初中数学单元结构教学设计实践探究——以“一次方程与方程组”为例

⦿合肥市望湖中学 郭冒强 魏大付

《义务教育数学课程标准(2022版)》明确指出,数学教学要注重知识点之间的关联,把每堂课的知识置于整体知识的体系中,注重知识的结构和体系.通过对实际课堂教学的调查研究发现,多数教师以课时为单位实施“碎片化”教学.本文中结合理论对单元教学实际情况进行实践探究.

1 数学单元教学设计的内涵

数学单元教学设计是在整体思维的导向下,根据数学学科特点,以知识内容、学科素养、思想方法等为线索,结合学生已有的知识经验和思维能力,进行整体建构.

数学结构(系统)的界定:以教育部教材审定委员会审定通过的某一个版本的教材知识结构为框架,依据学生认知基础、思维水平和学生认知心理建立的一般性的逻辑联系.

结构教学是以结构为总路径,以教材的每章、每单元和每节课的具体知识结构为主线,以学生数学认知基础为起点,以学生数学思维为衔接形成的符合学生认知水平的逻辑关系.学生思维是在教师的启发引导下、在现代信息技术的促进下、在同学帮助下的即时“生成”,形成以学生认知的逻辑链为路径的动态而高效的教学.

笔者在该理论的基础上,结合单元教学设计的内涵及课堂教学的实际需要,把单元教学设计细分为如下七个方面.单元教学设计的一般流程如图1.

图1 数学单元教学设计流程图

2 “一次方程与方程组”单元结构教学设计

方程是初中代数的主要内容之一,一次方程与方程组是学生步入初中之后第一次接触的方程内容,对奠定学生的基础与数学思想有着重要作用.下面以沪科版“一次方程与方程组”为例阐述单元结构教学设计的思路和策略.

2.1 知识结构分析

(1)教学内容分析

一元一次方程是最简单的方程,二元一次方程组是最简单的多元方程组,一次方程(组)是学习数学和化学、物理等其他学科的重要基础.本单元通过实际问题,建立一次方程(组),体现方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型.

本单元内容是学生进入初中后首次正式接触方程,对小学所学方程和前两章内容起到“承前”的作用,对以后学习更复杂的方程和函数起到“启后”的作用.

本单元的重点是一元一次方程和二元一次方程组的解法及它们的应用;难点是能根据实际问题正确列出方程,用消元法解二元一次方程组.

(2)课标分析

《义务教育数学课程标准(2022版)》学业要求中指出:能根据具体问题中的数量关系列出一次方程,理解一次方程的意义;掌握等式的基本性质,能根据等式的基本性质解一元一次方程;能根据二元一次方程组的特征,选择代入消元法或加减消元法解二元一次方程组;能根据具体问题的实际意义,检验方程的解是否合理.

学业质量中指出:能从生活情境、数学情境中抽象概括出方程的概念,掌握一次方程的求解方法,合理解释运算结果,形成一定的运算能力、推理能力和抽象能力.能从具体的生活与科技情境中,抽象出方程的表达形式,用数学的眼光发现问题并提出(或转化为)数学问题,用数学的思维探索、分析和解决具体情境中的现实生活问题,给出数学描述和解释,运用数学的语言与思想方法,综合运用多个领域的知识,提出设计思路,制订解决方案.能够在解决问题的过程中选择合适的方法进行评估,并对结果的实际意义作出解释.能够知道解决问题方法的多样性,具备一定的应用意识和模型意识,初步会用数学语言表达与交流.能够从问题解决的过程中获得数学活动经验,产生对数学的好奇心和求知欲,增强学习数学的兴趣,建立学习数学的自信心.

(3)教学目标分析

结合《义务教育数学课程标准(2022版)》学业要求,初步拟定本单元教学目标.经历对实际问题中数量关系的分析,感受方程(组)与实际问题的联系,体会方程(组)是刻画现实世界数量关系的有效数学模型;了解一次方程与方程组及其相关概念,能解一元一次方程和用消元法解方程组,并在此基础上会解简单的三元一次方程组;能够根据具体问题,找出数量关系,列出方程或方程组,并能根据实际意义检验求得的结果是否合理;在经历建立方程(组)模型解决实际问题的过程中,提高发现问题、分析问题和解决问题的能力,体会数学建模、数学抽象、符号化思想等,感受数学的价值.

2.2 认知结构分析

学生的认知基础是一切数学教学活动的起点,更是进行单元教学的基本前提.首先,在知识内容方面,学生在小学已学过等式的基本性质,接触过简单的方程及解法,所以对方程并不陌生.同时,在本章之前,学生学习了有理数、整式的加减等知识,学生的认知结构中已经有了学习方程所需的代数知识.其次,在思维方面,该阶段的学生思维快速发展,抽象能力也逐渐增强,有一定的探索能力.

2.3 单元课时安排

根据班情、学情,灵活地规划本单元具体内容与课时安排,如图2所示.

图2 单元教学内容与课时安排

2.4 教学过程设计

环节一:结构导图

在分析教学要素的基础上,找到本单元内容的知识生长点,引导学生类比有理数学习的内容构建方程的知识结构图,让学生从整体上建构知识.本单元结构导图如图3所示.

图3 单元结构导图

设计意图：学生通过构建结构导图,知道知识的逻辑联系,即了解知识的“来龙去脉”,并在头脑中形成知识结构,从而进行有目标、有方向的学习.

环节二:问题情境

问题1猜一猜老师的年龄.

我(老师)年龄的2倍再加上你的年龄(12岁)是120岁,老师年龄为多少?

问题2求“代数学之父”丟番图的年龄.

他生命的六分之一是幸福的童年;再活了他生命的十二分之一,两颊长起了细细的胡须;他结了婚,又度过了一生的七分之一;再过五年,他有了儿子,感到很幸福;可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半;儿子死后,他在极度的悲痛中度过了四年,也与世长辞了.

设计意图：通过用算式与方程两种方法分别解决问题的比较,学生感受到方程带来的直接和便捷,顺其自然地得到方程解的概念,从而感受学习一元一次方程的必要性和重要性.

环节三:建构新知

问题3尝试用方程.

根据下列问题 ,设未知数并列出方程.

(1)学校秋季运动会,七(1)班代表队中长跑运动员19人,比跳高(远)运动员的2倍少1人,参加秋季运动会跳高(远)运动员有多少人?

(2)王玲今年12岁,她爸爸36岁,问再过几年,她爸爸的年龄是她年龄的2倍?

(3)用一根长12 cm的铁丝围成一个正方形,正方形的边长是多少?

(4)某校女生占全体学生数的52%,比男生多80人.这个学校有多少学生?

追问:通过观察思考以上问题情境中所列方程,你能归纳出一元一次方程的概念吗?

设计意图：设计这四道小题让学生体会列方程的思考过程,总结列方程的步骤.同时,渗透和点明这里和今后一段时间要体会的数学思想——方程思想.很好地解答了“方程要研究的是什么”这个问题,进而激发学生的学习兴趣,完善学生的知识结构.引导学生通过观察问题情境中的方程,根据它们所具有的共同点,总结归纳出一元一次方程的概念,让学生经历由具体到抽象的数学化思考过程.

环节四:巩固应用

例1今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?

设计意图：学生通过对小学熟悉的鸡兔同笼问题的再回顾,再一次体验方程解决问题的直接及列方程的过程,建立二元一次方程,逐步意识到方程是一个方便而有效的数学工具.

环节五:课堂总结

(1)教学过程总结:回顾整个学习过程,如图4.

图4

(2)知识方法总结:总结本节课所学知识和方法以及注意事项.

(3)思维思想总结:总结本节课用到的思维方式和思想方法.

(4)结构导图总结:再次回到结构导图,提示完成本节学习内容后,从完善单元结构导图看已经学习到什么地方,明天要学习什么?学有余力者,预习下节课所学内容.

环节六:课后作业

(1)基础性(1～3题)

(2)综合性(1题)

(3)拓展性(或实践性或创新性)(1题)

2.5 评价与反思

单元教学实施之前教师应编制评价量化表,在教学中与教学后对学生和课堂进行评价反思,找出存在的问题,并对教学设计进行调整改进.评价与反思是提高教学质量以及教师教育教学能力的重要环节.