基于梯度流固超晶格的宽频透声结构设计

张利娟,张 赛,沈佳敏,顾 鑫

(江苏大学 物理与电子工程学院,江苏 镇江 212013)

滤波降噪、隔声减振与人们的现实生活紧密相联[1-2]。声子晶体是由密度和弹性常数不同的材料周期性排列形成的一种具有弹性波带隙特征的复合结构。在带隙频率范围内声波的传播被抑制,而在通带范围内声波能低损耗传播。声子晶体丰富的带隙特性使其在隔声器、滤波器以及声二极管等声波调控器件的设计方面具有良好应用潜力。随着研究的不断深入,声子晶体结构呈现出多样化的形式,例如缺陷[3]、无序[4-5]、梯度[6]等。对声子晶体各类声效应的研究也取得了一定的成果,例如声能聚焦[7]、声能局域[8]、声吸收[9]等。

在有限周期的周期性声子晶体结构通带范围内存在透射率的波动,此现象称为吉布斯振荡,每一个通带范围内有N-1个透射峰[10]。吉布斯振荡的存在使得基于声子晶体的功能型声学人工结构的设计具有两种思路:一是利用强波动产生禁带,例如文献[11]基于强化吉布斯振荡的方法设计了亚波长隔声结构;二是弱化波动以形成平坦的通带。然而,在周期性声子晶体结构中通过各种方式来弱化振荡并不能完全消除振荡。目前,关于研究弱化吉布斯振荡的文献报道较少。

广义的梯度折射率(Gradient-Index,GRIN)材料是指一类等效折射率随空间位置连续变化的人工结构或材料[12-15]。根据折射率与等效密度、弹性模量之间的关系,可以设计人工单元结构,使折射率按一定空间梯度分布,从而使所设计的结构具有灵活调控声波传输的能力。梯度型声子晶体属于GRIN材料,按其工作环境可以分为固-气型、固-液型和固-固型梯度声子晶体;按照维度可以分成一维、二维和三维梯度声子晶体。近年来,梯度声子晶体在声阻抗匹配应用方面取得了较大的研究进展。文献[16]将钢柱构成的二维声子晶体嵌入水凝胶基体中,实现了压电换能器和水的阻抗匹配,并通过水下超声实验验证了该声子晶体结构的宽带声传输特性。

对于梯度型声子晶体而言,大量研究都集中在二维梯度结构方面,并据此设计出了各类功能型声学器件,而一维梯度声子晶体的研究相对较少,特别是在水下环境中的研究工作目前开展较少。一维流固声子晶体通常又被称为一维流固超晶格。文献[17]对一维梯度流固超晶格进行了研究,设计了一种能够实现水下声能捕获的可调声学彩虹结构。这种彩虹结构本质上是由晶格常数不同的周期性流固超晶格级联而成,通过具有能禁带差异的每一组周期性流固超晶格的耦合来实现禁带的低频移动和拓宽,在拓宽的禁带频率范围内捕获声能。

为了削弱有限周期的周期性流固超晶格通带内的吉布斯振荡,本文引入结构梯度,设计了占空比呈对称线性分布的梯度流固超晶格结构(GFSL)。本文以理论计算为主,以仿真计算为辅,对GFSL的宽频透声特性及其调控机理进行了研究与分析。

1 透声结构模型

如图1(a)所示为GFSL结构示意图。该结构沿y轴方向和z轴方向无限延伸,其中z轴垂直于x-y平面,在图中未画出。黑色区域表示固体层,灰色区域表示流体层。结构的晶格常数为D,总周期数为N,dsj和dfj分别表示第j个周期单元的固体层厚度和流体层厚度,D=dsj+dfj。本文定义固体层厚度与晶格常数的比值为固体层占空比,简称占空比,记为υsj,如式(1)所示。

(a)

(b)图1 梯度流固超晶格(a)结构示意图(b)占空比梯度分布图Figure 1. Gradient fluid-solid superlattice(a)Structure schematic diagram (b)The filling fraction distribution function diagram

(1)

GFSL结构的周期数N为奇数,其中中间层为占空比最大的层,其余层的占空比依照梯度函数呈现对称分布。各固体层的占空比由一次函数调制,如图1(b)所示,占空比最小值为υ0,最大值为υm,则第j层的占空比υsj可以表示为

(2)

对应的固体层厚度如式(3)所示。

dsj=υsj×D,j=1,2,3,…,N

(3)

2 理论与方法

2.1 传递矩阵方法

如图1(a)中的箭头所示,假设平面纵波以入射角θ和波矢k入射至GFSL结构,声波在GFSL结构中的传输可以用传递矩阵来描述。前期的研究工作已经详细描述了声波在周期性流固超晶格结构中传播的声势传递矩阵[18-20],声波在第j个周期单元传播的传递矩阵Tj如下

(4)

该计算式中各变量定义如下所示。

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

对于周期数为N的周期性流固超晶格,各周期单元的参数完全一致,故每个单元的传递矩阵Tj相同,因此只需要利用一个周期单元的传递矩阵就可以表示声势通过整个结构传播的状态变化。总的传递矩阵如式(10)所示。

(10)

基于此传递矩阵,通过扫描声波入射角度和频率可以计算得到流固超晶格结构的声传输特性。然而对于GFSL结构,当j取不同值时Tj中的结构参量存在差异,因此需要设置含有变量的周期传递矩阵,在主程序中扫描含梯度的固体层厚度参数,顺次调用周期传递矩阵得到总的传递矩阵T,进而得到声波通过整个GFSL结构的透射率计算式。

(11)

2.2 声传输特性的理论计算

固体层材料和流体层材料分别为有机玻璃和水。材料参数如下:有机玻璃的质量密度ρs=1 180 kg·m-3,纵波声速csL=2 700 m·s-1,横波声速csT=1 300 m·s-1,水的质量密度ρf=1 000 kg·m-3,纵波声速cf=1 500 m·s-1。结构参数如下:晶格常数D=3 mm,固体层占空比最小值υ0=0.01,最大值υm=0.25,周期数N=13。

基于传递矩阵方法,利用MATLAB编写声透射率计算程序,计算得到的声全向透射谱如图2(a)所示,颜色条表示透射率的值。在此结构中存在着明显的Bragg禁带与低频禁带,而在通带范围内几乎观察不到吉布斯振荡。基于此结果,本文进一步计算了声波垂直入射时的声透射率,并以对应的周期性流固超晶格结构为参照,两者的透射率如图2(b)所示。从图中可以看出,在周期结构的透射率曲线中存在着较为强烈的吉布斯振荡,而GFSL结构通带内的透射率曲线较平坦且接近于1,这说明引入本文提出的结构梯度分布能有效消除周期结构通带中存在的吉布斯振荡现象,从而形成宽频通带。

图2 GFSL结构的声传输特性理论计算结果(a)透射谱 (b)声波垂直入射时周期结构与GFSL结构的透射率Figure 2. Theoretical calculation results of sound transmission characteristics of GFSL structure(a)Transmission spectrum (b)Transmittance of periodic structure and GFSL structure when the sound wave is incident vertically

为了验证GFSL结构在大角度范围内仍具有良好的透声效果,本文分别计算了10°、30°、50°、70°入射角下的声透射率,如图3所示。从图3中可以看出,禁带及低透射位置与图2(a)中全向透射谱中所描述的位置相对应,随着斜入射角度升高,第一Bragg通带频率范围持续变宽(见灰色阴影部分),且透射率的值均近乎1。该结果说明本文提出的GFSL结构在一定范围的斜入射角度下也具有良好的宽频透声性能。

图3 入射角为10°、30°、50°和70°时 GFSL 结构的透射率Figure 3. Transmittance of GFSL structure at incident angles of 10°, 30°, 50°and 70°

3 结果与讨论

3.1 不同梯度函数参量对宽频透声特性的影响

本文进一步研究了不同梯度函数参量对GFSL结构透声特性的影响,分别讨论了同一函数类型下的周期数N、极值υm和υ0的差值、函数非对称分布以及不同梯度函数类型对GFSL结构声传输特性的影响。在每种讨论情况下,声波入射角度均设置为垂直入射。图4是周期数N分别为7、3、19、41时GFSL结构的声透射率,其余结构参数以及材料参数设置与章节2相同。阴影部分表示第1个通带的范围,可以看出随着周期数N的增加,通带范围逐渐拓宽。周期数较少时,第1个通带较平坦,但后两个通带内仍出现不同程度的振荡。随着周期数的增加,振荡逐渐减弱,通带范围逐渐拓宽。考虑到周期数的增加会导致结构整体的尺寸变大,因此折中考虑结构整体尺寸与通带效果,在下文的分析中选取周期数N=19。

图4 声波垂直入射至周期数N=7,13,19,41时的GFSL结构的透射率Figure 4. The transmittance of GFSL structure with the period number N is equal to 7, 13, 19 and 41 when the sound wave is incident vertically

由式(2)可知,定义一次函数的斜率|k|=2(υm-υ0)/(N-1),当N一定时,斜率由υm和υ0共同确定。为研究斜率的变化对透声特性的影响,以章节2.2中占空比极值差Δυ=υm-υ0=0.24为参照,定义斜率改变时新的极值差Δυ*与Δυ的比值为ζ=Δυ*/Δυ。利用控制变量法分别研究随υm和υ0值的变化所引起的一次函数斜率发生变化时的声透射率,如图5所示。图5中带有下标的ζ0表示υ0为不变量时受υm的变化所影响的比值状态,ζm的意义与之相同。图5(a)为斜率受υm的变化影响时对应的GFSL结构的透射率,通过观察可知低频区内第1个通带的变化微小,但其对高频区内的通带和禁带影响较为显著。υm的变化对透射率整体影响较小,υm的减小对拓宽通带起到促进作用。然而,当υ0的值发生改变时,其对透射率曲线的影响显著。如图5(b)所示,当ζm减小至0.63时,通带内出现了明显的振荡,而当ζm的变化范围较小时对透射谱几乎不会产生影响。因此,为了保持结构的宽频透声性能应选择较小的υ0值。

(a)

(b)图5 梯度函数斜率变化时声波垂直至GFSL结构的透射率(a)最大值υm变化 (b)最小值υ0变化Figure 5. The transmittance of GFSL structure with gradient function slope change when the sound wave is incident vertically(a)Maximum υm change (b)Minimum υ0 change

本文使两侧固体层占空比呈不对称分布,这种不对称分布呈现出两种形式:一是两侧固体层的层数相同但两侧固体层占空比的梯度变化量不同;二是两侧固体层占空比的梯度变化量相同但两侧的层数不同。利用控制变量法对其声透射率进行计算,结果如图6所示。图6(a)、图6(b)和6(c)、图6(d)分别对应上述两种情形。用图中左下方的小插图来表示对应情形下的GFSL结构层数及其占空比的分布。根据4幅图可得,结构的非对称分布对低频区的宽频性能影响较小,仅在第1通带末尾出现微小的振荡,其对透射率的影响主要集中在高频段。

(a)

(b)

(c)

(d)图6 声波垂直入射至GFSL结构的透射率(a～b)两侧固体层的层数相同而占空比梯度变化量不同 (c～d)两侧固体层占空比梯度变化量相同而层数不同Figure 6. Transmittance of GFSL structure when the sound wave is incident vertically (a～b)The number of solid layers on both sides is the same, but the change of filling fraction gradient is different (c～d)The gradient change of filling fraction of solid layers on both sides is the same, but the number of layers is different

最后,本文研究了固体层占空比分布为其他函数类型时GFSL结构的声传输特性,其余参数设置与章节2.2相同,仅梯度函数不相同。图7是占空比呈开口向下的二次函数分布时GFSL结构的透射谱。由图7可知透射谱中各宽频通带与对称线性分布时较为相似,故在此不作赘述。在这种梯度分布下,透射谱中还出现了低频双禁带。

图7 占空比二次函数梯度分布时GFSL结构的透射谱Figure 7. Transmission spectrum of GFSL structure with filling fraction as quadratic function gradient distribution

3.2 有限元仿真验证

基于Comsol仿真软件的声-固相互作用模块,对GFSL结构声传输特性展开了进一步研究。首先验证了垂直入射情况下基于传递矩阵法的声透射率理论与仿真计算结果的吻合性,如图8所示。从图8中可以看出,两种方法计算得到的透射率曲线几乎完全重合,仅在高频区透射率变化较快的位置出现了一些偏差,这是由于仿真计算过程中对所建模的结构进行网格划分的精度不足而导致的误差。有限元方法不仅能够验证理论计算结果的正误,还能够直观反映声场信息,下文将利用有限元方法对GFSL的透声性能进行验证。

图8 声波垂直入射至GFSL结构的透射率理论与仿真结果Figure 8. Theoretical and simulation results of transmittance of GFSL structure when the sound wave is incident vertically

为了验证GFSL结构在声波斜入射时的声传输特性,本文分别计算了声波以 10°、20°和30°的角度斜入射至结构的声压场分布,如图9所示。在图9中,入射声波为10 mm、频率为410 kHz的高斯声束,其中心位于120 mm×160 mm的矩形计算域左边界下方20 mm处。结合图2(a)声全向透射谱中410 kHz频率所对应的通带区域,可以推知GFSL结构在大角度的范围确实具有良好的透声性能。

(a)

(b)

(c)图9 斜入射角度下GFSL结构的声压场(a)10° (b)20° (c)30°Figure 9. Sound pressure field of GFSL structure at oblique incidence angle(a)10° (b)20° (c)30°

上文从理论计算和有限元频域仿真的角度验证了GFSL结构的宽频带透声特性。基于上述结果,可以发现GFSL结构不仅具有良好的通带特性,同时还保持了禁带特性,说明GFSL结构可能还具备优异的滤波性能。为验证此结构的滤波特性,利用有限元仿真软件的瞬态模块对其进行研究。在3个连续周期的五峰波信号中添加干扰杂波,二者耦合成一个新的波形作为入射端辐射边界的时间信号,如图10(a)所示。其中,五峰波中心频率f0=40 kHz,处于第一通带频率范围内;干扰波是处于第二禁带523.4～541.9 kHz范围内随机振幅随机频率随机相位的正弦波组合。显然,耦合后的入射声波波形较为杂乱。本文将计算时间设置为40/f0,时间步为25/f0,该连续周期的五峰波信号传输通过GFSL结构后在输出端的输出波形,如图10(b)所示。由输出波形可知,信号通过结构后其中的干扰成分得到了抑制,原始的五峰波波形得以保留。这表明通过GFSL结构对声波的调控有效减弱了原周期结构中的吉布斯振荡现象,并且具有良好的滤波性能。

(a)

(b)图10 滤波性能测试(a)输入信号 (b)输出信号Figure 10. Filtering performance test(a)Input signal (b)Output signal

4 结束语

本文基于传递矩阵方法,对占空比呈对称梯度分布的梯度流固超晶格结构的声传输特性进行了研究。结果表明,本文提出的梯度流固超晶格结构能够有效弱化周期性流固超晶格结构通带内的吉布斯振荡,在大角度范围内具有宽频带的透声特性。在此基础上,本文还研究了不同梯度函数参量及其变化对GFSL结构宽带透声特性的影响,以实现对通带的调控。此外,通过有限元方法从频域和时域两个角度验证了GFSL 结构的声传输特性。当入射声波的频率在通带范围内,声能几乎可以完全传输通过GFSL结构,这使其在高强度超声波能量集中、声学阻抗匹配及换能器封装应用中具有潜在的应用价值。而当频率处于禁带范围内时,GFSL结构能够阻隔声波的传播,这说明GFSL结构也具有水下隔声效应。综合其能禁带特性可知,本文所提出的基于梯度流固超晶格的宽频透声结构在水下滤波方面亦具有潜在的应用前景。