2022 年四川预赛第6 题解法探究与背景揭示

山东省宁阳县复圣中学 (271400) 张志刚

一、试题与解析

题目(2022 年全国高中数学联赛四川赛区预赛第6 题)若ΔABC的三边a,b,c满足a2+b2+3c2= 7,则ΔABC面积的最大值是____.

本题探求三角函数面积的最大值,重点考查数学运算、逻辑推理、数学抽象等核心素养,具有较好的区分度.

分析解答本题关键有二: 一是选取合适的形式表示三角形的面积;二是求出面积表达式的最大值. 对于三角形的面积表示,可考虑、正弦定理、海伦公式和分割转化等,而最值的求解有代数法和几何法. 代数法是由题设条件结合三角形知识将面积表示为边(或角)的表达式,然后用函数(含三角函数)最值或不等式放缩等求出最值. 几何法则通过积极联想,赋予表达式一定的几何意义,进而求出最值. 此外,对于多元函数最值问题,消参减元是贯穿解题始终的主线,即把双变量问题转化为一元函数(或不等式)问题,再辅以换元法、构造法、放缩法、配方法及函数与方程、转化与化归、数形结合、分类讨论等思想方法,实现消元、降幂、化简之目的.

下面以ΔABC面积的表示为切入点,从多个视角尝试解答. 记ΔABC的面积为S.

二、背景揭示

本题的命制源于外森比克不等式.

该结论由外森比克(Weitzenbock)于1919 年提出,它揭示了三角形边长与面积的一种约束关系. 其几何意义是: 以三角形的三边分别做等边三角形,其面积之和大于等于原三角形面积的3 倍. 1961 年国际数学奥林匹克竞赛中就要求证明该式,2011 年科索沃数学奥林匹克试题亦对其进行了考查[1].

将外森比克不等式加以推广,可得结论2.

结论2若ΔABC的三边长为a,b,c, 面积为S, 若x,y,z＞0,则xa2+yb2+zc2≥

证明由余弦定理及柯西不等式得,

由外森比克不等式衍生的其他结论见文献[2-4],不再赘述.

前文探讨了以外森比克不等式为背景命制的一类三角形面积极值问题. 一个自然的问题是: 四边形是否也存在类似问题呢? 例如,若凸四边形ABCD的边长分别是a,b,c,d,满足a2+b2+2c2+2d2=8,那么四边形ABCD的面积的最大值是多少? 通过观察、归纳、猜想,能否发现一些一般性事实呢? 对于这些问题,将另文探究.

下面给出几题,供读者练习.

(1) (2022 年石家庄市三模第16 题) 在ΔABC中, 角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 若a2+b2+ 2c2= 8, 则ΔABC面积的最大值为____.

(2)设ΔABC的面积为2,若角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则a2+2b2+3c2的最小值为____.

(3)已知ΔABC的三边分别为a,b,c,面积为S,且满足4a2=b2+2c2,则的最大值是____.

(4) 在四边形ABCD中,AB= 3,BC= 4,CD= 5,AD=6,则四边形ABCD的面积的最大值是___.__