立足核心概念 明晰思维路径 积淀核心素养*——一道质检题的解析及思考

⦿淄博市周村区第一中学 崔 涛

⦿淄博市周村区教育教学研究室 朱向东

1 原题呈现

如图,P为正方形ABCD对角线AC上的一点,连接DP并延长交AB于点E,过点P作MN⊥DE分别交BC,AD于M,N.

(1)如图1,求证:MN=DE.

图1

(2)如图2,点F与点C关于直线DE对称,连接FA并延长交直线DE于点G,连接BG.

图2

①设∠ADE的度数为x,求∠DGF的度数;

②猜想AF与BG之间的数量关系,并证明.

2 解题思路分析

核心概念,居于学科知识的中心地位,具有广泛的适用性和解释力.在认知结构中,核心概念表现出网络状、持久性和可迁移等特点.对核心概念的深度理解,能够帮助学生把握知识本质,形成学科观念;推动知识关联的高效形成,发展应用能力;生长和优化认知结构,培养核心素养.

对于第(2)大问的第②小问,笔者立足核心概念,深挖概念背后的本质属性,明晰思维路径,联通知识网络.利用几何直观,图形化核心概念的内涵,给出如下解题方案:

第一种方案是以“轴对称”为问题分析的起点,构造基本图.利用图形关系,与正方形的相关性质形成关联.通过三角形相似或三角函数,落脚于线段的比,实现目标线段数量关系的求解.第二种方案是立足“等腰三角形”,结合先验知识,添加常用辅助线.聚焦图形变化,与正方形的相关性质形成关联.通过几何直观,进一步拟定解题策略.通过三角形相似或三角函数,求得目标线段的数量关系.

3 解题方案实施

结合上面的两种方案,有如下6种具体思路和解法.

思路1：聚焦轴对称,构造基本图.通过几何直观,猜想并证明△CAF与△CBG相似.借助相似比,求得目标线段之间的数量关系.

图3

思路2：以轴对称为起点,基本图为根本.通过构造和证明△CBH与△ABG全等,得到与线段AG等长的线段CH.最后,通过线段和差与等腰直角三角形BGH的相关性质,求得目标线段之间的数量关系.

图4

思路3：立足轴对称,活用基本图.深入挖掘其性质与正方形之间的关联.通过几何直观,构造、猜想和证明△DBG与△CAP全等,实现线段BG位置的转移,进而求得目标线段的数量关系.

图5

思路4：以等腰三角形DAF为思维起点,通过合理联想,构造等腰三角形OBG.假借几何直观,猜想并证明两个等腰三角形相似.运用相似比,求得目标线段的数量关系.

图6

思路5：聚焦等腰三角形DAF,过顶点作垂线,与等腰直角三角形和正方形的相关性质相关联.通过几何直观,猜想并证明△BDG与△ADH相似.通过相似比,求得目标线段的数量关系.

图7

思路6：在解法5的基础上,对相似基本图进行再探究、再发现,构造“一线三等角”.利用三角形全等,建立线段等量关系.利用特殊角的三角函数,求得目标线段的数量关系.

图8

4 反思

通过思维路径的明晰和解题方案的实施,不难发现,核心概念作为问题分析的起点、知识融合的关联点、素养提升的落脚点,贯穿解题活动的始终.核心概念背后潜藏的知识、方法和思想,反映出学科的主要观点和思维方式,搭建成学科骨架,内化为认知结构的主干.为了加深数学理解、追求数学本质、发展关键能力、养成必备品格,笔者立足“三会”,从核心概念的视角,对积淀核心素养的方法进行了如下几点思考:

4.1 丰富核心概念的图形化内涵,发展几何直观

在我国现代汉语词典中,对“直观”的解释是:用感官直接接受,直接观察.国内学者和教育家则认为:直观是直接从感觉和具体背后,发现抽象的实质.新课标对几何直观的定义为:运用图表描述和分析问题的意识和习惯.在教学和解题活动中,将核心概念的内涵图形化,有利于发现思维起点,洞察知识关联点,把握问题本质,培养数学眼光.

4.2 厘清核心概念潜藏的内在关联,提升推理能力

对核心概念的学习,应该更侧重于概念背后的知识、方法和思想,侧重于思维方式的建立和意识、观念的形成.在教学和解题活动中,应注重对学生循循善诱,启发引导.在探求概念实质的过程中,积累推理经验,体悟数学思想.在对问题的发现、提出、猜想与证明的过程中,深化逻辑思维,提升推理能力.养成讲道理、有条理的学科思维品质.

4.3 感悟核心概念的统摄性和解释力,凝练数学表达

思维的统摄性,是指在思考和处理复杂的系统性事物时,能够统筹兼顾各个部分,进行优化操作,使繁杂而浩大的思维工程有条不紊地进行.

核心概念在学科知识中的统摄性,体现在其对学科知识的包容性、关联性,以及普遍存在性和广泛迁移性.核心概念统摄学科知识的学习,学科思维的发展,学科观念的形成.在教学和解题活动中,应引领学生发挥好核心概念的普遍解释力,凝练好数学语言,多途径、分层次地对数学观点进行精准表达.渗透用数学语言表达现实世界的意识,发展用数学语言表达现实世界的能力.