四省联考解析几何试题的分析与思考

摘 要：分析2023年新高考适应性考试中的解析几何试题，探究了常见解题思路与解法，做出相应的方法归纳与总结，针对后期复习备考提出教学建议.

关键词：四省联考；解析几何；复习备考

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2023）22-0030-04

2023年2月，为加强教考衔接，实现平稳过渡，针对2023年云南、吉林、黑龙江、安徽四个省的高考考生使用新课标老高考的情况，教育部教育考试院命制了适应性测试卷，供2023年考生进行适应性考试（下文称“四省联考”）.这是数学新高考模式在云南省的首次大规模亮相，意义非凡.本次试题以《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》为依据，考查了学生的关键能力，突出思维品质与创新精神；注重学用结合，创设真实灵活情境；命题设问更具开放性与探究性.整份试卷充分发挥高考“立德树人、服务选才、引导教学”的核心功能，对后期的复习备考将起到积极而深远的引导作用.

1 试题结构分析

解析几何类试题在四省联考试卷中一共有4道，其中单选题、多选题、填空题和解答题各有一道，合计27分，占整张试卷的分值比例为18%.这几道试题涉及的知识点主要有圆的参数方程、椭圆的几何性质、双曲线的标准方程、圆与抛物线的位置关系、直线与双曲线的位置关系，以及解析几何与三次函数、三角函数的融合.试题结构明了，重在检测考生的四基、四能的发展水平.具体分布见表1.

解析 以焦点在x轴上的椭圆为例（焦点在y轴时的情形与此时一致）.如图1，若A，C为椭圆D的长轴端点，此时△ABC必是钝角三角形，这是由于a>b，∠OBC>45°，可知∠ABC>90°，不符合题意.如图2，由于A，B，C为椭圆D的三个顶点，且△ABC是正三角形，因为2b=a2+b2，所以a2=3b2，即b2a2=13，故而e=ca=1-b2a2=63，故选C.

评析 本题是一个椭圆离心率求解的问题，可视为人教A版选修一139页第10题的一个变式，试题如下：已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y2=2px（p>0）上，求这个等边三角形的边长.

对于四省联考的这道试题，题目给出的条件是需要我们分类讨论研究问题的，题干给出了三个顶点，但没有明确是哪些顶点，这里就可以分为“有两个长轴顶点”和“有两个短轴顶点”这两种情况进行分析.除去考虑分类讨论这点之外，本题难度不大，因为给出的是顶点的关系，自然可以很容易找到椭圆中a和b的关系.

对于四省联考的这道试题，首先P，Q两点是不相关的两个变量，处理的思路必然是“固定一个，变化一个”.这里可先认为点P是定点，那么|PQ|的最小值就变成了“圆上动点到定点的距离最值”，这种问题就可以利用三角不等式转化为点P到圆心的距离求解，该距离减去半径就是距离最小值了.接下来问题就转化为点P到圆心的距离最小值，此时问题就转化为“抛物线上动点P到定点的距离最值”.

本文提供了两种解题方法，一种比较直接，就是纯代数方式处理，即设出点P的坐标，之后表达线段的长度并求解最值.线段长度表达式的核心部分是一个四次函数，求导后为三次函数，考生需要进行因式分解来判断导函数正负进而求解最值.而如何因式分解是本题的一个难点，可以教学生如下思考：由2x3+x-3的系数和为零，可知该三次多项式必然存在因式x-1，从而可将-3拆成-1和-2，即2x3-2+x-1，再根据试卷第22题给出的立方差公式得2（x-1）（x2+x+1）+（x-1），到此便可实现因式分解.对于系数和不为零的整系数多项式因式分解，读者可参考以下定理.

评析 本题可视为2008年安徽高考卷第22题的一个变式.解题的核心思想是将线段比转化为共线向量处理，类似的思路出现于2021年全国Ⅰ卷的解析几何题，蕴含了命题人对命制试题的理解，具有很强的指导性.用向量的数量积运算，能很快剥离出运算式的韦达定理的结构，整合分类讨论.不足之处是计算量较大.

3 高考复习启示

3.1 夯实基础，提升思维

从本次四省联考的解析几何试题来看，试题倾向于考查考生的逻辑推理能力，有着“送分题少、中档题目占比大、难题梯度明显”的特点，而且在中档题目上强调更加灵活地应用所学知识和相应的数学技能.在复习备考时，首先让学生牢固掌握直线、圆和圆锥曲线的相关概念，熟悉基本图形和几何性质，建构知识体系；其次，让学生深化理解通性通法，教学时不宜过度追求一题多解，应重点关注如何审题，怎样应用所学知识处理新问题；最后，以解析几何为例，这份试卷的计算量较大，并且逻辑推理的要求也较高，因此我们在平常教学时，要同时抓学生的计算能力和数学思维.

3.2 回归课本，研究真题

有很多高考试题来自于教材例题或习题的改编，教材是最好的备考素材.教学时立足习题，尤其让学生把那些“看上去没有思路”的题多做几遍，争取能独立解决.此外，教材上的“阅读与思考”“探究与发现”等栏目也非常重要，让学生认真阅读并思考这些内容，培养他们阅读习惯的同时提升学习能力.高考真题凝结着命题专家的智慧，是考查基础知识、基本技能和基本思想方法的载体［1］，既有示范性，又有权威性.从本文的分析看，高考试题具有很强的传承性，研究往年真题，挖掘背后的命题规律，对于复习备考具有重要的指导意义.

参考文献：

［1］张青松.2021年全国甲卷理科第20題解法分析与思考[J].课程教材教学研究（中教研究），2021（Z5）：67-68.

［责任编辑：李 璟］

收稿日期：2023-05-05

作者简介：张青松（1984.5-），男，云南省昆明人，硕士，中学一级教师，从事高中数学教学研究.