厘清要点 突破难点

赵军

在学习本章内容时，同学们偶尔会遇到一些困惑。那么，我们该如何找准方法，突破难点，解除困惑，使自己的思维和能力得以提升呢？下面，我们一起来盘点本章的难点问题，并对这些典型问题进行剖析与归纳，希望对大家的学习有所帮助。

一、配方法和根与系数关系的灵活应用

（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程的两个实数根x1、x2满足x1-x2=3，求k的值。

【问题剖析】（1）首先表示出根的判别式b2-4ac=2k2+4k+9，然后运用配方法证明这个代数式大于0，即证明2k2+4k+9=2（k2+2k+1-1）+9=2（k+1）2+7大于0，因为（k+1）2≥0，所以2（k+1）2+7＞0，问题得证。

【方法归纳】运用配方法的第一步是处理二次项系数，如果二次项系数不为1，则要提到括号外，然后在括号内完成配方。其关键是根据一次项系数配出“尾平方”，即配出的常数项是一次项系数一半的平方，所以难点是如何找出这个“常数项”。运用根与系数之间的关系时，要将条件向两根之和、两根之积转化，最终还要注意检验方程是否有实数根。

二、含字母系数的因式分解

例2 已知△ABC的两边AB、AC的长分别是关于x的方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC=5。当k为何值时，△ABC是直角三角形？

【问题剖析】仔细分析，常数项为k2+3k+2=（k+1）（k+2），故可运用“十字相乘”法进一步因式分解，即［x-（k+1）］［x-（k+2）］=0，所以x1=k+1，x2=k+2。因为k+1＜k+2，所以斜边可能是k+2或5。①当（k+1）2+52=（k+2）2时，k=11，此时k+1=12，k+2=13，符合题意；②当（k+1）2+（k+2）2=52时，k1=2，k2=-5，经检验：k=-5不符题意。所以k=11或2时，△ABC是直角三角形。

【方法归纳】本题中，我们视k为常量，以“我的眼中只有你（x）”进行拆分，观察能否运用“十字相乘”法进行因式分解，在用含k的代数式表示出方程的根之后，再依据条件列方程求k，同时要注意将所求结果代到题目中进行检验。

三、应用题中的“每……每”问题

例3 某公司8月份销售A品牌汽车，在一定范围内，每辆汽车的進价与销售量有如下关系：若当月仅售出1辆汽车，则该汽车的进价为27万元，每多售出1辆，所有售出的汽车每辆的进价均降低0.1万元。月底厂家根据销售量一次性返利给公司，销售10辆以内（含10辆），每辆返利0.5万元；销售10辆以上，每辆返利1万元。若每辆汽车的售价为28万元，该公司计划当月盈利12万元，则需要销售多少辆汽车？

【问题剖析】所谓“每……每”问题，即题目中的条件：“每多售出1辆，所有售出的汽车每辆的进价均降低0.1万元。”若设售出x辆汽车，则售出的汽车每辆进价为［27-0.1（x-1）］元，结合返利，分两种情况列方程。

①当x≤10时，［28-27+0.1（x-1）］x+0.5x=12，解得x1=6，x2=-20（舍去）；

②当x＞10时，［28-27+0.1（x-1）］x+x=12，解得x1=5，x2=-24（均不符题意，舍去）。

所以，当销售6辆汽车时，当月盈利12万元。

【方法归纳】解决“每……每”问题的关键有两点：一是理清进价与销量之间的关系，当销量为x辆时，如何用含x的代数式表示进价；二是如何计算利润。而在列出方程、解出方程后，我们还要注意检验方程的解是否符合实际意义。

事实证明，只要我们对疑难问题剖析深刻，理解到位，那么，“原本的问题”将不再成为问题，而会变成我们成长的阶梯。