以动探动——以“绝对值的应用”为例

广东省东莞市南城阳光实验中学 (523000) 郑珍

动点问题是每年中考的热门题型,同是也是学生较难掌握的一个内容. 通常老师教给学生的方法是化“动”为“静”,学生只是被动的接受这种方法. 但是,新课标理念之一是: 实施促进学生发展的教学活动. 所以,我们的教学不仅是传授方法,更重要的是让学生在理解知识本身情况下的做到灵活应用. 所以,本文以绝对值的概念为例研究以“动”探“动”的应用.

1 绝对值的概念

一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记作|a|.

2 在数轴上表示线段长度

如图2.1,数轴上的点A,B,C分别表示数-3,-1,2.

图2.1

图3.1

(1)A,B两点的距离AB= 2,A,C两点的距离AC=5;

(2)通过观察,可以发现数轴中任意两点间的距离与这两点表示的数的差的绝对值有一定关系: 即: 若点D表示的数为x,则CD=|x-2|.

根据绝对值非负性知数轴上任意两点间的距离是右边的点表示的数减去左边的点表示的数;如A,B两点的距离AB=-1-(-3)=2,A,C两点的距离AC=2-(-3)=5.当不知道谁大谁小时,两点间的距离就是这两点表示的数的差的绝对值.

以上是我们给学生讲解的常规思路,如果我们从平移动态的角度来看: 点A向右平移2 个单位到达点B(点B向左平移2 个单位到达点A),所以AB的长度是2.

2.1 在数轴中的应用

例题如图2.1 求点D在数轴上的位置,使得CD=4.

常规思路: 由于题目中不知道C,D哪个点在右,那就说明有两种可能情况;所以我们只能用两点表示的数的差的绝对值来表示两点间的距离.

解设点D在数轴上表示的数为x,则CD=|x-2|=4.解得x1=6,x2=-2.

以动探动: 点D是数轴上的一动点,满足CD=4. 那就可以动态角度理解,将点C分别向左、右平移4 的单位长度即可求出点D的位置.

小结: 到数轴上一定点距离等于一定长的点有两个,这两个点分布在定点的左右两侧,分别是将定点向左或向右平移定长后所在的点.

3 从数轴到平面直角坐标系

众所周知我们初中几何的学习是由线到面的,平面直角坐标系其实就是两条相互垂直的数轴构成了一个平面. 在我们看来这个只是一维到二维的变化,但却给我们的学生带来了无尽的烦恼. 在平面直角坐标系中学生不能将其与数轴类比,学习起来有困难;特别是动点的问题. 我们这里要“以动探动”的研究平面直角坐标系中通过平移的方式求线段长度的方法.

3.1 在平面直角坐标系中应用

例 题 如 图 3.1, 在平面直角坐标系中, 点A(-1,0),B(2,-1).

若点C在x轴上, 且,求点C的坐标;

解设C点坐标为(x,0),∵点A(-1,0),∴AC=∴点C的坐标为

如果我们“以动探动”就可以认为是将点A沿x轴向左或向右平移个单位长度后得到点C的坐标.

(2) 过点B作BE//y轴, 点D在直线BE上, 且求点D的坐标.

解设点设D点坐标为(2,y),∵点B(2,-1),∴BD=∴点D的坐标为

同理我们“以动探动”就可以认为是将点B沿平行y轴的BE向上或向下平移个单位长度后得到点D的坐标.

4 “以动探动”在综合题中的应用

在平面直角坐标系中,求两点线段的长度问题,往往要过点往两个坐标轴做垂线段即:“化斜为直”的思想来处理.初中阶段我们经常会遇到: 求两函数之间的竖直距离(铅垂线)可以用上面的函数解析式(y)减去下面的函数的解析式(y);求两函数水平间的距离(水平线)我们可以用右边函数的自变量(x)减去左边函数的自变量(x),这两个问题我们称为“十字线”问题. 但是,学生求竖直方向和水平方向的线段的长度问题时很容易搞错;如果我们能从绝对值的几何意义的角度去解释,我相信学生会很容易接受.

4.1 综合应用

例1 如图4.1-1, 已知抛物线过点A(3,0),B(-1,0) ,C(0,3),连接AC,点D是线段AC段上的动点,过点D作DE⊥x轴,交抛物线于点E.

图4.1-1

图4.1-2

图4.2

(1)求抛物线的解析式;

(2)连接AE,CE;若点D的横坐标为k,求DE(用含k的式子表示);设ΔACE面积为S,求S的有最大值?

解(1) 由待定系数法求得抛物线解析式为y=-x2+2x+3.

(2)分析: 点E可以看成是点D向上平移得到的,设出两点坐标后就很容易表示DE的长度. 由待定系数法求得直线AC的解析式为y=2x+3.

设点D的横坐标是k.

(3)若点M是抛物线AC段上的一点,且CM//x轴. 求∠CAM的正切值;

(4)点P在抛物线上,且∠BAP= ∠CAM,求点P的坐标.

(4)分析: 这里先做动态理解,即射线AB可以通过绕点A逆时针或顺时针旋转∠CAM大小.

分析: 因为OA//MN,如果OA=MN, 就可以判断平行四边形; 所以问题就转化为在AB上找点M 使得MN=2;有因为MN//x轴,从可以认为是从点M向右或向左平移2 个单位长度后到达点N.

5 总结

本文重点通过举例研究“动”探“动”的思想在解决动点问题的中应用. 通过对绝对值这一初中第一个通过数形结合来理解的概念开始,让学生开始就以动态的思维考虑动点问题. 从而培养学生独立思考、自主探索的思想,通过四个例题让学生进一步掌握“动”探“动”的思想. 所以,在平时的教学中,我们要把知识本身讲解清楚,然后学生才能够做到灵活应用.