关于一类欧拉函数方程的正整数解

郑 惠，王 丽

（1.阿坝师范学院 数学学院，四川 汶川，6230001；2.柏林沟镇小学 四川 昭化，628057）

引言

设n是正整数，φ(n)是欧拉函数，其值等于序列1，2，3，…，n中与n互素的整数个数[1］。欧拉函数在现代数论中有重要基础性和应用性。含欧拉函数的方程也吸引着许多学者。如文献[3-4］分别研究含二元欧拉函数方程φ(mn)=9(φ(m)+φ(n))和φ(xy)=kφ(x)φ(y)的可解性。随着方程变元增多，函数关系越复杂，分析过程容易出现瓶颈，文献[5-6］分别研究三元欧拉方程（1）在K=2，N=6，8时就出现漏解情况。本文将讨论变系数K、N是正整数的三元欧拉函数方程

的可解性，在N是偶数时，缩小解的范围，给出方程（1）在K=2，N=8 时的全部解，为同类方程求解提供方法参考。

1 主要引理

引理1[5］对任意正整数a，b，则有φ(ab)=其中gcd（a，b）表示a与b的最大公因数.当gcd（a，b）=1时，有φ(ab)=φ(a)φ(b)。

引理2[5］当正整数x＞1时，有0<φ(x)＜x；当x＞2时，φ(x)为偶数。

引理3[3］当正整数c与正整数x有c|x时，则φ(c)|φ(x)。

引理4[7］若正整数x=pr11pr22…prkk，则：

引理5[2］若φ(x)=1，x=1，2；若φ(x)=2，x=3，4，6；若φ(x)=4，x=5，8，10，12；若φ(x)=6，x=7，9，14，18；若φ(x)=8，x=15，30，20，16，24；若φ(x)=16，x=17，34，60，40，32，48；若φ(x)=14，x无正整数解。

引理6 设l=gcd（a，b）对k，n为正整数的二元方程φ(ab)=kφ(a)φ(b)+n在φ(ab)＞n且L＞k时可解，其解（a，b）满足φ(a)|n，φ(b)|n，φ(l)≤n。

证明 由引理2知φ(ab)、kφ(a)φ(b)、n均为正数，则方程φ(ab)=kφ(a)φ(b)+n可解时显然有φ(ab)＞n成立。假设L≤k时该方程可解。

引理1得Lφ(a)φ(b)=kφ(a)φ(b)+n，引理3知∃a1，b1∈Z+使得a1φ(l)=φ(a)，b1φ(l)=φ(b)。化简可得[l-kφ(l)]b1φ(a)=n或[l-kφ(l)]a1φ(b)=n，易得φ(a)|n，φ(b)|n，φ(l)≤n。进一步可化为[lkφ(l)]a1b1φ(l)=n。因为φ(l)>0，据假设知l-kφ(l)≤0，且a1b1φ(l)为正数，则等式左边为非正数，右边为正数，显然矛盾，假设不成立。故方程在φ(ab)＞n且L＞k时可解。

2 主要结论

定理1 设t=gcd（ab，c），方程（1）的全部解（a，b，c）满足t∈[1,K+N]。若N为偶数时，有：

证明 设ab=x，令T=，显然T ∈( 0,1 ].引理1知φ(a)φ(b)=Tφ(x)，方程（1）变形为：

由引理3 知，∃x1,c1∈Z+，使φ(x)=x1φ(t)，φ(c)=c1φ(t)。可得t=显然有1≤t≤（KT+N）≤（K+N）。若N为偶数，我们给出以下6种情况。

情况1 当t=1 时，由式（2）有φ(x)=N+，则N＜φ(x)＜N+2，引理2 知x无解舍去。故此时，φ(c)∈接下来进一步讨论φ(c)为一些具体值，以便发现φ(x)和系数K、N的关系。

当φ(c)=1,2时，引理5求c值并分别代入变式（2）可以将三元方程（1）化成二元方程。

当φ(c)=4 时，代入变式（2）得φ(x)=同理可得，当φ(c)=6 时，φ(x)=当φ(c)=8时，φ(x)=当φ(c)=10时，φ(x)=同理，当φ(c)=N+2时，φ(x)=至此可见，对φ(c)分情况讨论，可找到φ(x)的取值范围和系数K、N的关系，仿照此例，下面的分析均不再展开对φ(c)分情况讨论。

情况2 当t=2时，由式（2）得

情况4 当t=4时，由变式（2）得

情况5 当t=5，6，7时，讨论同情况3。即将t值分别代入变式（2）得φ(x)与K，N，T的关系式。

情况6 当t=8时，由变式（2）

综上，定理1证毕。

定理2 方程φ(abc)=2φ(a)φ(b)+8φ(c)的所有满足a≤b的正整数解为：

（a，b，c）=（10，10，1），（6，12，1），（2，20，3），（2，16，3），（4，8，3），（4，10，3），（5，15，4），（5，20，3），（3，15，4），（3，12，5），（1，17，5），（1，34，5），（1，32，5），（1，48，5），（1，17，8），（1，17，10），（1，17，12），（2，17，5），（3，16，5），（1，13，7），（1，13，9），（1，13，14），（1，13，18），（1，26，7），（1，26，9），（1，28，9），（1，36，7），（2，13，7），（2，13，9），（4，7，9），（4，9，7），（2，8，2），（2，10，2），（2，12，2），（4，6，2），（4，4，2），（3，12，2），（5，10，2），（1，30，4），（2，15，4），（1，16，6），（1，20，6），（3，10，4），（4，5，6），（5，6，4），（3，6，4），（2，12，3），（4，6，3），（1，60，3），（1，48，3），（3，20，3），（3，16，3），（4，15，3），（5，12，3），（1，15，12），（3，5，12），（3，3，15），（3，3，30），（3，3，24），（3，6，15），（1，9，21），（1，9，42），（1，9，36），（1，18，21），（2，9，21），（1，20，4），（1，16，4），（1，24，4），（3，8，4），（4，5，4），（2，10，5），（1，20，15），（1，15，20），（3，5，20），（4，5，15），（1，12，6），（3，4，6），（1，10，10），（2，5，10）。

证明 对于三元欧拉函数的方程

由定理1知t∈[1,10]。因方程（3）关于a，b对称，所以可令a≤b。下面对t的10种情况进行讨论。

情况1 当t=1时，由定理1知φ(c)=1，2，4，6，8，10。

当φ(c)=1 时，c=1，2.当c=1 时，方程（3）为φ(ab)=2φ(a)φ(b)+8。引理2，5，6 知解满足L＞2，l＞2，φ(a)=2,4,8，且φ(b)=2，4，8；故φ(a)φ(b)=4，8，16，32，解得（a，b）=（6，12），（10，10）。故（a，b，c）=（6，12，1），（10，10，1）是方程（3）的解。同理，当c=2 时，方程（3）为φ(2ab)=2φ(a)φ(b)+8，引理2，6 知L>2，φ(a)=2,4,8，φ(b)=2,4,8。分析φ(a)φ(b)=4，8，16，32，64均无解满足L>2，舍去。故此时方程无解。

当φ(c)=2 时，方程（3）化简为φ(ab)=φ(a)φ(b)+8，由引理2、6 知有φ(ab)＞8，L>1，显然l>1，φ(a)=1,2,4,8，φ(b)=1,2,4,8。引理1 将方程变形得，当φ(a)=1，φ(b)=1 时，方程（3）无解；当φ(a)=1，φ(b)=2 时，L=5，代入计算a，b无解。当φ(a)=1，φ(b)=4 以及φ(a)=2，φ(b)=2 时，计算a，b无解满足方程。当φ(a)=1，φ(b)=8以及φ(a)=2，φ(b)=4时，解得（a，b）=（2，30），（2，24），（2，16），（2，20），（4，12），（4，8），（4，10）满足L=2。当φ(a)=2，φ(b)=8 以及φ(a)=4，φ(b)=4 时，代入解得（a，b）=（3，15），（3，30），（3，24），（6，15）满足当φ(a)=4，φ(b)=8时，解得（a，b）=（5，15），（5，20），（5，30），（10，15）满足当φ(a)=8，φ(b)=8 时，计算a，b无解满足以上分析结合c=3，4，6，t=1，计算检验得（a，b，c）=（2，16，3），（2，20，3），（4，8，3），（4，10，3），（3，15，4），（5，20，3），（5，15，4）。

当φ(c)=4 时，由定理1 的证明知8 ＜φ(x)≤16.当φ(x)=10 时，T=无解；当φ(x)=12 时，T=φ(a)φ(b)=8，由引理2，6判断l=3，所以（a，b，c）=（3，12，5）；当φ(x)=16时，T=1，l=1，φ(a)φ(b)=16，解得方程（3）的解为（a，b，c）=（1，17，5），（1，34，5），（1，32，5），（1，48，5），（1，17，8），（1，17，10），（1，17，12），（2，17，5），（3，16，5）。

当φ(c)=6时，由定理1的证明知8 ＜φ(x)≤12.当φ(x)=10时，T=φ(a)φ(b)=6，l无解；当φ(x)=12时，T=1，l=1，φ(a)φ(b)=12，得方程（3）的解为（a，b，c）=（1，13，7），（1，13，9），（1，13，14），（1，13，18），（1，26，7），（1，26，9），（1，28，9），（1，36，7），（2，13，7），（2，13，9），（4，7，9），（4，9，7）。

当φ(c)=8时，由定理1的证明知8 ＜φ(x)≤10，得φ(x)=10，T=φ(a)φ(b)=8，根据引理2和引理6得l=5，与16|φ(a)φ(b)矛盾，舍去。故此时方程无解。

当φ(c)=10时，定理1的证明知8 ＜φ(x)≤10，得φ(x)=10，T=l=1，φ(a)φ(b)=10，经计算无a，b满足t=1，舍去。故此时方程无解。

情况2 当t=2时，由定理1知φ(c)=1,2。

当φ(c)=1 时，则c=2。方程（3）为φ(ab)=φ(a)φ(b)+4。定理1 知φ(ab)＞4，L>1，φ(a)|4，φ(b)|4。分析φ(a)φ(b)=1，2方程（3）均无解。φ(a)φ(b)=4，代入φ(ab)=φ(a)φ(b)+4知此时L=2，解得（a，b）=（2，8），（2，10），（2，12），（4，4），（4，6），φ(a)φ(b)=8。同理可得L=解得（a，b）=（3，12）。φ(a)φ(b)=16。同理可得L=解得（a，b）=（5，10）。经检验得（a，b，c）=（2，8，2），（2，10，2），（2，12，2），（4，4，2），（4，6，2），（3，12，2），（5，10，2）。

当φ(c)=2 时，则φ(x)=因2-T∈[ 1,2 )，于 是4 ＜φ(x)≤8。当φ(x)=6 时，T=φ(a)φ(b)=4，l=3，得（a，b，c）=（3，6，4）；φ(x)=8 时，T=1，l=1，φ(a)φ(b)=8，得方程（3）的解为（a，b，c）=（1，30，4），（2，15，4），（1，16，6），（1，20，6），（3，10，4），（4，5，6），（5，6，4）。

情况3 当t=3时，由定理1知φ(c)=2,4,6,8,10,12。

当φ(c)=2时，φ(x)=，因3-2T∈[ 2,3 )，故5 ＜φ(x)≤16。由引理4、5知φ(x)=8，16；当φ(x)=8 时，T=，φ(a)φ(b)=4，l=2，4。得（a，b，c）=（2，12，3），（4，6，3）；当φ(x)=16 时，T=1，l=1，φ(a)φ(b)=16，得方程（3）的解为（a，b，c）=（1，60，3），（1，48，3），（3，20，3），（3，16，3），（4，15，3），（5，12，3）。

当φ(c)=4 时，φ(x)=，3-T∈[ 2,3 )，5 ＜φ(x)≤8。若φ(x)=6，T=，φ(a)φ(b)=2，l=6，与引理3矛盾；若φ(x)=8，L=1，l=1，φ(a)φ(b)=8，得方程（3）的解为（a，b，c）=（1，15，12），（3，5，12）。

当φ(c)=6时，φ(x)=同理可得φ(x)=6，T=，φ(a)φ(b)=6，l=2，经计算a，b无解。

当φ(c)=8 时，φ(x)=同理6-T∈[ 5,6 )，φ(x)=6。T=φ(a)φ(b)=4，l=3，得方程（3）的解为（a，b，c）=（3，3，15），（3，3，30），（3，3，24），（3，6，15）。

当φ(c)=10时，引理5解得c无满足t的解，舍去。故此时方程无解。

当φ(c)=12时，则φ(x)=因9-T∈[ 8,9 )，知φ(x)=6，T=1，l=1，φ(a)φ(b)=6，得方程（3）的解为（a，b，c）=（1，9，21），（1，9，42），（1，18，21），（2，9，21）。

情况4 当t=4 时，定理1 知φ(c)=2。代入方程（3）得φ(x)=，2-T∈[ 1,2 )，4<φ(x)≤8。当φ(x)=6 时，计算得T=，φ(a)φ(b)=4，l=3，无ab满足t=4，舍去；当φ(x)=8 时，计算出T=1，l=1，φ(a)φ(b)=8，得方程（3）的解为（a，b，c）=（1，20，4），（1，16，4），（1，24，4），（3，8，4），（4，5，4）。

情况5 当t=5 时，由方程（3）计算得φ(x)=6+当φ(c)＞8 时，x无解。故当t=5时，讨论φ(c)=4,8。

当φ(c)=4，则φ(x)=，5-2T∈[ 3,5 )，6 ＜φ(x)≤10。当φ(x)=8 时，T=，φ(a)φ(b)=4，得l=2，4.计算检验得（a，b，c）=（2，10，5）满足方程（3）；当φ(x)=10时，引理4知T无意义。

当φ(c)=8，则φ(x)=，5-T∈[ 4,5 )，知φ(x)=8，T=1，l=1，φ(a)φ(b)=8，得方程（3）的解为（a，b，c）=（1，20，15），（1，15，20），（3，5，20），（4，5，15）。

情况6 当t=6 时，方程（3）化简得φ(x)=2+如果φ(c)>4，那么x无解。故t=6时，讨论φ(c)=2,4。

当φ(c)=2，则φ(x)=，3-T∈[ 2,3 )，知φ(x)=4。T=1，l=1，φ(a)φ(b)=4，得（a，b，c）=（1，12，6），（3，4，6）满足方程（3）。若φ(c)=4，则φ(x)=，6-T∈[ 5,6 )，知2 ＜φ(x)＜4，x无解舍去。

情况7 当t=7 时，由方程（3）化简得φ(x)=6+因c≥7，φ(c)＞3，知6 ＜φ(x)＜12，此时x无解，舍去。

情况8 当t=8时，由定理1知N=8时，方程4 ＜φ(x)＜8，x无解，舍去。

情况9 当t=9时，方程（3）化简得φ(x)=6+如果φ(c)＞12，那么x无解。故当t=9时，讨论φ(c)=6,12。

当φ(c)=6，则φ(x)=9-2T∈[ 7,9 )，φ(x)=6。φ(a)φ(b)=3，引理2 知a，b无解舍去。当φ(c)=12，则φ(x)=，9-T ∈[ 8,9 )，φ(x)=6。T=1，l=1，φ(a)φ(b)=6，得方程（3）的解为（a，b，c）=（1，9，36）。

情况10 当t=10时，方程（3）化简得φ(x)=3+如果φ(c)＞4，那么x无解。又因为c≥10，故得φ(c)=4，φ(x)=，5-T∈[ 4,5 )，φ(x)=4。T=1，l=1，φ(a)φ(b)=4，得方程（3）的解为（a，b，c）=（1，10，10），（2，5，10）。

综上，得到方程（3）的79组全部正整数，定理2证明完毕。