学习过程的评价，线上学习的成绩量化并纳入平时成绩，加大对学生平时学习的动态考核，使得过程考核更有依据，有助于解决学生的学习动力问题，强化学生踏实诚信的做事风格，对提高学生参与自主学习积极性起到激励作用。教师在教学方法上通过提问式、参与式、案例式、讨论式等方法，使课堂更加活跃，学生学习积极性明显提升，而且逐渐养成负责任的学习和生活态度。

最后，该教学方法尊重客观认识规律，是培养学生由表及里、循序渐进的一般学习方法。该方法体现了由概念到应用、强化，再到反思的设计思路，加强了知识的内化过程，有利于学生养成正确的学习习惯。根据学生的反馈，该方法充分发挥了学生的主观能动性，学生听课更高效，知识掌握更牢固，学习效果更持久，真正体现了“以学生发展为中心”的教学理念，为培养学生成为具有自主学习能力和创新应用能力的高素质人才奠定了坚实的基础。

4  结语

对于理论性、逻辑性较强的数学类公共基础课程的教学，“四轮教学法”具有一定的推广价值，该方法更加注重过程性学习以及学习反馈，由此培养学生的自主学习能力和创新解决问题的能力。在今后的教学中，教师要加强对所授课程的理解和驾驭能力，把学科知识、思政元素和认识规律有机结合起来，将专业知识传授和价值观教育潜移默化地结合起来。接下来，课程组将跟进线性代数课程教学实践数据对比，探索线上学习与学生学习效果之间的关系，进一步完善教学设计和学习评价指标，形成具有财经类高校特色的数学类公共基础课程教学改革思路。

参考文献

[1]何克抗.从Blending Learning看教育技术理论的新发展[J].国家教育行政学院学报，2005（9）37-48，79.

[2]李克东，赵建华.混合学习的原理与应用模式[J].电化教育研究，2004（7）：1-6.

[3]李逢庆.混合式教学的理论基础与教学设计[J].现代教育技术，2016，26（9）：18-24.

[4]杨芳，魏兴，张文霞.大学英语混合式教学模式探析[J].外语电化教学，2017（1）：21-29.

[5]张其亮，王爱春.基于“翻转课堂”的新型混合式教学模式研究[J].现代教育技术，2014（4）：27-32.

[6]叶荣荣，余胜泉，陈琳.活动导向的多種教学模式的混合式教学研究[J].电化教育研究，2012（9）：104-113.

[7]杨文霞，何朗，万源.面向能力培养和计算思维训练的线性代数混合式教学改革与实践[J].大学数学教育，2018（6）：45-52.

[8]杨春贵，张绪文，侯才.马克思主义哲学教程[M].北京：中共中央党校出版社，2002.