一元二次方程根的判别式及根与系数关系的应用

⦿云南省曲靖市马龙区第三中学 刘 陈

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系,可用来判断三角形的形状,求代数式的值,构造倍根方程,求代数式的最值,求参数的值等,这些应用一方面体现了根的判别式及根与系数关系的价值,另一方面也使学生体会到了不同数学知识之间的联系,有利于加深学生对这一部分数学知识的理解与掌握.

1 判断三角形的形状

当一元二次方程的系数或它的两个根是三角形的边长时,一元二次方程和三角形之间就有了联系,利用一元二次方程根的情况可以判断三角形的形状[1].

例1已知△ABC的三边长分别为a,b,c,方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0是关于x的一元二次方程.

(1)当x=-1时,你能确定△ABC的形状吗?为什么?

(2)当方程有两个相等的实根时,你能确定△ABC的形状吗?为什么?

解析：(1)由题意,把x=-1代入方程,得a+c-2b+a-c=0,整理得a=b.因为a,b,c分别为△ABC三边的长,所以△ABC为等腰三角形.

(2)由题意,Δ=(2b)2-4(a+c)(a-c)=0,整得得b2+c2=a2.因为a,b,c分别为△ABC三边的长,所以由勾股定理的逆定理,得△ABC为直角三角形.

评注：当三角形的三边为一元二次方程的系数时,三角形的形状与一元二次方程根的情况也有了联系,本题设置的两个问题对此做了很好的诠释.

2 求代数式的值

所以m的值为2,△ABC的面积为1．

评注：本题第(2)小题以m作为联系的纽带,根据第一个方程中根与系数的关系求出m的值,然后代入关于a,b的方程中消去m,从而显现出a,b的本质,再与勾股定理的逆定理结合,使问题转化为几何问题[2].

3 求代数式的最值

利用一元二次方程根与系数的关系可以求与两根有关的代数式的值,也可以求代数式的最值.当一元二次方程有实数根时,根的判别式大于或等于0,可以据此求得字母的取值范围,当所求代数式化为含有该字母的代数式时,就可以求得它的最值.

例3一元二次方程根与系数的关系反映了一元二次方程两根之和、两根之积与系数之间的数量关系,相应的命题被称为韦达定理,根据韦达定理解决下面问题:

(1)已知m,n是一元二次方程2x2-3x+1=0的两个根,试计算m+n与mn的值;

(2)因为实数m,n满足m2-m-1=0,n2-n-1=0且m≠n,所以m,n可看作方程x2-x-1=0的两根.根据韦达定理,得m+n=1,mn=-1.

(3)因为x1,x2是方程2x2+4x+m=0的两个根,所以Δ=42-4×2×m≥0,即m≤2.

评注：当a≥b(b为常数)时,a有最小值,且最小值为b;当a≤b(b为常数)时,a有最大值,且最大值为b.

4 探讨代数式的值能否为定值

对于与一元二次方程的根有关的代数式的值能否为定值这类问题,应先假设这个代数式的值能为定值,从而建立方程求得字母的值,然后检验这个值能否满足原方程有实根,使原方程有实根的值就是符合题意的值.

例4已知关于x的方程kx2+(1-k)x-1=0.

(1)若该方程有两个不等实根,求k的取值范围．

解：(1)根据一元二次方程的定义和判别式的意义,得k≠0且Δ=(1-k)2-4k×(-1)>0,整理,得(1+k)2>0,解得k≠0且k≠-1.

评注：一元二次方程根与系数的关系是在方程有实根的情况下进行讨论的,所以利用根与系数关系得到的字母的值,一定要看这个值是否在方程有实根时求得的字母取值范围之内.只有在这个取值范围之内的值才是符合题意的值.

积累数学活动经验是数学教学的目标之一.以上四种类型有关根的判别式及根与系数关系的应用,有利于学生明白二者之间的依存关系,以及如何利用这两个工具解答相关问题,也有利于学生积累解题经验,促进学生核心素养的发展.