同构视角下的数列求和与求通项

山东省滨州实验中学 (256600) 李俊岭 陈凤华

“同构”是源于抽象代数中的一个专业术语,指的是具有保持结构的双射. 换句话说,是描述具有不同表现形式的同一结构. 所谓同构思想,就是通过观察代数式的结构特征,利用代数运算性质构造出统一的形式,进而抽象出函数或方程等熟悉的数学模型,然后或是脱去母函数的外衣,把函数值的关系转化为自变量的关系,或是利用方程解的知识实现变量表达形式的转化,从而化繁为简,化难为易,化生为熟,实现解题过程的优化.

数列是一种特殊函数, 其呈现方式主要有两种: 递推关系与通项公式. 用递推关系来呈现数列, 给出了项与项之间的内在关系, 给出了数列的变化规律和构造过程, 很多情况下对这种项与项之间的关系式, 通过适当变形, 易构造成变量不同, 但结构相同的两个式子, 进而抽象出一个常函数模型来求解通项问题. 同时, 通项公式an=f(n)(n∈N*) 是数列的项关于项数的函数, 其中f(n) 多可拆分成g(n)-g(n-1) 的形式, 再结合前n项和Sn与an的关系an=Sn-Sn-1(n≥2,n∈N*),则有Sn-g(n) =Sn-1-g(n-1), 从而通过同构构造常数列{Sn-g(n)},结合S1-g(1)的值,即可求得Sn. 本文探究了“同构思想”在数列中求和与求通项公式的一些妙用,以期拓展思维,培养学生抽象和化归的思维能力,提升综合素养.

一、“同构思想”在由递推关系求通项公式中的应用

要想用同构的方法由递推关系求通项公式,其关键是构造常数列,即通过代数变形构造形如f(n) =f(n+1)的等式,得到常数列{f(n)}(n∈N*),再由f(n) =f(1)求通项公式.

由上可知,对递推式中加减的关于n的式子拆分也是构造常数列的关键,下面通过实例对常见拆分方法进行探究.

例2已知数列{an} 满足a1= 2,an+1=an+ 2n(n∈N*),求数列{an}的通项公式.

解析由an+1=an+2n=an+n(n+1)-(n-1)n得an+1-n(n+1) =an-(n-1)n,即数列{an-(n-1)n}为常数列. 又a1- 1 × 0 = 2, 得an- (n- 1)n= 2, 即an=n2-n+2.

评注对形如an+1=an+λn+μ(n∈N*,λ,μ为常数)的递推式中,所含的一次式进行拆分,要将其升幂到二次式才能实现同构,即

对于例2 中的递推式求通项,常规方法是累加法,本文不再赘述.

评注形如an+1=qnan(q／= 1)的递推式求通项,常规方法是累乘法. 这里通过构造常数列,使得解答过程更加的简洁.

二、“同构思想”在数列求和中的应用

知道数列的通项,求其前n项和,是数列中最为常见的题型. 由数列前n项和的定义与上文对数列{an}的通项拆分方法,可以通过构造常数列来求Sn.

比如,在等差数列{an}中,an=pn+q(n∈N*,p,q为常数),为求其前n项和Sn,由

例4在数列{an}中,已知an=(2n+1)·3n(n∈N*),求数列{an}的前n项和Sn.

解析由变式3 中的方法,an=n·3n+1-(n-1)·3n,即Sn-Sn-1=n·3n+1-(n-1)·3n(n≥2),进一步整理得Sn-n·3n+1=Sn-1-(n-1)·3n,即数列{Sn-n·3n+1}为常数列. 又S1- 32= 0, 所以Sn-n·3n+1= 0, 即Sn=n·3n+1.

评注对于“差比数列”求前项和,常规的方法是错位相减,即转化为等比数列求和. 但过程烦琐,计算复杂,学生难以得出正确答案. 通过构造常数列,大大简化了求解过程,提高了正确度. 同时要看到,这种对通项拆分构造常数列与裂项相消的在形式上相近,但本质不同. 在“同构思想”指导下的裂项要求必须把an=f(n)拆分成an=g(n)-g(n-1)的形式,进而有Sn-g(n)=Sn-1-g(n-1),要保证Sn的角标与项中n的取值相一致,才能实现同构,而裂项相消中的裂项只需把有关项顺次相消,项中n的变化未必邻项连续.

变式5在数列{an}中,已知an=n2·3n(n∈N*),求数列{an}的前n项和Sn.

解析由

三、结束语

在学习中,换一种视角去观察和思考所研究的对象,会有不同的感受与认识,把这些不同的感受和认识联系与对比,又会产生新的认识,形成更高的观点,使我们达到更高的境界. 将同构的思想引入到数列中来,也就是从代数和函数两个角度进一步认识数列. 数列作为代数传统意义上的内容,丰富的代数运算和代数变形应是处理相关问题的重要途径,而在教学中,往往演变成了过多依赖套公式求和、求通项,以及求解其他数列问题,对学生的数学运算素养和数学思维能力的提高是不利的. 在同构思想的指导下,根据解题目标,对通项公式、递推式进行代数变形,构造同一结构的代数式,让学生体会数学内容是通过相关形式表达和发展的,从而对代数知识形成正确的认识,也为进一步的代数知识学习奠定基础. 再就是在数列的概念、通项公式、前n项和等知识中,函数思想贯穿始终,数列的同构实际上是对函数思想的进一步应用. 我们在对项数和项之间的对应关系的探究中,获取规律,抽象出同构式,既是在变化和动态中,寻找两个量始终不变的函数关系. 教学中只有不断地为学生创设情景,对有关数学思想方法不断地去思考、探究、总结、提炼、应用,学生才会真正地对其理解与掌握.