聚焦不等式的热点问题

■赵邦一 李丽娜

不等式的应用非常广泛,它可以与许多知识交汇,来考查一些热点问题。下面就不等式的热点问题进行举例分析。

一、比较数(式)的大小

例1若x＜y＜0,试比较(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)的大小。

分析：把(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)做差比较即可。

解：(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]=-2xy(x-y)。因为x＜y＜0,所以xy＞0,x-y＜0,所以-2xy(x-y)＞0,所以(x2+y2)(x-y)＞(x2-y2)(x+y)。

提醒：比较大小的关键是变形,一般来说,变形越彻底,越有利于下一步的判断。

二、一元二次不等式(组)的解法

例 2 关 于x的 不 等 式 组的整数解的集合为{-2},求实数k的取值范围。

分析：解答本题容易出错的是:直接把x=-2代入不等式2x2+(2k+5)x+5k＜0求出k的取值范围。

解：由x2-x-2＞0,可得x＜-1 或x＞2。由2x2+(2k+5)x+5k＜0,可得(x+k)(2x+5)＜0。因为-2为其解,所以(2+k)(4+5)＜0,解得k＜2,即-k＞-2,所以此时不等式的解为

因为其解集中只有一个整数-2,所以-2＜-k≤-1,所以1≤k＜2。

提醒：一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,也是函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交点的横坐标。二次函数y=ax2+bx+c的图像在x轴上方的部分,是由不等式ax2+bx+c＞0的x值构成的,图像在x轴下方的部分,是由不等式ax2+bx+c＜0 的x值构成的,三者之间相互依存、相互转化。

三、含参数不等式的解法

例3解关于x的不等式ax2-2(a+1)x+4＞0。

分析：最高项的系数含有字母a,不等式可以是二次不等式,也可以是一次不等式,且影响两根的大小。

解：当a=0时,原不等式可化为x-2＜0,可得解集为{x|x＜2}。

提醒：解含参数不等式时,容易出现的错误是漏掉某一种情况。

四、利用基本不等式求分式函数的最值

例4求函数且a＞0)的最小值。

分析：求分式函数的最值时,可把解析式分拆成的形式,再利用基本不等式求最值。

提醒：分式函数y=f(x)可表示为y=的形式,且g(x)在定义域内恒正或恒负,A＞0,m＞0,则可利用基本不等式求最值。

五、结合条件求代数式的最值

例5已知a＞0,b＞0,且,求a+b的最小值。

分析：由,可得(a-1)(b-9)=9,所以a＞1,b＞9,再将a+b变形即可求出最值。

六、逆向思维求根式函数的最值

提醒：这类问题,一般都给出了x的取值范围,可根据取值范围进行逆向转换求最值。

七、利用不等式的变形证明不等式