多方视角觅答案登高望远探背景
——2023 年高考新课标Ⅰ卷第19 题的探究
2023-09-16广东省佛山市乐从中学528315林国红
广东省佛山市乐从中学 (528315) 林国红
一、题目呈现与分析
题目(2023 年高考新课标Ⅰ卷第19 题) 已知函数f(x)=a(ex+a)-x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)证明: 当a>0 时,
试题简洁清晰,知识方面主要考查函数的单调性,证明函数不等式,导数在函数中的应用等;思想方面主要考查分类讨论,转化与化归等思想. 试题分步设问,逐步推进,综合考查考生逻辑思维、推理论证及运算求解等方面的能力. 试题的思维过程和运算过程体现了能力立意的思想,较好地体现了函数与导数中核心内容和基本思想方法的考查.
由于问题(1)较为简单,本文不作讨论,下面从不同视角,对问题(2)进行解答与探究.
二、证法探究
2.1 构造差函数
评注一般来说, 证明函数不等式f(x)>g(x) 恒成立, 可设F(x) =f(x) -g(x), 则f(x)>g(x) 恒成立⇔F(x)>0 恒成立,即等价于F(x)min>0. 可以利用导数来求F(x)的最小值,把函数不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值. 构造差函数的证法是函数不等式证明中最常规、最基本的做法,思路自然. 要注意的是: 有时尽管F(x)存在最小值,但方程F′(x)=0 的根(F(x)的极值点)解不出来,往往要借助零点存在性定理和F′(x)的单调性,先证明方程F′(x) = 0 有唯一实根x0,用“设而不求”的方法,证明F(x)min=F(x0) ≥0,在运算过程中要注意利用F′(x0)=0 进行替换.
2.2 放缩法
三、试题的命题背景探析
3.1 函数凹凸性的定义
3.2 函数凹凸性的判定定理
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,若f(x)在(a,b)内有f′′(x)>0,则f(x)在[a,b]上是下凸函数;若f(x)在(a,b)内有f′′(x)<0,则f(x)在[a,b]上是上凸函数.
3.3 切线不等式
若f(x) 在区间I为下凸函数, 则对于∀x0∈I, 有f(x) ≥f′(x0)(x-x0)+f(x0); 若f(x) 在区间I为上凸函数,则对于∀x0∈I,有f(x)≤f′(x0)(x-x0)+f(x0).
评注下凸函数图象上任意一点的切线在函数图象的下方, 上凸函数图象上任意一点的切线在函数图象的上方.高中阶段两个常见的切线不等式: ex≥x+1(x≥0) 与lnx≤x-1(x>0).
3.4 试题的命制思路
评注函数凹凸性是函数的一种特殊特征,其相关知识十分丰富. 近年来,以函数凹凸性为背景的题目屡见不鲜,这些试题情景新颖,能考查学生的创新能力和潜在的数学素质,常作为压轴题出现,这也表明: 高等数学的相关理论是命制一些具有创新力与区分度的高考试题的重要来源. 虽然在高中课本中没有这方面的内容,但若能多了解一些函数凹凸性的相关理论知识,可以“登高望远”,开拓思维,养成对试题背后的内在关系分析与思考习惯,便于找到问题的本质内涵,确定解题方向,寻找简捷的解题途径.
四、试题的探源
与ex、lnx相关的函数不等式的证明题是高考中的重要考点,倍受命题者青睐. 例如:
真题1(2015 年高考全国新课标Ⅰ卷文科第21 题)设函数f(x)=e2x-alnx.
(1)讨论f(x)的导函数f′(x)的零点的个数;
(2)证明: 当a>0 时,
真题2(2017 年高考全国新课标Ⅲ卷文科第21 题)已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当a<0 时,证明:
可以看出今年考题的“母题”来源于上述高考题,三年的高考题的考查内容基本是一致的. 这说明命题专家很重视命题的传承和相互借鉴,所以在高考的备考中,适当加入高考真题的训练的必要的.
五、试题的变式
试题的恰当变式,会起到强化解题思想与方法的积极作用,让学生在亲身实践中寻求变通,悟出其中问题的本质,从而为今后的解题迁移找到共同的固着点,对于形成完善的数学思维结构和发展数学思维能力具有重要意义. 对于本考题,可以进行如下变式训练:
变式1(2018 年高考全国Ⅰ卷文科第21 题) 已知函数f(x)=aex-lnx-1.
(1)设x= 2 是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间;
变式2(2018 年高考全国Ⅱ卷文科第21 题)已知函数
(1)求曲线y=f(x)在(0,-1)处的切线方程;
(2)证明: 当a≥1 时,f(x)+e ≥0.
变式3(2016 年高考全国Ⅲ卷文科第21 题) 设函数f(x)=lnx-x+1.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)证明: 当x∈(1,+∞)时,
(3)设c>1,证明: 当x∈(0,1)时,1+(c-1)x>cx.
六、复习备考建议
全国卷的函数与导数解答题多以多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数的组合表达式为载体, 设问方式多为考生熟悉的问题类型(切线、单调性、极值、最值、恒成立、证明不等式、零点等问题),重点考查函数的单调性、极值、最值、函数的零点及不等式证明等主干内容,注重函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合等思想方法的灵活运用,注重考查考生的数学思维能力和创新意识,体现能力立意的命题原则. 因此,在复习备考中要注重以下几点:
1. 突出主干知识. 函数与导数试题注重对导数的几何意义、导数的运算法则、导数在研究函数中的应用等重点内容的考查. 因此,要熟练掌握求导公式与法则;函数的单调性是核心性质,要深化对函数单调性的认识,复习时应注重导数法在函数单调性中的应用. 要通过有效的变式训练,形成函数与导数知识的结构网络.
2. 注重综合,提升能力. 函数与导数的解答题一般背景与题型变化多,综合性强,难度较大,综合考查考生的各种能力. 因此,要重视函数与导数的复习,在复习中注意题型的多样性与综合性,在复习中要掌握解题思路的发现,强化转化意识,强化构造函数解决问题的方法,不要因为偏难而选择性放弃,通过有效教学及训练,帮助学生克服畏难情绪.
3. 善于总结,提炼方法. 复习时要善于总结,将函数与导数试题分门别类,并归纳出常用的解法. 此外通过题目的训练,提炼函数与导数问题的数学思想,重点运用转化与化归、数形结合、分类讨论等思想方法处理函数与导数问题.
4. 要关注高考的热点. 函数不等式的证明有综合性强,思维量大,方法繁多,技巧性强等特点,也是高考的热门考点之一,常考常新. 因此要注意题型与解法的归纳分类,并通过有效的训练去掌握与提高.
5. 关注函数与导数的命题变化. 函数与导数的解答题在全国卷中一般以“压轴题”的方式呈现,而今年的新课标Ⅰ卷却以“中档题”的形式放在第19 题,在考查难度上进行了大胆的尝试. 这意味着高考的命题将更加灵活,未来的趋势就是,约定俗成的规则会被打破,命题的套路会变少,凸显“反刷题”的命题思想. 所以不要依赖套路,减少机械式刷题,重在夯实基础,平时要多注意运算能力与思维能力的培养,提高分析题目的能力,形成分析,总结与归纳的习惯,这样才能更好地应对新高考.
此外,还要重视高考试题的使用. 高考试题是精心之作,每年的高考题在命题角度、题型、难度等方面都进行了充分考量,是知识、能力和思想方法的载体,具有典型性、示范性和权威性. 高考试题除了具有测试与选拔功能外,还具有良好的教学功能,要了解高考动向、把握高考脉搏,高考试题的研究是重要的路径. 所以在复习中,要加强高考题的渗透,通过高考真题的训练体会命题思想,善于作解后反思,方法的归类,并对试题进行挖掘,扩大高考题的辐射面,从而实现高考试题功能的最大化、最优化.