中考对分式考查的新题型探析

⦿江苏省南京市金陵中学河西分校 滕丽娜

近几年的中考试题中,出现了真假分式、探究分式值的正负、比较分式的大小、参数法求分式的值等新题型,这有利于加强学生对分式性质、分式运算的掌握,开阔学生的视野,提高学生的创新意识与能力.

1 真假分式

在分数中,分子小于分母的分数是真分数,分子大于分母的分数是假分数,由整数和真分数组成的数是带分数.在分式中实际上也存在类似的情形,并且把一个假分式化为一个带分式,有利用讨论分式值.

例1阅读下列材料:

解决下列问题:

评注：求二次三项式ax2+bx+c的最值,就是求二次函数y=ax2+bx+c的最值;一个正分数,分子一定,当分母最小时分数的值最大;两数相减,被减数一定,当减数最大时差最小.以上三个结论,都是学生在数学活动中应积累的数学经验.

2 比较分式的大小

比较不含字母的分数的大小时,可以化为小数,也可以通分后比较分子.如何比较含字母的分式的大小关系呢?方法是作差法.

例2阅读下面解题方法:如何比较两个代数式的大小呢?“作差法”是一种常用的解决方法,也就是将两个代数式相减,并对结果进行讨论探究,确定差的符号,从而得到原代数式的大小关系,如,比较代数式P,Q的大小时,求它们的差P-Q,当P-Q>0时,则P>Q;当P-Q=0时,P=Q;当P-Q<0时,则P

根据上述解题思路,尝试解决下面两个生活实际问题:

(1)甲、乙两同学去商场购买同一种产品,且每位同学都购买了两次.甲同学每次都购买了mkg的产品,乙同学每次都购买了n元的产品,当他们第一次购买该产品时,价格都是a元/kg,第二次购买该产品时,价格都是b元/kg,且a不等于b,那么甲同学两次购买该产品的平均价格与乙同学两次购买该产品的平均价格哪位高呢?

(2)王大妈用自己的小米去市场上兑换大米,改善自己的生活,兑换的方法是2 kg小米可以换1 kg大米,老板连篮子带小米称得20 kg,商店老板又连篮子和大米给王大妈10 kg大米,那么在这个交易的过程中,是王大妈吃亏,还是商店老板吃亏?

3 “参数法”求值

“参数法”就是将其中一个关键的量设为未知数,然后根据条件求出未知数,从而使问题得以解决.当几个比值彼此都相等时,可设这个比值为k,然后通过解方程组求得k的值.

根据上述的参数法,解决下面的问题:

故6(a+b)=6k(a-b),3(b+c)=6k(b-c),2(c+a)=6k(c-a).

所以6(a+b)+3(b+c)+2(c+a)=0,即8a+9b+5c=0.

评注：本题在解答过程中充分体现了转化的数学思想,如先将连等的比转化为一个方程组,然后将方程组转化为一个方程,然后解方程求字母的值.问题(1)(2)在转化时采用了不同的策略,问题(1)将三个方程直接相加,问题(2)是将三个方程变形后再相加.

本文中的三个实例都是对分式的二次开发和利用,需要学生感受到知识虽然是固定不变的,但运用时要灵活处理,根据不同的条件,作出相应的变通.这样的问题有助于拓宽学生思维,提高学生创新处理问题的能力.