涡旋电磁波雷达平动旋转目标三维微动参数提取方法

袁 航 何其芳 罗 迎* 王志浩 张 群

①(空军工程大学信息与导航学院 西安 710077)

②(93114部队 北京 100195)

1 引言

雷达目标在运动时往往伴随着除质心平动以外的振动、转动和加速运动[1-4]等微动(如直升机和旋翼无人机的旋翼转动、炮弹弹丸在空中的自旋和进动等)。雷达与目标间的相对运动会对雷达回波产生多普勒调制，而由微动引起的多普勒调制称为“微多普勒效应”[5-7]。微多普勒效应反映了目标的精细结构和运动特征，基于该效应能够较好地分辨目标的属性类型和运动意图，为目标识别提供更多重要依据[8-10]。目标和雷达平台的相对运动会在雷达回波中引起多普勒效应，该多普勒效应由目标整体平动和目标微动引起的多普勒效应组成。其中，将目标微动引起的多普勒效应称为微多普勒效应。在传统的单基平面电磁波雷达中，目标回波的微多普勒效应仅能反映目标三维运动投影到雷达径向上的微动分量，基于传统单基平面电磁波雷达的微动特征提取算法难以反演目标三维运动特征。而利用涡旋电磁波雷达、多基雷达或其他新体制雷达可以通过目标回波反演目标三维运动特征，因此为区别于雷达径向微动分量，将此类反映目标三维运动特征的微动特征称为三维微动特征[11,12]。

传统平面电磁波雷达仅能观测到目标投影到雷达径向上的微动分量，当目标运动平面垂直于雷达径向时，目标回波中将观测不到微多普勒效应，导致基于微多普勒效应的目标识别方法失效[13]。同时，目标与雷达的相对姿态显著影响目标投影到径向上的微动分量大小，在特定的姿态角下不同尺寸的目标有可能产生相同的径向微动分量，为识别带来了困难[14,15]。以旋转目标为例，传统平面波雷达仅能估计目标径向半径和旋转频率，难以充分表征目标运动特征。涡旋电磁波相位波前分布为螺旋形，额外携带有轨道角动量(Orbital Angular Momentum,OAM)，不同轨道角动量的涡旋电磁波相互正交。利用涡旋电磁波照射微动目标，可观测到目标投影到雷达径向上的微动分量(引起“线多普勒效应(linear Doppler effect)”)和投影到垂直于雷达径向的平面上的微动分量(引起“角多普勒效应(angular Doppler effect或rotational Doppler effect)”)，使得获取目标的三维微动特征成为可能，雷达的信息获取能力将显著提高[16-18]。线多普勒和角多普勒之间的关系可用球坐标系下距离和方位角的关系描述，两者为目标三维运动在距离域和方位角域的投影。线多普勒反映的是目标三维运动投影到雷达径向上的微动分量，即目标运动引起的距离上的变化；角多普勒反映的是目标三维运动投影到垂直于雷达径向平面上的微动分量，即目标运动引起的方位角上的变化。而球坐标系为正交坐标系，距离域和方位角域相互正交，因此雷达径向上的微动分量和垂直于雷达径向平面上的微动分量相互正交。

由于涡旋电磁波在目标微动特征提取方面的潜在优势，近年来研究人员针对无平动旋转目标微多普勒效应进行研究，探讨了无平动旋转目标角多普勒模型表征问题、线多普勒信号和角多普勒信号分离问题、目标微动参数提取问题等，取得了一系列成果。文献[19]提出了无平动旋转目标的角多普勒模型，探讨了特殊情况下的角多普勒性质和微动参数提取方法，揭示了涡旋电磁波雷达在微动辨识领域的独特优势。文献[20]对一般情况下的无平动旋转目标角多普勒效应进行研究，利用近似角多普勒方程获得角多普勒极值点，并利用压缩感知算法获得了微动参数的估计值。文献[21]将双模态的回波变换到时频域，利用时频图像提取多普勒频移曲线，通过计算双模态回波间的频移差值获得角多普勒频移曲线，并利用Hough变换估计无平动旋转目标微动参数。

然而，现有涡旋电磁波雷达微多普勒效应研究主要针对无平动旋转目标，并未考虑目标平动对角多普勒的影响。目标平动会在线多普勒中引入关于时间的多次项，这可以通过补偿的方法去除；但与线多普勒不同，平动会使角多普勒发生显著变化，无法简单通过补偿方法消除平动带来的影响。若要将涡旋电磁波雷达应用于平动旋转目标微动参数提取领域，需要进一步分析平动旋转目标微多普勒效应的性质，有针对性地提出新的方法来解决该问题。因此，本文针对涡旋电磁波雷达平动旋转目标微多普勒效应进行了研究，构建了平动旋转目标运动模型，分析了目标平动对微动参数提取带来的影响，讨论了平动旋转目标的角多普勒性质，最后利用L-M (Levenberg-Marquardt)方法[22]求解多元非线性方程组，基于1/4微动周期多普勒频移曲线的时频曲线，获得了目标旋转频率、旋转半径、旋转矢量、平动速度矢量等参数。仿真实验验证了角多普勒性质的正确性和参数提取方法的有效性。

2 涡旋电磁波雷达平动旋转目标回波模型

为描述平动旋转目标相对于雷达的空间三维运动，需要建立雷达坐标系、参考坐标系和目标本地坐标系，其中雷达坐标系的原点为雷达平台，目标运动不改变雷达坐标系；目标本地坐标系以目标质心为坐标原点，随目标运动而改变；参考坐标系用于构建目标本地坐标系与雷达坐标系之间的转换关系，并表示目标从某固定姿态到实际姿态的变化。平动旋转目标的观测模型如图1所示，均匀圆环阵列雷达用于产生涡旋电磁波，其中心为雷达坐标系OXY Z的原点O，阵列半径为a，第k个阵元的坐标为(acosϕk,asinϕk,0)。参考坐标系ObXbYbZb的原点为Ob，雷达坐标系按照矢量R0平移后变为参考坐标系，参考坐标系平行于雷达坐标系。令散射点p以旋转角频率wb、旋转半径rb绕Ob旋转，旋转平面平行于圆环阵列。则在参考坐标系ObXbYbZb下，散射点p旋转过程的坐标变化可写为

图1 平动旋转目标观测模型Fig.1 Observation model of translational rotating targets

其中，()T为转置操作，t为时间。进一步考虑将散射点的运动随着参考坐标系经三维旋转后变为目标本地坐标系Obxwywzw，变换过程可由一个三维变换矩阵表示。令由参考坐标系旋转到目标本地坐标系的旋转矩阵的欧拉角为 (θ1,θ2,θ3)，则旋转矩阵Ri可表示为

随后目标以速度矢量v=(vx,vy,vz)T整体平动，雷达坐标系原点O指向散射点p的矢量可写为

三维旋转会改变散射点p的旋转平面投影到雷达坐标系上的变化幅度和初相。但对于旋转目标，三维旋转中绕轴ObZb的旋转仅改变初相，对分析并无影响。因此可忽略绕轴ObZb的旋转，将目标的三维旋转简化为绕轴ObYb和轴ObXb的旋转。此时三维旋转矩阵可写为

同时，根据三维旋转矩阵易知旋转目标的旋转矢量为(sinθ2,-sinθ1cosθ2,cosθ1cosθ2)T。

一个旋转半径为0.4 m、旋转中心为(0.8,1,300) m，欧拉角为(1.04,0.78,0.62) rad的旋转目标的距离和方位角变化过程如图2所示。图2(a)和图2(b)为根据式(2)和式(4)所示的旋转矩阵生成的目标距离和方位角变化过程。图2(a)中两者的距离变化幅度相同，时间相差约0.01 s，证明了简化后的旋转矩阵在距离上的有效性。图2(b)中两者方位角变化幅度相同，时间同样相差约0.01 s，证明了简化后的旋转矩阵在方位角上的有效性。因此，可以将三维旋转矩阵简化为式(4)所示的形式，以简化分析和求解难度。

图2 三维旋转结果Fig.2 The three-dimensional rotation result

根据简化后的三维旋转矩阵，雷达坐标系原点O指向散射点p的矢量可写为

arctan()为反正切函数。则散射点p在球坐标系下的坐标(rp(t),θp(t),φp(t))T可写为

其中，arcsin()为反正弦函数。天线中心发射单频信号 exp(i2πfct)照射到目标上，圆环阵列上多个添加了固定相移的阵元接收回波，将回波合成，散射点p的涡旋电磁波雷达回波可写为[17]

3 微多普勒效应分析及微动参数提取

目标距离变化在涡旋电磁波雷达回波中引起线多普勒效应，方位角变化在回波中引起角多普勒效应，线多普勒和角多普勒结合为涡旋电磁波雷达回波微多普勒效应。当前已有研究提出了涡旋电磁波雷达线多普勒信号和角多普勒信号分离方法[21]，所以本节中分别对旋转目标的线多普勒效应和角多普勒效应进行分析。

首先对平动旋转目标的线多普勒效应进行分析。目标在空间中的匀速直线运动投影到径向上，可近似将距离rp写为

实际上涡旋电磁波雷达的波束指向通常较为接近Z轴，例如，当雷达波束指向为3°时，假设目标距离为r，zb=rcos 3◦远大于xb和yb。在该情况下，径向半径rbh3可近似为

目标平动使线多普勒频移出现常数项和时间的一次项，但这两项可以通过对频移曲线进行补偿或对频移曲线求高阶导数去除。目标微动分量对线多普勒的影响主要体现在第3项中，该项由旋转中心坐标、旋转半径、欧拉角和旋转角频率共同决定。由于线多普勒频移曲线以正弦规律变化，通过分析曲线的周期可提取目标旋转频率，但旋转半径和倾斜角相互调制，利用线多普勒仅能提取目标径向半径rbh3。

目标方位角的变化会引起回波中的角多普勒效应，由于方位角表现为反正切函数的形式，对方位角求导获得的角多普勒频移表达式较为复杂。方位角展开可写为

分子和分母中含有初相不同的余弦函数，初相的存 在为角多普勒分析带来了较大的影响。同时，分母多项式存在于反正切函数中，对反正切函数求导获得目标角多普勒，进一步加剧了角多普勒方程的复杂程度。将式(14)代入式(8)中的角多普勒项并求导，获得角多普勒频移方程fa(t)

当速度矢量v=0时，式(15)退化为

式(16)即为无平动旋转目标角多普勒频移方程，式(16)的分子和分母中仅有三角函数项随时间变化，而三角函数均为周期函数，所以式(16)表示的无平动旋转目标角多普勒频移呈现周期性。而式(15)中的分子和分母中与时间相关的项有3种：三角函数项、因速度矢量引起的一次项、一次项和三角函数的耦合项。其中三角函数周期性变化，后两种并非周期函数，导致有平动时角多普勒频移曲线周期性消失。与无平动旋转目标相比，平动旋转目标的角多普勒频移方程更加复杂，需要考虑在不同情况下速度矢量对角多普勒的影响。

首先分析式(15)中分母对角多普勒曲线的影响。分母多项式的性质决定了当分母趋于0而分子不为0时，角多普勒必然会急剧增大。而式(15)的分母可视为在XOY平面上的一个椭圆。由于椭圆中心为(xb+vxt,yb+vyt)已知，为简化推导椭圆方程的难度，先将式(15)所示的椭圆平移到原点，此时椭圆的一般式方程可写为

根据椭圆的性质，式(17)所示的椭圆可通过某标准椭圆经二维旋转获得，该二维旋转的角度θ为

基于二维旋转角度并根据椭圆旋转的性质，将椭圆中心设置为 (xb+vxt,yb+vyt)后，可获得式(15)分母所示椭圆的标准化方程

随着时间的变化，式(15)的分母可视为椭圆中心Od在平动的椭圆上一点q到原点的距离，点q随时间变化过程如图3所示，上文求得的二维旋转角度θ体现为椭圆长轴与轴OX的夹角。

图3 点q在平面X OY上的轨迹Fig.3 The trajectory of the point q on plane XOY

若点q恰巧经过坐标系原点O，则式(15)的分母为0，角多普勒趋于一个较大的值。设定旋转中心为(1,1,600) m，旋转半径为0.4 m，旋转频率为10 Hz，速度矢量为(-11,375,-11.33,0) m，欧拉角为(0,0,0)rad。该情况下的角多普勒频移曲线如图4所示，图中蓝线为忽略速度矢量后根据式(16)生成的角多普勒频移曲线，橙线为考虑目标平动情况下的角多普勒频移曲线。

图4 角多普勒频移曲线Fig.4 Angular Doppler frequency shift curve

为便于分析速度矢量带来的影响，设欧拉角θ1=θ2=0，目标旋转平面平行于XOY平面。蓝色角多普勒频移曲线的旋转中心为当wbt=5π/4时角多普勒曲线出现尖峰，此时角多普勒值为-4499 Hz。橙色角多普勒频移曲线的旋转中心为xb=yb=2.5rb，速度矢量为v=(-11.395,-11.46,0)Tm/s，通过设置特定的参数使椭圆中心平动到某位置时点q恰巧经过坐标系原点O，从而角多普勒出现较大的值。

与线多普勒不同，角多普勒对旋转中心较为敏感，当旋转中心和其余微动参数满足一定关系时，角多普勒曲线特征明显，能提供更多的目标信息。但要考虑角多普勒出现尖峰是因为点q恰巧经过坐标系原点O，实际上涡旋电磁波波束中心存在能量空洞，该情况在实际中难以出现。多数情况下，旋转中心平动导致点q接近坐标系原点O，从而使角多普勒曲线产生波动，该情况下的角多普勒频移曲线如图5所示。旋转中心接近原点O使角多普勒值显著增大，椭圆与原点交错时点q与O越接近，角多普勒最大值越大。椭圆与原点交错后，椭圆中心远离原点O，角多普勒曲线逐渐趋于0。需要指出，受限于涡旋电磁波雷达回波幅度中调制的贝塞尔函数的影响，当角多普勒频率较大时(此时旋转目标点接近涡旋电磁波中心空洞)回波能量较小，该时间段对应的角多普勒曲线的提取难度较大。但通过观测时频图中曲线能量较低处，可以间接获得角多普勒曲线尖峰处的位置。

图5 多数情况下的角多普勒频移曲线Fig.5 Angle Doppler curve in most cases

在分析分母对角多普勒曲线的影响后，需要考虑速度矢量方向对角多普勒频移曲线的影响。根据速度矢量的方向和椭圆与原点O的相对关系，可分为4种情况：一是原点O在椭圆内，速度矢量使旋转中心远离雷达视线方向；二是原点O在椭圆外，速度矢量使旋转中心远离雷达视线方向；三是原点O在椭圆内，速度矢量使旋转中心接近雷达视线方向；四是原点O在椭圆外，速度矢量使旋转中心接近雷达视线方向。分别展示该情况下角多普勒频移曲线，并对这4种情况进行讨论，4种情况下的角多普勒频移曲线如图6所示。其中图6(a)和图6(c)的时频曲线较为接近，其原因为在目标平动的过程中点接近原点的次数均为两次，且穿过原点后旋转中心远离原点。图6(b)为原点位于椭圆外部，点q未与原点接近，所以该情况下的时频曲线并未出现尖峰。图6(d)出现4个较大的角多普勒值，其原因为椭圆中心自远处向原点平动，该情况下点q接近原点4次。可以发现点q与原点的相对位置直接决定了角多普勒频移曲线的形状，因此也可通过角多普勒频移曲线的形状初步判断目标旋转中心与原点的相对位置、速度矢量的方向，为下一步的参数提取提供一定的信息。

图6 4种情况下的角多普勒频移曲线Fig.6 Angle Doppler curve in four cases

在分析速度矢量对角多普勒曲线的影响后，需要考虑其余微动参数和角多普勒之间的联系。首先对无平动旋转目标角多普勒方程进行分析，进而拓展到平动旋转目标角多普勒方程。将式(16)上下同时除以，则式(16)可重写为

由式(22)可以发现，实际上旋转半径、旋转中心坐标的绝对大小并不影响角多普勒曲线，旋转中心坐标与旋转半径比值决定了角多普勒曲线的性质。

因此，可以得出无平动旋转目标角多普勒的一个性质：角多普勒由旋转半径和旋转中心坐标的相对大小决定，与这3个参数的绝对大小无关。参照无平动旋转目标将式(15)上下同时除以，将式(15)重写为

与式(22)类似，式(23)表示的角多普勒曲线同样由微动参数(除欧拉角和旋转频率外)间的相对大小决定，该性质表明若仅用角多普勒曲线进行参数估计，仅能获得旋转角频率、欧拉角和其余参数间的相对大小。

在分析平动旋转目标角多普勒效应的基础上，构建多元非线性方程组，利用L-M算法求解方程组，估计目标微动参数。线多普勒主要以正弦函数规律变化，从频移曲线中能提取的信息较少。可以对线多普勒曲线求二次导数滤除速度项的影响，其结果为

可以发现每次求导都会使相同时间段下的线多普勒幅度值乘以旋转角频率，因此可通过对比二次导数和三次导数间的幅度差提取目标旋转角频率。

与线多普勒相比，角多普勒方程为分母多项式，时间会引起角多普勒的复杂变化，角多普勒频移曲线中蕴含更多的目标微动信息。因此可以利用角多普勒曲线中的多个点构建多元非线性方程组，通过求解方程组估计目标微动参数。若通过线多普勒估计旋转角频率，则式(23)中含有6个未知参数，最少需要选取角多普勒曲线上的6个点构建方程组。由于角多普勒蕴含丰富的目标信息，可以利用较短周期的频移曲线提取目标微动参数。实际上，频移曲线长度首先影响基于线多普勒的旋转角频率和径向半径提取。旋转角频率可以通过对线多普勒频移曲线高阶导数间的幅度差值获得，但在较短频移曲线长度下无法估计径向半径。为从线多普勒频移曲线中提取目标径向半径，最短需要1/4周期的频移曲线以确保线多普勒极值被包含在周期内。设由角多普勒曲线获得的第l个点的值为(l)，方程组可写为

利用L-M算法求解方程(25)所示的多元非线性方程组，即可获得微动参数估计值，其中旋转角频率和欧拉角的估计值为准确值，并可根据欧拉角计算目标旋转矢量。但由于角多普勒本身的性质，获得的旋转半径、旋转中心坐标、速度矢量均为相对大小，需要联立线多普勒获得上述参数的绝对大小。

在获得旋转角频率、欧拉角和微动参数间的相对大小的基础上，只需将选取点之间的线多普勒二次导数差值代入式(24)即可获得径向半径估计值rl

根据角多普勒已估计目标欧拉角θ1和θ2，所以根据式(26)可获得旋转半径估计值。将旋转半径代入微动参数间的相对大小，即可获得旋转中心坐标、速度矢量的估计值。至此，综合利用线多普勒和角多普勒，实现了对平动旋转目标微动参数的提取，其处理流程如图7所示。

图7 算法流程图Fig.7 Algorithm flow chart

4 仿真结果

本节将验证所推导的平动旋转目标角多普勒性质，并验证所提三维微动参数提取方法的有效性。

首先设定涡旋电磁波雷达参数和平动旋转目标参数，雷达与目标参数如表1所示。

表1 雷达和目标参数Tab.1 Parameters of radar and target

根据目标运动模型生成对应回波，对相位求导获得多普勒频率的理想曲线。根据表1所示参数，目标理想多普勒曲线和根据式(11)和式(15)生成的多普勒曲线如图8所示，图8(a)和图8(b)分别为线多普勒频移曲线和角多普勒频移曲线。图8(a)中蓝色曲线为理想线多普勒曲线，橙色曲线为根据式(11)生成的线多普勒曲线，两个曲线基本重合，证明了式(11)的正确性。同样，图8(b)中蓝色曲线为理想角多普勒曲线，橙色曲线为根据式(15)生成的角多普勒曲线，两者的相似程度证明了式(15)的正确性。

图8 多普勒曲线Fig.8 The curve of Doppler

该情况下目标的俯仰角变化曲线如图9(a)所示，由于目标的平动和旋转，目标俯仰角在0.004～0.045 rad变化。该变化导致Bessel函数的值发生变化，其过程如图9(b)所示。由于俯仰角的变化，不同时间段下的回波信噪比不同，导致了回波时频图中的能量分布随时间改变，该情况下的回波时频图如图10所示。在0.05～0.20 s左右的时间段，回波能量显著减小，当基于时频图提取目标角多普勒曲线时，直接影响该段的角多普勒曲线提取精度。

图9 俯仰角及贝塞尔函数值变化曲线Fig.9 Pitch angle and Bessel function value change curve

图10 回波时频图(线多普勒＋角多普勒)Fig.10 Echo time-frequency map (linear Doppler+angular Doppler)

在证明式(11)和式(15)的正确性后，继续验证“角多普勒曲线由微动参数间(除欧拉角和旋转频率外)的相对大小决定”这一性质。将涉及参数同时扩大或缩小对应倍数，展示不同倍数下的角多普勒曲线以证明该性质。不同倍数下的角多普勒曲线如图9所示。图11为微动参数(除欧拉角和旋转频率外)等比例缩小0.50,0.75和等比例放大1,2,4倍的曲线，5条曲线完全重合，证明了等比例缩小或放大微动参数并不影响角多普勒曲线。通过图11可以证明所推导性质的正确性。

图11 不同微动参数倍数下的角多普勒曲线Fig.11 Angular Doppler curves under different micro motion parameter multiples

在验证所推导公式和性质的正确性后，根据图7所示的算法提取旋转目标微动参数。首先展示在利用完整周期的频移曲线条件下的微动参数提取结果。线多普勒曲线的2阶导数曲线和3阶导数曲线如图12所示，相邻阶导数曲线间峰值比例即为旋转角频率，由图12所示曲线可估计旋转角频率为62.485 rad。同时，由线多普勒2阶导数曲线幅度可估计径向半径为0.3736 m。

图12 不同阶导数下的线多普勒曲线Fig.12 Linear Doppler curve under different order derivatives

在估计旋转角频率和径向半径的基础上，等间隔选取完整周期角多普勒频移曲线上的8个点，这些点对应的时刻和角多普勒值如表2所示。

表2 选取点的时刻和角多普勒值Tab.2 The time and angular Doppler value of the selected point

将表2所示的数据代入方程(25)所示的多元非线性方程组中，即可求解欧拉角和剩余微动参数的相对大小。利用L-M算法求解多元非线性方程组，求解过程中的迭代误差如表3所示。在迭代过程中算法的学习率在根据迭代误差不断变化，自适应的调节学习率提高了算法求解速度和准确率。随着迭代次数的增加，误差逐渐减小，最终误差为5.26×10-15，代表算法成功求解方程组。多元非线性方程组的求解结果如表4所示，估计的欧拉角为(1.047,0.785) rad，与理想值基本一致，根据欧拉角可计算出旋转矢量估计值 (0.707,-0.612,0.353)T。与提出角多普勒性质一致，根据角多普勒可精确估计目标欧拉角，但仅能获得旋转半径、旋转中心和速度矢量的相对大小。

表4 多元非线性方程组求解结果Tab.4 Solution results of multivariate nonlinear equations

在获得目标欧拉角和径向半径的基础上，根据式(12)，可获得目标旋转半径估计值0.3982 m。与理想值0.4 m相比，旋转半径的估计值与理想值基本一致。将旋转半径估计值代入表4的估计结果中，算法最终获得的微动参数估计结果如表5所示，提取误差均小于1%，算法在利用完整频移曲线的情况下实现了对平动旋转目标微动参数的精确提取。

表5 完整周期频移曲线下的微动参数估计结果Tab.5 Estimation results of micro-motion parameters under complete periodic frequency shift curve

前面讨论了算法在利用完整周期频移曲线时的性能，接下来讨论频移曲线长度对算法提取性能的影响，并给出在所示雷达和目标参数条件下算法提取目标微动参数所需的最短频移曲线长度。此时线多普勒频移曲线和角多普勒频移曲线如图13所示，图13(a)为1/4微动周期的线多普勒频移曲线，图13(b)为1/4周期的角多普勒频移曲线。

图13 1/4周期的多普勒频移曲线Fig.13 Doppler frequency shift curve at quarter cycle

从1/4微动周期线多普勒频移曲线中提取目标微动参数的过程与完整周期频移曲线中的提取过程一致。基于1/4微动周期线多普勒频移曲线，可估计目标旋转角频率为62.485 rad，径向半径为0.3736 m。在估计旋转角频率和径向半径的基础上，等间隔选取1/4微动周期角多普勒频移曲线上的8个点，这些点对应的时刻和角多普勒值如表6所示。

表6 选取1/4周期内8个点的时刻和角多普勒值Tab.6 Select the time and angular Doppler Values of 8 points within a quarter cycle

将表6所示的数据代入式(25)所示的多元非线性方程组中，利用L-M算法求解多元非线性方程组。由于只选取了1/4微动周期内8个点作为求解方程组的输入，该情况下算法迭代了10909步才求得方程组的解，最后一步的误差为2.0543×10-22，学习率为10-11。与利用完整周期频移曲线相比，利用1/4周期频移曲线所需求解时间为前者的840倍，计算时间明显增加。基于角多普勒的方程组求解结果如表7所示，估计的欧拉角为(1.047,0.785) rad，与理想值基本一致。根据欧拉角可算出目标旋转矢量估计值 (0.707,-0.612,0.353)T。在获得目标欧拉角和径向半径的基础上，根据式(12)，可获得目标旋转半径估计值0.3982 m。与理想值0.4 m相比，旋转半径的估计值与理想值基本一致。将旋转半径估计值代入表7的估计结果中，算法最终获得的微动参数估计结果如表8所示，提取误差均小于1%，且与利用完整周期频移曲线的提取误差基本一致。仿真证明了算法在利用1/4微动周期多普勒频移曲线的情况下可实现对平动旋转目标微动参数的精确提取。

表7 1/4周期多元非线性方程组求解结果Tab.7 Solution results of multivariate nonlinear equations under 1/4 period

表8 1/4周期频移曲线下的微动参数估计结果Tab.8 Estimation results of micro-motion parameters at quarter periodic frequency shift curve

实际应用中通常从时频图中提取目标角多普勒频移曲线，噪声干扰主要体现在角多普勒频移曲线提取误差中。为模拟噪声干扰对提取误差的影响，添加存在角多普勒提取误差的情况下，目标微动参数的提取结果。在对角多普勒曲线添加范围为[-10%,10%]的随机误差后，角多普勒曲线如图14所示。

图14 添加误差后的角多普勒曲线Fig.14 Angular Doppler curve after adding error

添加随机误差后，曲线出现了明显的波动，同一选取角多普勒曲线上的6个点，其结果如表9所示。由于添加了随机误差，6个点的误差范围在1%～20%，会对最终的微动参数提取结果造成一定的影响，其微动参数提取结果如表10所示。由于提取误差的影响，微动参数提取误差增大，其中速度矢量的误差最大，达到15.18%；除旋转频率外，旋转半径的估计误差最小，仅为2.62%。仿真证明了在角多普勒频移曲线存在误差时算法的适用性。

表9 添加误差后6个点的时刻和角多普勒值Tab.9 Time and angle Doppler values of 6 points after adding error

表10 添加误差后的微动参数估计结果Tab.10 Estimation results of micro-motion parameters after adding errors

5 结语

涡旋电磁波雷达能观测目标投影到雷达径向和垂直于径向平面的微动分量，可实现对目标三维微动参数的提取。本文主要研究了涡旋电磁波雷达平动旋转目标微多普勒效应，提出了基于1/4微动周期多普勒频移曲线的微动参数提取方法，获得了目标旋转频率、旋转半径、旋转矢量、平动速度矢量等参数。文章在获得目标线多普勒频移曲线和角多普勒频移曲线的理想条件下，对目标微多普勒效应进行探讨并提取目标微动参数，并未考虑各类因素对多普勒提取的影响。在实际应用中，由于时频分析方法的时频分辨率限制，对微动参数提取精度会带来一定的影响；且线多普勒分量和角多普勒分量的分离精度也会影响微动参数提取精度，这些问题值得在下一步工作中继续予以深入研究。我们将在下一步的工作中将电磁仿真和暗室实测相结合，验证提出算法的正确性并根据测试结果不断改进算法。